Rigidez (teoría K)

En matemáticas, la rigidez de la K -teoría engloba resultados que relacionan la K -teoría algebraica de diferentes anillos.

La rigidez de Suslin , llamada así por Andrei Suslin , se refiere a la invariancia de la K -teoría algebraica mod- n bajo el cambio de base entre dos campos algebraicamente cerrados : Suslin (1983) demostró que para una extensión

${\estilo de visualización E/F}$

de campos algebraicamente cerrados, y una variedad algebraica X / F , existe un isomorfismo

${\displaystyle K_{*}(X,\mathbf {Z} /n)\cong K_{*}(X\times _{F}E,\mathbf {Z} /n),\ i\geq 0}$

entre la teoría mod- n K de haces coherentes en X , respectivamente su cambio de base a E . Una explicación de libro de texto de este hecho en el caso X  =  F , incluido el cálculo resultante de la teoría K de campos algebraicamente cerrados en característica p , se encuentra en Weibel (2013).

Este resultado ha estimulado la publicación de otros artículos. Por ejemplo, Röndigs y Østvær (2008) muestran que el funtor de cambio de base para la categoría de homotopía A ¹ estable mod -n

${\displaystyle \mathrm {SH} (F,\mathbf {Z} /n)\to \mathrm {SH} (E,\mathbf {Z} /n)}$

es completamente fiel. Tabuada (2018) ha establecido una afirmación similar para los motivos no conmutativos.

Otro tipo de rigidez relaciona la teoría mod- n K de un anillo henseliano A con la de su campo de residuos A / m . Este resultado de rigidez se denomina rigidez de Gabber , en vista del trabajo de Gabber (1992) que demostró que existe un isomorfismo

${\displaystyle K_{*}(A,\mathbf {Z} /n)=K_{*}(A/m,\mathbf {Z} /n)}$

siempre que n ≥1 sea un entero invertible en A .

Si n no es invertible en A , el resultado anterior sigue siendo válido, siempre que la teoría K se sustituya por la fibra del mapa de trazas entre la teoría K y la homología cíclica topológica . Esto fue demostrado por Clausen, Mathew y Morrow (2021).

Jardine (1993) utilizó el resultado de rigidez de Gabber y Suslin para refutar el cálculo de Quillen de la teoría K de campos finitos .

• Clausen, Dustin; Mathew, Akhil; Morrow, Matthew (2021), "Teoría K y homología cíclica topológica de pares henselianos", J. Amer. Math. Soc. , 34 : 411--473, arXiv : 1803.10897

• Gabber, Ofer (1992), " K -teoría de anillos locales y pares henselianos", Teoría K algebraica , álgebra conmutativa y geometría algebraica (Santa Margherita Ligure, 1989) , Contemp. Math., vol. 126, págs. 59–70, doi :10.1090/conm/126/00509, MR  1156502
• Jardine, JF (1993), "La teoría K de los campos finitos, revisada", K-Theory , 7 (6): 579–595, doi :10.1007/BF00961219, MR  1268594
• Röndigs, Oliver; Østvær, Paul Arne (2008), "Rigidez en la teoría de la homotopía motívica", Mathematische Annalen , 341 (3): 651–675, doi :10.1007/s00208-008-0208-5, SEÑOR  2399164

• Suslin, Andrei (1983), "Sobre la teoría K de cuerpos algebraicamente cerrados", Inventiones Mathematicae , 73 (2): 241–245, doi :10.1007/BF01394024, MR  0714090

• Tabuada, Gonçalo (2018), "Rigidez no conmutativa", Mathematische Zeitschrift , 289 (3–4): 1281–1298, arXiv : 1703.10599 , doi :10.1007/s00209-017-1998-5, MR  3830249

• Weibel, Charles A. (2013), El libro K, Estudios de posgrado en matemáticas, vol. 145, American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-9132-2, Sr.  3076731