Reglas de votación de Thiele

Las reglas de votación de Thiele son reglas para la votación de múltiples ganadores . Permiten a los votantes votar por candidatos individuales en lugar de partidos, pero aún así garantizan la representación proporcional . Fueron publicadas por Thorvald Thiele en danés en 1895, ^[1] y traducidas al inglés por Svante Janson en 2016. ^[2] Se utilizaron en las elecciones parlamentarias suecas para distribuir escaños dentro de los partidos, y todavía se utilizan en las elecciones municipales.

En la votación de aprobación con múltiples ganadores , cada votante puede votar por uno o más candidatos y el objetivo es seleccionar un número fijo k de ganadores (donde k puede ser, por ejemplo, el número de miembros del parlamento). La pregunta es ¿cómo determinar el conjunto de ganadores?

• El método más sencillo es el voto múltiple intransferible , en el que se eligen a los k candidatos con mayor número de aprobaciones, pero este método tiende a seleccionar a k candidatos del partido mayoritario, dejando a los partidos menores sin representación alguna.
• En el siglo XIX se debatió mucho sobre los sistemas electorales que podían garantizar la representación proporcional . Una solución, defendida por ejemplo por D'Hondt en 1878, fue la de votar por listas de partidos en lugar de por candidatos individuales. Esta solución sigue siendo muy común hoy en día.

Thiele quería mantener el voto para los candidatos individuales, de modo que los votantes pudieran aprobar a los candidatos en función de sus méritos personales. Sin embargo, los métodos de Thiele pueden manejar situaciones más generales, en las que los votantes pueden votar por candidatos de diferentes partidos (de hecho, el método ignora la información sobre qué candidato pertenece a qué partido). ^{[2] : Sec.1}

Denotamos el número de votantes por n , el número de candidatos por m , y el número requerido de miembros del comité k . Con boletas de aprobación , cada votante i tiene un conjunto de aprobación A _i , que contiene el subconjunto de candidatos que i aprueba. El objetivo es: dados los conjuntos A _i , seleccionar un subconjunto W de candidatos ganadores , tal que | W |= k . Este subconjunto representa el comité elegido.

Las reglas de Thiele se basan en el concepto de función de satisfacción . Es una función f que asigna el número de miembros del comité aprobados por un votante a una cantidad numérica que representa la satisfacción de este votante con el comité. Por lo tanto, si el votante i aprueba un conjunto de candidatos A _i , y el conjunto de candidatos elegidos es W , entonces la satisfacción del votante es . El objetivo de los métodos de Thiele es encontrar un comité W que maximice la satisfacción total (siguiendo la regla utilitaria ). Los resultados dependen obviamente de la función f . Sin pérdida de generalidad, podemos normalizar f de modo que f(0)=0 y f(1)=1. Thiele afirma que la selección de f debería depender del propósito de las elecciones: ^{[2] : Sec.4}${\displaystyle f(|A_{i}\cap W|)}$

• Para elegir un gobierno, todos los miembros tienen la misma importancia, por lo que la función identidad f( r )= r para todo r tiene sentido.
• Para elegir un comité de investigación es importante que haya diversidad, por lo que sugiere f( r )= ind (r≥1), es decir: f (r)= 1 si r≥1 y 0 en caso contrario.
• Para elegir un cuerpo representativo, sugiere f( r )= Armónico (r) = 1/1 + 1/2 + ... + 1/ r .

Para cada elección de f , Thiele sugirió tres métodos.

Métodos de optimización : encontrar el comité que maximice la satisfacción total.

• Cuando f(r)=r, el método de optimización de Thiele es equivalente al método conocido como votación de aprobación (AV) , que simplemente elige a los k candidatos con el mayor número total de votos; no es proporcional hacia los grupos minoritarios.
• Cuando f( r )=ind( r≥1 ), el método de optimización de Thiele es equivalente al método conocido como regla de votación de Chamberlin-Courant (CC) , que tiene como objetivo maximizar el número de ciudadanos representados por al menos un miembro del comité. Mejora la diversidad, pero no es proporcional a los grupos mayoritarios.
• Cuando f( r )=Armónico(r), el método de optimización de Thiele es equivalente al voto de aprobación proporcional (PAV) , que fue redescubierto por Forest Simmons en 2001. ^[3] Es la única elección de f que garantiza una representación justificada .

En general, la solución del problema de optimización global es un problema computacional NP-hard , excepto cuando f( r )= r . Por lo tanto, Thiele sugirió dos algoritmos de aproximación voraz :

Métodos de adición : los candidatos se eligen uno por uno; en cada ronda, el candidato elegido es aquel que maximiza el aumento de la satisfacción total. Esto es equivalente a una votación ponderada donde cada votante i, con r _i ganadores aprobados hasta el momento, tiene un peso de f( r _i +1)-f( r _i ).

• Cuando f( r )=r, el peso del votante i es siempre 1, independientemente del número de ganadores que apruebe hasta el momento. Por lo tanto, la regla resultante es nuevamente votación de aprobación .
• Cuando f( r )=Harmonic( r ), el peso del votante i es 1/ r _i ; el método resultante a menudo se denomina PAV secuencial .
• Cuando f( r )=ind(r≥1), el peso del votante i es 1 si aún no está representado y 0 si ya lo está. El método resultante se denomina Votación de Aprobación Codiciosa ^[4] o Votación de Chamberlin-Courant Codiciosa.

Los métodos de eliminación funcionan en la dirección opuesta a los métodos de adición: comenzando con el conjunto de todos los m candidatos, los candidatos se eliminan uno por uno, hasta que solo quedan k ; en cada ronda, el candidato eliminado es aquel que minimiza la disminución en la satisfacción total.

• Cuando f( r )=Harmonic( r ), la regla resultante es equivalente a una regla llamada Ponderación Armónica, reinventada como un método para ordenar alternativas para su visualización en el sistema de votación electrónica LiquidFeedback . ^[5]

Existe una versión de votación por orden de preferencia para el método de adición de Thiele. En cada ronda, cada votante i , con r _i ganadores aprobados hasta el momento, tiene un peso de votación de f( r _i +1)-f( r _i ). El peso de cada votante se cuenta solo para su principal candidato restante . El candidato con el mayor peso total es elegido.

Fue propuesto en el parlamento sueco en 1912 y rechazado; pero luego fue adoptado para elecciones dentro de los consejos de ciudades y condados, y todavía se usa para ese propósito. ^{[2] : Sec.10}

Para cada votación posible b , sea v _b el número de votantes que votaron exactamente b (por ejemplo: aprobaron exactamente el mismo conjunto de candidatos). Sea p _b la fracción de votantes que votaron exactamente b (= v _b / el número total de votos). Un método de votación se llama homogéneo si depende solo de las fracciones p _b . Por lo tanto, si los números de votos se multiplican todos por la misma constante, el método devuelve el mismo resultado. Los métodos de Thiele son homogéneos en ese sentido. ^{[2] : Rem.2.1}

El método de adición de Thiele satisface una propiedad conocida como monotonía de la casa : cuando el número de miembros del comité aumenta, todos los miembros elegidos previamente siguen siendo elegidos. Esto se desprende inmediatamente de la descripción del método. El método de eliminación de Thiele también es monótono de la casa. Pero el método de optimización de Thiele generalmente viola la monotonía de la casa, como lo señaló el propio Thiele. De hecho, el método de optimización de Thiele satisface la monotonía de la casa solo para la función de satisfacción (normalizada) f( r )= r . Aquí hay un ejemplo: ^{[2] : Sec.5.1}

• Supongamos primero que f(2)<2. Supongamos que hay tres candidatos x, y, z y cuatro ciudadanos con conjuntos de aprobación xy, xz, y, z. Cuando k = 1, todos los comités {x}, {y}, {z} tienen la misma satisfacción total: 2f(1)+2f(0) = 2+0 = 2 (por normalización) por lo que el comité es elegido por desempate; supongamos que se elige {x}. Ahora supongamos que k aumenta a 2. La satisfacción de {x, y} y de {x, z} es f(2)+2f(1)+f(0) = f(2)+2; la satisfacción de {y, z} es 4f(1) = 4. Si f(2)<2, entonces se elige {y, z}, lo que viola la monotonía de la casa.
• Supongamos ahora que f(2) > 2. Supongamos que hay tres candidatos x, y, z y dos ciudadanos con conjuntos de aprobación x e yz. Cuando k = 1, todos los comités {x}, {y}, {z} tienen la misma satisfacción total 1; supongamos que {x} es elegido. Ahora supongamos que k aumenta a 2. La satisfacción de {x, y} y de {x, z} es 2f(1) = 2; la satisfacción de {y, z} es f(2). Si f(2) > 2, entonces {y, z} es elegido, lo que viola la monotonía de la casa.
• Por lo tanto, f(2)=2 debe cumplirse para que se cumpla la monotonía de la casa. Utilizando argumentos similares, podemos demostrar que f( r )= r para todo r .

Esto también implica que el método de optimización de Thiele coincide con el método de adición si y solo si f( r )= r . ^{[2] : Rem.5.2}

Lackner y Skowron ^[6] muestran que las reglas de votación de Thiele pueden utilizarse para interpolar entre proporcionalidad regresiva y decreciente: PAV es proporcional; las reglas en las que la pendiente de la función de puntuación es superior a la de PAV satisfacen la proporcionalidad regresiva; y las reglas en las que la pendiente de la función de puntuación es inferior a la de PAV satisfacen la proporcionalidad decreciente. Además, si la puntuación de satisfacción del i -ésimo candidato aprobado es (1/ p ) ⁱ , para varios valores de p , obtenemos todo el espectro entre CC y AV. ^[7]

• Reglas de votación de Phragmen