Relación giromagnética

En física , la relación giromagnética (también conocida a veces como relación magnetogírica ^[1] en otras disciplinas) de una partícula o sistema es la relación entre su momento magnético y su momento angular , y suele denotarse con el símbolo γ , gamma. Su unidad en el SI es el radián por segundo por tesla (rad⋅s ⁻¹ ⋅T ⁻¹ ) o, equivalentemente, el culombio por kilogramo (C⋅kg ⁻¹ ). ^{[ cita requerida ]}

El término "cociente giromagnético" se utiliza a menudo ^[2] como sinónimo de una cantidad diferente pero estrechamente relacionada, el factor g . El factor g solo se diferencia del cociente giromagnético en que es adimensional .

Consideremos un cuerpo cargado no conductor que gira alrededor de un eje de simetría. Según las leyes de la física clásica, tiene un momento dipolar magnético debido al movimiento de carga y un momento angular debido al movimiento de masa que surge de su rotación. Se puede demostrar que, siempre que su carga, densidad de masa y flujo ^{[ aclaración necesaria ]} se distribuyan de manera idéntica y rotacionalmente simétrica, su relación giromagnética es

${\displaystyle \gamma ={\frac {q}{2m}}}$

¿Dónde está su carga y es su masa?${\estilo de visualización {q}}$${\estilo de visualización {m}}$

La derivación de esta relación es la siguiente. Basta con demostrarlo para un anillo circular infinitesimalmente estrecho dentro del cuerpo, ya que el resultado general se deduce de una integración . Supongamos que el anillo tiene radio r , área A = πr ² , masa m , carga q y momento angular L = mvr . Entonces la magnitud del momento dipolar magnético es

${\displaystyle \mu =IA={\frac {qv}{2\pi r}}\,\pi r^{2}={\frac {q}{2m}}\,mvr={\frac {q}{2m}}L~.}$

Un electrón aislado tiene un momento angular y un momento magnético resultantes de su espín . Si bien el espín de un electrón a veces se visualiza como una rotación literal sobre un eje, no se puede atribuir a la masa distribuida de manera idéntica a la carga. La relación clásica anterior no se cumple, dando el resultado erróneo por el valor absoluto del factor g del electrón , que se denota g _e : donde μ _B es el magnetón de Bohr .$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }={\frac {-e}{2m_{\mathrm {e} }}}\,|g_{\mathrm {e} }|={\frac {g_ {\mathrm {e} }\mu _ {\mathrm {B} }}{\hbar }}\,,}$$

La relación giromagnética debida al espín del electrón es el doble de la debida a la órbita de un electrón.

En el marco de la mecánica cuántica relativista, donde es la constante de estructura fina . Aquí las pequeñas correcciones al resultado relativista g = 2 provienen de los cálculos de la teoría cuántica de campos del momento dipolar magnético anómalo . El factor g del electrón se conoce con doce decimales midiendo el momento magnético del electrón en un ciclotrón de un electrón: ^[3]$${\displaystyle g_{\mathrm {e}}=-2\left(1+{\frac {\alpha }{\,2\pi \,}}+\cdots \right)~,}$$${\estilo de visualización \alpha}$$${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2.002\,319\,304\,361\,18(27).}$$

La relación giromagnética de los electrones es ^{[4] [5] [6]}$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }=\mathrm {-1.760\,859\,630\,23(53)\times 10^{11}\,rad{\cdot }s^{-1 }{\cdot }T^{-1}} }$$$${\displaystyle {\frac {\gamma _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\mathrm {-28\,024.951\,4242(85)\,MHz{\cdot }T^{- 1}} .}$$

El factor g del electrón y γ concuerdan perfectamente con la teoría; consulte las pruebas de precisión de QED para obtener más detalles. ^[7]

Como de la ecuación de Dirac se sigue un factor giromagnético igual a 2, es un error frecuente pensar que un factor g 2 es una consecuencia de la relatividad; no lo es. El factor 2 se puede obtener a partir de la linealización tanto de la ecuación de Schrödinger como de la ecuación relativista de Klein-Gordon (que conduce a la de Dirac). En ambos casos se obtiene un espinor 4 y para ambas linealizaciones el factor g es igual a 2; por lo tanto, el factor 2 es una consecuencia del acoplamiento mínimo y del hecho de tener el mismo orden de derivadas para el espacio y el tiempo. ^[8]

Giro físico1/2Las partículas que no pueden describirse mediante la ecuación de Dirac calibrada lineal satisfacen la ecuación de Klein-Gordon calibrada extendida por la ecuación g . mi/4⁠ σ ^μν F _μν término según,^[9]

${\displaystyle \left[\,\left(\partial ^{\mu }\,u+i\,e\,A^{\mu }\right)\,\left(\partial _{\mu }+i\,e\,A_{\mu }\right)+g\,{\frac {e}{\,4\,}}\,\sigma ^{\mu \nu }\,F_{\mu \nu }+m^{2}\,\right]\;\psi \;=\;0~,\quad g\neq 2~.}$

Aquí, ⁠1/2⁠ σ ^μν y F ^μν representan los generadores del grupo de Lorentz en el espacio de Dirac y el tensor electromagnético respectivamente, mientras que A ^μ es el tetrapotencial electromagnético . Un ejemplo de una partícula de este tipo, ^[9] es el espín ⁠1/2⁠ compañero para girar ⁠3/2⁠ en el espacio de representación D ^(½,1) ⊕ D ^(1,½) del grupo de Lorentz . Se ha demostrado que esta partícula se caracteriza por g = ⁠−+2/3⁠ y en consecuencia comportarse como un fermión verdaderamente cuadrático.

Los protones , neutrones y muchos núcleos tienen un espín nuclear , lo que da lugar a una relación giromagnética como la que se indica más arriba. La relación se escribe convencionalmente en términos de la masa y la carga del protón, incluso para los neutrones y otros núcleos, por razones de simplicidad y coherencia. La fórmula es:

${\displaystyle \gamma _{\text{n}}={\frac {e}{\,2m_{\text{p}}\,}}\,g_{\rm {n}}=g_{\rm {n}}\,{\frac {\,\mu _{\mathrm {N} }\,}{\hbar }}~,}$

donde es el magnetón nuclear y es el factor g del nucleón o núcleo en cuestión. La relación igual a es 7,622593285(47) MHz/T. ^[10]${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }}$$estilo de visualización g_{\rm {n}}}$${\displaystyle \,{\frac {\gamma _{n}}{\,2\pi \,g_{\rm {n}}\,}}\,,}$${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }/h}$

La relación giromagnética de un núcleo desempeña un papel en la resonancia magnética nuclear (RMN) y en la obtención de imágenes por resonancia magnética (IRM). Estos procedimientos se basan en el hecho de que la magnetización en masa debida a los espines nucleares precesa en un campo magnético a una velocidad denominada frecuencia de Larmor , que es simplemente el producto de la relación giromagnética por la intensidad del campo magnético. Con este fenómeno, el signo de γ determina el sentido (horario o antihorario) de la precesión.

Los núcleos más comunes, como ¹ H y ¹³ C, tienen relaciones giromagnéticas positivas. ^{[11] [12]} En la siguiente tabla se dan valores aproximados para algunos núcleos comunes. ^{[13] [14]}

Núcleo	${\displaystyle \gamma_{n}}$(10 6 rad⋅s −1 ⋅T −1 )	${\displaystyle \gamma _{n}/(2\pi )}$(MHz⋅T − 1)
1 hora	267.522 187 08 (11) [15]	42.577 478 461 (18) [16]
1 H (en H2O )	267.515 3194 (11) [17]	42.576 385 43 (17) [18]
2 horas	41.065	6.536
3 horas	285.3508	45.415 [19]
3 Él	−203.789 460 78 (18) [20]	−32.434 100 033 (28) [21]
7 Li	103.962	16.546
13 C	67.2828	10.7084
14 N	19.331	3.077
15 N	−27,116	−4.316
17 O	−36.264	−5,772
19 F	251.815	40.078
23 de noviembre	70.761	11.262
27 Al	69.763	11.103
29 Sí	−53,190	−8,465
31 P	108.291	17.235
57 Fe	8.681	1.382
63 pies cúbicos	71.118	11.319
67Zn​	16.767	2.669
129 Xe	−73.995 401 (2)	−11.776 7338 (3) [22]

Cualquier sistema libre con una relación giromagnética constante, como un sistema rígido de cargas, un núcleo o un electrón , cuando se coloca en un campo magnético externo B (medido en teslas) que no está alineado con su momento magnético , precesará a una frecuencia f (medida en hercios ), que es proporcional al campo externo:

${\displaystyle f={\frac {\gamma }{2\pi }}B.}$

Por esta razón, los valores de ⁠gamma/2π​ ⁠ , en unidades de hercios por tesla (Hz/T), a menudo se expresan en lugar de γ .

La derivación de esta relación es la siguiente: Primero debemos probar que el torque resultante de someter un momento magnético a un campo magnético es La identidad de la forma funcional de los campos eléctrico y magnético estacionarios ha llevado a definir la magnitud del momento dipolar magnético igualmente bien que , o de la siguiente manera, imitando el momento p de un dipolo eléctrico: El dipolo magnético puede ser representado por una aguja de una brújula con cargas magnéticas ficticias en los dos polos y el vector distancia entre los polos bajo la influencia del campo magnético de la tierra. Por la mecánica clásica el torque en esta aguja es Pero como se dijo anteriormente así surge la fórmula deseada. es el vector distancia unitaria.${\displaystyle \mathbf {m}}$${\displaystyle \mathbf {B}}$${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} \,.}$${\displaystyle m=I\pi r^{2}}$$estilo de visualización \pm q_{\rm {m}}}$${\displaystyle \mathbf {d}}$${\displaystyle \,\mathbf {B} \,.}$${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=q_{\rm {m}}(\mathbf {d} \times \mathbf {B} )\,.}$${\displaystyle \,q_{\rm {m}}\mathbf {d} = I\pi r^{2}{\hat {\mathbf {d} }}=\mathbf {m} \,,}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d}}}$

El modelo del electrón giratorio que utilizamos en la derivación tiene una analogía evidente con un giroscopio. Para cualquier cuerpo giratorio, la tasa de cambio del momento angular es igual al par aplicado :${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$${\displaystyle \mathbf {T}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {J} }{dt}}=\mathbf {T} ~.}$

Observemos como ejemplo la precesión de un giroscopio. La atracción gravitatoria de la Tierra aplica una fuerza o par al giroscopio en dirección vertical, y el vector de momento angular a lo largo del eje del giroscopio gira lentamente alrededor de una línea vertical que pasa por el pivote. En lugar del giroscopio, imaginemos una esfera que gira alrededor del eje y con su centro en el pivote del giroscopio, y a lo largo del eje del giroscopio dos vectores de dirección opuesta, ambos originados en el centro de la esfera, hacia arriba y hacia abajo. Reemplacemos la gravedad por una densidad de flujo magnético. ${\displaystyle \mathbf {J}}$${\displaystyle \mathbf {m} .}$${\displaystyle \,\mathbf {B} ~.}$

${\displaystyle {\frac {\,\operatorname {d} \mathbf {J} \,}{\,\operatorname {d} t\,}}}$representa la velocidad lineal del pica de la flecha a lo largo de un círculo cuyo radio es donde es el ángulo entre y la vertical. Por lo tanto la velocidad angular de la rotación del espín es${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$${\displaystyle \,J\sin {\phi }\,,}$${\estilo de visualización \,\phi \,}$${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$

${\displaystyle \omega =2\pi \,f={\frac {1}{\,J\,\sin {\phi }\,}}\,\left|{\frac {\,{\rm {{d}\,\mathbf {J} \,}}}{\,{\rm {{d}\,t\,}}}}\right|={\frac {\,\left|\mathbf {T} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,\left|\mathbf {m} \times \mathbf {B} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\sin {\phi }\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\,}{J}}=\gamma \,B~.}$

Como consecuencia,${\displaystyle f={\frac {\gamma }{\,2\pi \,}}\,B~.\quad {\text{q.e.d.}}}$

Esta relación también explica una aparente contradicción entre los dos términos equivalentes, relación giromagnética versus relación magnetogírica : mientras que es una relación entre una propiedad magnética (es decir, momento dipolar ) y una propiedad gírica (rotacional, del griego : γύρος , "giro") (es decir, momento angular ), es también, al mismo tiempo , una relación entre la frecuencia de precesión angular (otra propiedad gírica ) ω = 2 πf y el campo magnético .

La frecuencia de precesión angular tiene un significado físico importante: es la frecuencia angular del ciclotrón , la frecuencia de resonancia de un plasma ionizado que está bajo la influencia de un campo magnético finito estático, cuando superponemos un campo electromagnético de alta frecuencia.

• Relación carga-masa
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