Celosía de Niemeier

En matemáticas , una red de Niemeier es una de las 24 redes unimodulares positivas definidas pares de rango 24, que fueron clasificadas por Hans-Volker Niemeier  (1973). Venkov (1978) dio una prueba simplificada de la clasificación. Witt (1941) menciona que encontró más de 10 de estas redes, pero no da más detalles. Un ejemplo de una red de Niemeier es la red de Leech encontrada en 1967.

Las redes de Niemeier suelen etiquetarse mediante el diagrama de Dynkin de su red de raíces . Cada red de Niemeier se puede construir a partir de su red de raíces (excepto la red de Leech, que no tiene raíces) mediante la unión de elementos conocidos como vectores de pegamento, como se detalla en §16.1 de Conway & Sloane (1998). Los diagramas de Dynkin asociados con una red de Niemeier tienen rango 0 o 24, y todos sus componentes tienen el mismo número de Coxeter . (El número de Coxeter, al menos en estos casos, es el número de raíces dividido por la dimensión). Hay exactamente 24 diagramas de Dynkin con estas propiedades, y resulta que hay una red de Niemeier única para cada uno de estos diagramas de Dynkin.

La lista completa de redes de Niemeier se da en la siguiente tabla. En la tabla,

G ₀ es el orden del grupo generado por reflexiones

G ₁ es el orden del grupo de automorfismos que fija todos los componentes del diagrama de Dynkin

G ₂ es el orden del grupo de automorfismos de permutaciones de componentes del diagrama de Dynkin

G _∞ es el índice de la red de raíces en la red de Niemeier, es decir, el orden del "código de cola". Es la raíz cuadrada del discriminante de la red de raíces.

G ₀ × G ₁ × G ₂ es el orden del grupo de automorfismos de la red

G _∞ × G ₁ × G ₂ es el orden del grupo de automorfismos del agujero profundo correspondiente.

Fila	Sistema de raíces enrejadas	Diagrama de Dynkin	Número de Coxeter	G 0	G 1	G2​	G ∞
1	Celosía de sanguijuelas (sin raíces)		0	1	2Co 1	1	Z24​
2	Un 1 24		2	2 24	1	M24​	2 12
3	Un 2 12		3	3! 12	2	M 12	3 6
4	Un 3 8		4	4! 8	2	1344	4 4
5	Un 4 6		5	5! 6	2	120	5 3
6	Un 5 4 D 4		6	6! 4 (2 3 4!)	2	24	72
7	D46​​		6	(2 3 4!) 6	3	720	4 3
8	Un 6 4		7	7! 4	2	12	7 2
9	Un 7 2 D 5 2		8	8! 2 (2 4 5!) 2	2	4	32
10	Un 8 3		9	9! 3	2	6	27
11	Un 9 2 D 6		10	10! 2 (2 5 6!)	2	2	20
12	D 6 4		10	(2 5 6!) 4	1	24	16
13	E64​​		12	( 27345 ) 4​​	2	24	9
14	Un 11 D 7 E 6		12	12!(2 6 7!)(2 7 3 4 5)	2	1	12
15	Un 12 2		13	13! 2	2	2	13
16	D83​​		14	(278 ! ) 3	1	6	8
17	Un 15 D 9		16	16!(2 8 9!)	2	1	8
18	Un 17 y 7		18	18!(2 10 3 4 5.7)	2	1	6
19	D10E72​​​​		18	(2 9 10!) (2 10 3 4 5.7) 2	1	2	4
20	D122​​		22	( 21112 !) 2	1	2	4
21	Un 24		25	25!	2	1	5
22	D 16 E 8		30	( 21516 ! ) ( 21435527 )​​	1	1	2
23	E83​​		30	(2 14 3 5 5 2 7) 3	1	6	1
24	D24​		46	2 23 24!	1	1	2

Si L es una red unimodular impar de dimensión 8 n y M su subred de vectores pares, entonces M está contenido en exactamente 3 redes unimodulares, una de las cuales es L y las otras dos son pares. (Si L tiene un vector de norma 1 entonces las dos redes pares son isomorfas .) El grafo de vecindad de Kneser en 8 n dimensiones tiene un punto por cada red par, y una línea que une dos puntos por cada red impar de 8 n dimensiones sin vectores de norma 1, donde los vértices de cada línea son las dos redes pares asociadas a la red impar. Puede haber varias líneas entre el mismo par de vértices, y puede haber líneas desde un vértice hasta sí mismo. Kneser demostró que este grafo siempre está conexo. En 8 dimensiones tiene un punto y ninguna línea, en 16 dimensiones tiene dos puntos unidos por una línea, y en 24 dimensiones es el siguiente grafo:

Cada punto representa una de las 24 redes de Niemeier y las líneas que las unen representan las 24 redes unimodulares impares dimensionales sin vectores de norma 1. El número de la izquierda es el número de Coxeter de la red de Niemeier. El número de índice rojo en el nodo indica la fila de la tabla asociada anterior.

En 32 dimensiones, el gráfico de vecindad tiene más de mil millones de vértices.

Algunas de las redes de Niemeier están relacionadas con grupos simples esporádicos . La red de Leech está influenciada por una doble cobertura del grupo de Conway , y las redes A ₁ ²⁴ y A ₂ ¹² están influenciadas por los grupos de Mathieu M ₂₄ y M ₁₂ .

Las redes de Niemeier, distintas de la red de Leech, corresponden a los agujeros profundos de la red de Leech. Esto implica que los diagramas de Dynkin afines de las redes de Niemeier se pueden ver dentro de la red de Leech, cuando dos puntos de la red de Leech están unidos por ninguna línea cuando tienen distancia , por 1 línea si tienen distancia , y por una línea doble si tienen distancia .${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle {\sqrt {8}}}$

Las redes de Niemeier también corresponden a las 24 órbitas de los vectores de norma cero primitivos w de la red lorentziana unimodular par II _25,1 , donde la red de Niemeier correspondiente a w es w ^⊥ / w .

• Luz de luna umbral
• Fórmula de masa de Smith Minkowski Siegel#Dimensión n = 24

• Chenevier, Gaëtan; Lannes, Jean (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier , arXiv : 1409.7616 , Bibcode :2014arXiv1409.7616C
• Conway, JH ; Sloane, NJA (1998). Empaquetamientos de esferas, redes y grupos (3.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9.
• Ebeling, Wolfgang (2002) [1994], Celosías y códigos, Conferencias avanzadas de matemáticas (ed. revisada), Braunschweig: Friedr. Vieweg y Sohn, doi :10.1007/978-3-322-90014-2, ISBN 978-3-528-16497-3, Sr.  1938666
• Niemeier, Hans-Volker (1973). «Definite quadratische Formen der Dimension 24 und Diskriminate 1» (En alemán) . Revista de teoría de números . 5 (2): 142-178. Código bibliográfico : 1973JNT.....5..142N. doi : 10.1016/0022-314X(73)90068-1 . SEÑOR  0316384.
• Venkov, BB (1978), "Sobre la clasificación de formas cuadráticas integrales incluso unimodulares de 24 dimensiones", Akademiya Nauk Soyuza Sovetskikh Sotsialisticheskikh Respublik. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova , 148 : 65–76, ISSN  0371-9685, SEÑOR  0558941Traducción al inglés en Conway & Sloane (1998)
• Witt, Ernst (1941), "Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 14 : 323–337, doi :10.1007/BF02940750, MR  0005508, S2CID  120849019
• Witt, Ernst (1998), Artículos recopilados. Gesammelte Abhandlungen , Springer Collected Works in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-41970-6, ISBN 978-3-540-57061-5, Sr.  1643949

• Catálogo de celosías de la Universidad de Aquisgrán