Conjunto rectificable

En matemáticas , un conjunto rectificable es un conjunto que es uniforme en un cierto sentido de la teoría de la medida . Es una extensión de la idea de una curva rectificable a dimensiones superiores; en términos generales, un conjunto rectificable es una formulación rigurosa de un conjunto uniforme por partes. Como tal, tiene muchas de las propiedades deseables de las variedades uniformes , incluidos los espacios tangentes que se definen casi en todas partes . Los conjuntos rectificables son el objeto de estudio subyacente en la teoría de la medida geométrica .

Definición

Se dice que un subconjunto de Borel del espacio euclidiano es un conjunto rectificable si tiene dimensión de Hausdorff y existe una colección contable de mapas continuamente diferenciables. mi {\estilo de visualización E} R norte {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} metro {\estilo de visualización m} mi {\estilo de visualización E} metro {\estilo de visualización m} { F i } {\displaystyle \{f_{i}\}}

F i : R metro R norte {\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}

de modo que la medida de Hausdorff de metro {\estilo de visualización m} yo metro {\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}

mi i = 0 F i ( R metro ) {\displaystyle E\setminus \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)}

es cero. La barra invertida aquí denota la diferencia de conjuntos . De manera equivalente, se puede tomar como Lipschitz continuo sin alterar la definición. [1] [2] [3] Otros autores tienen definiciones diferentes, por ejemplo, no requieren que sea -dimensional, sino que requieren que sea una unión contable de conjuntos que son la imagen de un mapa de Lipschitz de algún subconjunto acotado de . [4] F i estilo de visualización f_{i}} mi {\estilo de visualización E} metro {\estilo de visualización m} mi {\estilo de visualización E} R norte {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

Se dice que un conjunto es puramente -irrectificable si para cada (continuo, diferenciable) , se tiene mi {\estilo de visualización E} metro {\estilo de visualización m} F : R metro R norte {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}

yo metro ( mi F ( R metro ) ) = 0. {\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left(E\cap f\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right)=0.}

Un ejemplo estándar de un conjunto puramente 1-irrectificable en dos dimensiones es el producto cartesiano del conjunto Smith-Volterra-Cantor por sí mismo.

Conjuntos rectificables en espacios métricos

Federer (1969, pp. 251–252) da la siguiente terminología para conjuntos m -rectificables E en un espacio métrico general X.

  1. E es rectificable cuando existe una función de Lipschitz para algún subconjunto acotado de sobre . metro {\estilo de visualización m} F : K mi {\displaystyle f:K\to E} K {\estilo de visualización K} R metro {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} mi {\estilo de visualización E}
  2. E es contablemente rectificable metro {\estilo de visualización m} cuando E es igual a la unión de una familia contable de conjuntos rectificables. metro {\estilo de visualización m}
  3. E es contablemente rectificable ( ϕ , metro ) {\displaystyle (\phi ,m)} cuando es una medida en X y hay un conjunto contablemente rectificable F tal que . ϕ {\displaystyle \phi } m {\displaystyle m} ϕ ( E F ) = 0 {\displaystyle \phi (E\setminus F)=0}
  4. E es rectificable cuando E es rectificable contablemente y ( ϕ , m ) {\displaystyle (\phi ,m)} ( ϕ , m ) {\displaystyle (\phi ,m)} ϕ ( E ) < {\displaystyle \phi (E)<\infty }
  5. E es puramente irrectifable ( ϕ , m ) {\displaystyle (\phi ,m)} cuando es una medida en X y E no incluye ningún conjunto rectificable F con . ϕ {\displaystyle \phi } m {\displaystyle m} ϕ ( F ) > 0 {\displaystyle \phi (F)>0}

La definición 3 es la que más se acerca a la definición anterior para subconjuntos de espacios euclidianos. ϕ = H m {\displaystyle \phi ={\mathcal {H}}^{m}} X = R n {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}

Notas

  1. ^ Simon 1984, p. 58, llama a esta definición "contablemente m -rectificable".
  2. ^ "Conjunto rectificable", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Conjunto rectificable". MathWorld . Consultado el 17 de abril de 2020 .
  4. ^ Federer (1969, págs. 3.2.14)

Referencias

  • Conjunto rectificable en Enciclopedia de Matemáticas
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rectifiable_set&oldid=1230770634"