Red browniana

En teoría de la probabilidad , la red browniana es una colección incontable de movimientos brownianos unidimensionales que se fusionan y que comienzan desde cada punto en el espacio y el tiempo. Surge como el límite de escala difusivo espacio-temporal de una colección de caminatas aleatorias que se fusionan , con una caminata que comienza desde cada punto de la red entera Z en cada momento.

Lo que ahora se conoce como la red browniana fue concebida por primera vez por Arratia en su tesis doctoral ^[1] y en un manuscrito posterior incompleto e inédito. ^[2] Arratia estudió el modelo de votante , un sistema de partículas interactuantes que modela la evolución de las opiniones políticas de una población. Los individuos de la población están representados por los vértices de un grafo, y cada individuo lleva una de dos opiniones posibles, representadas como 0 o 1. Independientemente a una tasa de 1, cada individuo cambia su opinión a la de un vecino elegido al azar. Se sabe que el modelo de votante es dual a los paseos aleatorios coalescentes (es decir, los paseos aleatorios se mueven independientemente cuando están separados, y se mueven como un solo paseo una vez que se encuentran) en el sentido de que: la opinión de cada individuo en cualquier momento se puede rastrear hacia atrás en el tiempo hasta un ancestro en el momento 0, y las genealogías conjuntas de las opiniones de diferentes individuos en diferentes momentos es una colección de paseos aleatorios coalescentes que evolucionan hacia atrás en el tiempo. En la dimensión espacial 1, los paseos aleatorios coalescentes que comienzan desde un número finito de puntos del espacio-tiempo convergen a un número finito de movimientos brownianos coalescentes , si el espacio-tiempo se reescala de manera difusiva (es decir, cada punto del espacio-tiempo (x,t) se asigna a (εx,ε^2t), con ε↓0). Esto es una consecuencia del principio de invariancia de Donsker . La pregunta menos obvia es:

¿Cuál es el límite de escala difusiva de la colección conjunta de paseos aleatorios unidimensionales que se fusionan a partir de cada punto en el espacio-tiempo?

Arratia se propuso construir este límite, que es lo que ahora llamamos la red browniana. Formalmente hablando, es una colección de movimientos brownianos unidimensionales que se fusionan y comienzan desde cada punto del espacio-tiempo en . El hecho de que la red browniana consista en un número incontable de movimientos brownianos es lo que hace que la construcción sea altamente no trivial. Arratia presentó una construcción, pero no pudo demostrar la convergencia de los paseos aleatorios que se fusionan hacia un objeto límite y caracterizar dicho objeto límite.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Tóth y Werner en su estudio del verdadero movimiento auto-repelente ^[3] obtuvieron muchas propiedades detalladas de este objeto limitante y su dual pero no probaron la convergencia de los paseos coalescentes a este objeto limitante ni lo caracterizaron. La principal dificultad para probar la convergencia surge de la existencia de puntos aleatorios desde los cuales el objeto limitante puede tener múltiples caminos. Arratia y Tóth y Werner eran conscientes de la existencia de tales puntos y proporcionaron diferentes convenciones para evitar tal multiplicidad. Fontes, Isopi, Newman y Ravishankar ^[4] introdujeron una topología para el objeto limitante de modo que se realice como una variable aleatoria que toma valores en un espacio polaco , en este caso, el espacio de conjuntos compactos de caminos. Esta elección permite que el objeto limitante tenga múltiples caminos desde un punto aleatorio del espacio-tiempo. La introducción de esta topología les permitió probar la convergencia de los paseos aleatorios coalescentes a un único objeto limitante y caracterizarlo. Llamaron a este objeto limitante red browniana.

^{Sun y Swart [5]} introdujeron una extensión de la red browniana, llamada red browniana , que permite que los movimientos brownianos coalescentes experimenten ramificaciones. Newman, Ravishankar y Schertzer propusieron una construcción alternativa de la red browniana. ^[6]

Para una encuesta reciente, véase Schertzer, Sun y Swart. ^[7]