Descanso

En física, un respiro es una onda no lineal en la que la energía se concentra de forma localizada y oscilatoria, lo que contradice las expectativas derivadas del sistema lineal correspondiente para amplitudes infinitesimales , que tiende a una distribución uniforme de la energía inicialmente localizada.

Un respiradero discreto es una solución de respiración en una red no lineal .

El término respirador se origina de la característica de que la mayoría de los respiradores están localizados en el espacio y oscilan ( respiran ) en el tiempo. [1] Pero también la situación opuesta: oscilaciones en el espacio y localizadas en el tiempo [ aclaración necesaria ] , se denota como un respirador.

Esta superficie pseudoesférica respiradera corresponde a una solución de una ecuación de onda no lineal.
Superficie de respiración pseudoesférica

Descripción general

El respiradero permanente Sine-Gordon es una solución de 2 solitones con torsión-antitorsión acoplada con oscilación en el tiempo.
Respirador de onda sinusoidal móvil de gran amplitud .

Un respiradero es una solución periódica localizada de ecuaciones de medios continuos o ecuaciones de red discretas . La ecuación de seno-Gordon, que se puede resolver con exactitud [1], y la ecuación de Schrödinger no lineal de enfoque [2] son ​​ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales unidimensionales que poseen soluciones de respiradero. [3] En muchos casos, las redes hamiltonianas no lineales discretas admiten soluciones de respiradero.

Los respiradores son estructuras solitónicas . Existen dos tipos de respiradores: los estacionarios y los móviles . [4] Los respiradores estacionarios corresponden a soluciones localizadas cuya amplitud varía en el tiempo (a veces se les llama oscilos ). Una condición necesaria para la existencia de respiradores en redes discretas es que la frecuencia principal del respirador y todos sus multiplicadores se encuentren fuera del espectro de fonones de la red.

Ejemplo de una solución de respiración para la ecuación de seno-Gordon

La ecuación de seno-Gordon es la ecuación diferencial parcial dispersiva no lineal

∂ 2 tú ∂ a 2 − ∂ 2 tú ∂ incógnita 2 + pecado ⁡ tú = 0 , {\displaystyle {\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^{2}}}-{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2}}}+\sin u=0,}

siendo el campo u una función de la coordenada espacial x y del tiempo t .

Una solución exacta encontrada utilizando la transformada de dispersión inversa es: [1]

tú = 4 arctano ⁡ ( 1 − ω 2 porque ⁡ ( ω a ) ω aporrear ⁡ ( 1 − ω 2 incógnita ) ) , {\displaystyle u=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right),}

que, para ω < 1 , es periódica en el tiempo t y decae exponencialmente al alejarse de x = 0 .

Ejemplo de una solución de respiración para la ecuación no lineal de Schrödinger

La ecuación no lineal de Schrödinger de enfoque [5] es la ecuación diferencial parcial dispersiva:

i ∂ tú ∂ a + ∂ 2 tú ∂ incógnita 2 + | tú | 2 tú = 0 , {\displaystyle i\,{\frac {\parcial u}{\parcial t}}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2}}}+|u|^{2}u=0,}

donde u es un campo complejo en función de x y t . Además, i denota la unidad imaginaria .

Una de las soluciones de respiración (respiradero Kuznetsov-Ma) es [2]

tú = ( 2 b 2 aporrear ⁡ ( θ ) + 2 i b 2 − b 2 pecado ⁡ ( θ ) 2 aporrear ⁡ ( θ ) − 2 2 − b 2 porque ⁡ ( a b incógnita ) − 1 ) a mi i a 2 a {\displaystyle u=\left({\frac {2b^{2}\cosh(\theta )+2ib{\sqrt {2-b^{2}}}\sinh(\theta )}{2\cosh(\theta )-{\sqrt {2}}{\sqrt {2-b^{2}}}\cos(abx)}}-1\right)a\,e^{ia^{2}t}}

con

θ = a 2 b 2 − b 2 a , {\displaystyle \theta = a^{2}\,b\,{\sqrt {2-b^{2}}}\;t,}

lo que da respiraderos periódicos en el espacio x y que se aproximan al valor uniforme a cuando se alejan del tiempo de enfoque t = 0. Estos respiraderos existen para valores del parámetro de modulación b menores que √ 2 . Nótese que un caso límite de la solución del respirador es el solitón Peregrino . [6]

Véase también

Referencias y notas

  1. ^ abc MJ Ablowitz; DJ Kaup; AC Newell; H. Segur (1973). "Método para resolver la ecuación de seno-Gordon". Physical Review Letters . 30 (25): 1262–1264. Código Bibliográfico :1973PhRvL..30.1262A. doi :10.1103/PhysRevLett.30.1262.
  2. ^ ab NN Akhmediev; VM Eleonskiǐ; NE Kulagin (1987). "Soluciones exactas de primer orden de la ecuación no lineal de Schrödinger". Física teórica y matemática . 72 (2): 809–818. Bibcode :1987TMP....72..809A. doi :10.1007/BF01017105. S2CID  18571794.Traducido de Teoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika 72(2): 183–196, agosto de 1987.
  3. ^ NN Akhmediev; A. Ankiewicz (1997). Solitones, pulsos no lineales y haces . Springer. ISBN 978-0-412-75450-0.
  4. ^ Miroshnichenko A, Vasiliev A, Dmitriev S. Solitones y colisiones de solitones .
  5. ^ La ecuación de Schrödinger no lineal de enfoque tiene un parámetro de no linealidad κ del mismo signo (matemáticas) que el término dispersivo proporcional a ∂ 2 u/∂x 2 , y tiene soluciones solitonas . En la ecuación de Schrödinger no lineal de desenfoque el parámetro de no linealidad es de signo opuesto.
  6. ^ Kibler, B.; Fatome, J.; Finot, C.; Millot, G.; Dias, F.; Genty, G.; Akhmediev, N.; Dudley, JM (2010). "El solitón peregrino en la óptica de fibra no lineal". Nature Physics . 6 (10): 790. Bibcode :2010NatPh...6..790K. doi : 10.1038/nphys1740 .
Obtenido de "https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Respirador&oldid=1235892863"