Resto

En matemáticas , el resto es la cantidad "que queda" después de realizar algún cálculo. En aritmética , el resto es el número entero "que queda" después de dividir un número entero por otro para producir un cociente entero ( división de números enteros ). En álgebra de polinomios, el resto es el polinomio "que queda" después de dividir un polinomio por otro. La operación módulo es la operación que produce dicho resto cuando se dan un dividendo y un divisor.

Alternativamente, un resto es también lo que queda después de restar un número de otro, aunque a esto se le llama con más precisión la diferencia . Este uso se puede encontrar en algunos libros de texto de primaria; coloquialmente se reemplaza por la expresión "el resto" como en "Devuélveme dos dólares y quédate con el resto". ^[1] Sin embargo, el término "resto" todavía se usa en este sentido cuando una función se aproxima mediante una expansión en serie , donde la expresión de error ("el resto") se conoce como el término restante .

Dado un entero a y un entero distinto de cero d , se puede demostrar que existen números enteros únicos q y r , tales que a = qd  +  r y 0 ≤  r  < | d | . El número q se llama cociente , mientras que r se llama resto .

(Para una prueba de este resultado, véase División euclidiana . Para algoritmos que describen cómo calcular el resto, véase algoritmo de división ).

El resto, como se definió anteriormente, se llama resto mínimo positivo o simplemente resto . ^[2] El entero a es un múltiplo de d o se encuentra en el intervalo entre múltiplos consecutivos de d , es decir, q⋅d y ( q + 1) d (para q positivo ).

En algunas ocasiones es conveniente realizar la división de manera que a sea lo más cercano posible a un múltiplo entero de d , es decir, podemos escribir

a = k⋅d + s , con | s | ≤ | d /2| para algún entero k .

En este caso, s se denomina residuo mínimo absoluto . ^[3] Al igual que con el cociente y el residuo, k y s se determinan de forma única, excepto en el caso en que d = 2 n y s = ± n . Para esta excepción, tenemos:

a = k⋅d + n = ( k + 1) d − n .

En este caso se puede obtener un resto único mediante alguna convención, como tomar siempre el valor positivo de s .

En la división de 43 por 5, tenemos:

43 = 8 × 5 + 3,

Entonces 3 es el residuo positivo mínimo. También tenemos que:

43 = 9 × 5 − 2,

y −2 es el resto absoluto mínimo.

Estas definiciones también son válidas si d es negativo, por ejemplo, en la división de 43 por −5,

43 = (−8) × (−5) + 3,

y 3 es el resto menos positivo, mientras que,

43 = (-9) × (-5) + (-2)

y −2 es el resto absoluto mínimo.

En la división de 42 por 5, tenemos:

42 = 8 × 5 + 2,

y como 2 < 5/2, 2 es a la vez el menor resto positivo y el menor resto absoluto.

En estos ejemplos, el residuo absoluto mínimo (negativo) se obtiene del residuo positivo mínimo restando 5, que es d . Esto se cumple en general. Al dividir por d , o bien ambos residuos son positivos y, por lo tanto, iguales, o bien tienen signos opuestos. Si el residuo positivo es r ₁ y el negativo es r ₂ , entonces

r1 = r2 + d ._​​

Cuando a y d son números de coma flotante , con d distinto de cero, a se puede dividir por d sin residuo, siendo el cociente otro número de coma flotante. Sin embargo, si el cociente está restringido a ser un número entero, el concepto de residuo sigue siendo necesario. Se puede demostrar que existe un único cociente entero q y un único residuo de coma flotante r tales que a  =  qd  +  r con 0 ≤  r  < | d |.

Extender la definición de resto para números de punto flotante, como se describió anteriormente, no tiene importancia teórica en matemáticas; sin embargo, muchos lenguajes de programación implementan esta definición (ver operación módulo ).

Si bien no existen dificultades inherentes a las definiciones, existen problemas de implementación que surgen cuando se utilizan números negativos para calcular los residuos. Los distintos lenguajes de programación han adoptado diferentes convenciones. Por ejemplo:

• Pascal elige el resultado de la operación mod positivo, pero no permite que d sea negativo o cero (por lo tanto, a = ( a div d ) × d + a mod d no siempre es válido). ^[4]
• C99 elige el resto con el mismo signo que el dividendo a . ^[5] (Antes de C99, el lenguaje C permitía otras opciones).
• Perl , Python (sólo versiones modernas) eligen el resto con el mismo signo que el divisor d . ^[6]
• Scheme ofrece dos funciones, resto y módulo : Ada y PL/I tienen mod y rem , mientras que Fortran tiene mod y módulo ; en cada caso, la primera coincide en signo con el dividendo y la segunda con el divisor. Common Lisp y Haskell también tienen mod y rem , pero mod usa el signo del divisor y rem usa el signo del dividendo.

La división euclidiana de polinomios es muy similar a la división euclidiana de números enteros y conduce a residuos polinómicos. Su existencia se basa en el siguiente teorema: Dados dos polinomios univariados a ( x ) y b ( x ) (donde b ( x ) es un polinomio distinto de cero) definidos sobre un cuerpo (en particular, los números reales o complejos ), existen dos polinomios q ( x ) (el cociente ) y r ( x ) (el residuo ) que satisfacen: ^[7]

${\displaystyle a(x)=b(x)q(x)+r(x)}$

dónde

${\displaystyle \deg(r(x))<\deg(b(x)),}$

donde "deg(...)" denota el grado del polinomio (el grado del polinomio constante cuyo valor es siempre 0 puede definirse como negativo, de modo que esta condición de grado siempre será válida cuando este sea el resto). Además, q ( x ) y r ( x ) están determinados de forma única por estas relaciones.

Esto difiere de la división euclidiana de números enteros en que, para los números enteros, la condición de grado se reemplaza por los límites del resto r (no negativo y menor que el divisor, lo que asegura que r es único). La similitud entre la división euclidiana para números enteros y la de polinomios motiva la búsqueda del contexto algebraico más general en el que la división euclidiana sea válida. Los anillos para los que existe un teorema de este tipo se denominan dominios euclidianos , pero en esta generalidad, la unicidad del cociente y el resto no está garantizada. ^[8]

La división de polinomios conduce a un resultado conocido como teorema del resto polinomial : si un polinomio f ( x ) se divide por x − k , el resto es la constante r = f ( k ). ^{[9] [10]}

• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precálculo: un curso conciso , Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Ore, Oystein (1988) [1948], Teoría de números y su historia , Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Rotman, Joseph J. (2006), Un primer curso de álgebra abstracta con aplicaciones (3.ª ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
• Smith, David Eugene (1958) [1925], Historia de las matemáticas, volumen 2 , Nueva York: Dover, ISBN 0486204308

• Davenport, Harold (1999). La aritmética superior: una introducción a la teoría de números . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. p. 25. ISBN 0-521-63446-6.
• Katz, Victor, ed. (2007). Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India y el Islam: un libro de consulta . Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691114859.
• Schwartzman, Steven (1994). "resto (sustantivo)" . Las palabras de las matemáticas: un diccionario etimológico de términos matemáticos utilizados en inglés . Washington: Asociación Matemática de Estados Unidos. ISBN 9780883855119.
• Zuckerman, Martin M (diciembre de 1998). Aritmética: un enfoque sencillo . Lanham, Maryland: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.