Salchicha vienesa

En el campo matemático de la probabilidad , la salchicha vienesa es un entorno de la traza de un movimiento browniano hasta un tiempo t , dado al tomar todos los puntos dentro de una distancia fija del movimiento browniano. Puede visualizarse como una salchicha de radio fijo cuya línea central es el movimiento browniano. La salchicha vienesa recibió el nombre de Norbert Wiener por parte de MD Donsker y SR Srinivasa Varadhan  (1975) debido a su relación con el proceso de Wiener ; el nombre también es un juego de palabras con salchicha de Viena , ya que "Wiener" en alemán significa "vienés".

La salchicha vienesa es una de las funciones no markovianas más simples del movimiento browniano. Sus aplicaciones incluyen fenómenos estocásticos , como la conducción de calor . Fue descrita por primera vez por Frank Spitzer  (1964), y fue utilizada por Mark Kac y Joaquin Mazdak Luttinger  (1973, 1974) para explicar los resultados de un condensado de Bose-Einstein , con demostraciones publicadas por MD Donsker y SR Srinivasa Varadhan  (1975).

La salchicha vienesa W _δ ( t ) de radio δ y longitud t es la variable aleatoria de valor fijo en caminos brownianos b (en algún espacio euclidiano) definidos por

${\displaystyle W_{\delta}(t)({b})}$es el conjunto de puntos dentro de una distancia δ de algún punto b ( x ) de la trayectoria b con 0≤ x ≤ t .

Se ha trabajado mucho sobre el comportamiento del volumen ( medida de Lebesgue ) | W _δ ( t )| de la salchicha vienesa a medida que se adelgaza (δ→0); al reescalar, esto es esencialmente equivalente a estudiar el volumen a medida que la salchicha se alarga ( t →∞).

Spitzer (1964) demostró que en 3 dimensiones el valor esperado del volumen de la salchicha es

${\displaystyle E(|W_{\delta }(t)|)=2\pi \delta t+4\delta ^{2}{\sqrt {2\pi t}}+4\pi \delta ^{3 }/3.}$

En la dimensión d al menos 3 el volumen de la salchicha vienesa es asintótico a

${\displaystyle \delta ^{d-2}\pi ^{d/2}2t/\Gamma ((d-2)/2)}$

cuando t tiende a infinito. En las dimensiones 1 y 2 esta fórmula se reemplaza por y respectivamente. Whitman (1964), un estudiante de Spitzer, demostró resultados similares para generalizaciones de salchichas vienesas con secciones transversales dadas por conjuntos compactos más generales que las bolas .${\displaystyle {\sqrt {8t/\pi }}}$${\displaystyle 2{\pi}t/\log(t)}$

• Donsker, MD ; Varadhan, SRS (1975), "Asintótica para la salchicha vienesa", Communications on Pure and Applied Mathematics , 28 (4): 525–565, doi :10.1002/cpa.3160280406
• Hollander, F. den (2001) [1994], "Salchicha vienesa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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• Simon, Barry (2005), Integración funcional y física cuántica , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-3582-3, Sr.  2105995Especialmente el capítulo 22.
• Spitzer, F. (1964), "Capacidad electrostática, flujo de calor y movimiento browniano", Probability Theory and Related Fields , 3 (2): 110–121, doi : 10.1007/BF00535970 , S2CID  198179345
• Spitzer, Frank (1976), Principios de los paseos aleatorios , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 34, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, pág. 40, MR  0171290(Reimpresión de la edición de 1964)
• Sznitman, Alain-Sol (1998), Movimiento browniano, obstáculos y medios aleatorios , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-11281-6, ISBN 3-540-64554-3, Sr.  1717054Una monografía avanzada sobre la salchicha vienesa.
• Whitman, Walter William (1964), Algunas leyes sólidas para los paseos aleatorios y el movimiento browniano , tesis doctoral, Universidad de Cornell