Representación fiel

En matemáticas , especialmente en un área del álgebra abstracta conocida como teoría de la representación , una representación fiel ρ de un grupo $G$ en un espacio vectorial $V$ es una representación lineal en la que los diferentes elementos $g$ de $G$ están representados por aplicaciones lineales distintas $ρ (g)$ . En un lenguaje más abstracto, esto significa que el homomorfismo de grupo es inyectivo (o uno a uno ). $\rho :G\to GL(V)$

Advertencia

Aunque las representaciones de $G$ sobre un cuerpo $K$ son de facto las mismas que $los K [G]$ - módulos (con $K [G]$ denotando el álgebra de grupo del grupo $G$ ), una representación fiel de $G$ no es necesariamente un módulo fiel para el álgebra de grupo. De hecho, cada $K [G]$ -módulo fiel es una representación fiel de $G$ , pero la inversa no se cumple. Consideremos por ejemplo la representación natural del grupo simétrico $S n$ en $n$ dimensiones por matrices de permutación , que ciertamente es fiel. Aquí el orden del grupo es $n!$ mientras que las matrices $n \times n$ forman un espacio vectorial de dimensión $n$ $2$ . Tan pronto como $n$ es al menos 4, el conteo de dimensiones significa que debe ocurrir alguna dependencia lineal entre matrices de permutación (ya que $24 > 16$ ); esta relación significa que el módulo para el álgebra de grupo no es fiel.

Propiedades

Una representación $V$ de un grupo finito $G$ sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $K$ de característica cero es fiel (como representación) si y solo si cada representación irreducible de $G$ ocurre como una subrepresentación de $S n V$ (la $n$ -ésima potencia simétrica de la representación $V ) para un$ $n$ suficientemente alto . Además, $V$ es fiel (como representación) si y solo si cada representación irreducible de $G$ ocurre como una subrepresentación de

V^{\otimes n}=\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{ times}}}

(la $n$ -ésima potencia tensorial de la representación $V ) para un$ $n$ suficientemente alto . ^[1]

Referencias

^ W. Burnside. Teoría de grupos de orden finito. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1955. 2.ª ed. (Teorema IV del Capítulo XV)

"Representación fiel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

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[1] W. Burnside. Teoría de grupos de orden finito. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1955. 2.ª ed. (Teorema IV del Capítulo XV)