Función radial

En matemáticas , una función radial es una función de valor real definida en un espacio euclidiano cuyo valor${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ en cada punto depende únicamente de la distancia entre ese punto y el origen . La distancia suele ser la distancia euclidiana . Por ejemplo, una función radial Φ en dos dimensiones tiene la forma ^[1] donde φ es una función de una única variable real no negativa. Las funciones radiales se contrastan con las funciones esféricas , y cualquier función descendente (por ejemplo, continua y decreciente rápidamente ) en el espacio euclidiano se puede descomponer en una serie que consta de partes radiales y esféricas: la expansión armónica esférica sólida .$${\displaystyle \Phi(x,y)=\varphi(r),\quadr={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

Una función es radial si y solo si es invariante bajo todas las rotaciones que dejan fijo el origen. Es decir, f es radial si y solo si para todo ρ ∈ SO( n ) , el grupo ortogonal especial en n dimensiones. Esta caracterización de las funciones radiales permite también definir distribuciones radiales . Se trata de distribuciones S en ⁠ ⁠ tales que para toda función de prueba φ y rotación ρ .$${\displaystyle f\circ \rho = f\,}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle S[\varphi ]=S[\varphi \circ \rho ]}$$

Dada cualquier función f (localmente integrable) , su parte radial se obtiene promediando sobre esferas centradas en el origen. Es decir, donde ω _{n −1} es el área superficial de la ( n −1)-esfera S ^{n −1} , y r = | x | , x ′ = x / r . Se deduce esencialmente del teorema de Fubini que una función localmente integrable tiene una parte radial bien definida en casi todo r .$${\displaystyle \phi(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{S^{n-1}}f(rx')\,dx'}$$

La transformada de Fourier de una función radial también es radial, y por eso las funciones radiales juegan un papel vital en el análisis de Fourier . Además, la transformada de Fourier de una función radial típicamente tiene un comportamiento de decaimiento más fuerte en el infinito que las funciones no radiales: para funciones radiales acotadas en un entorno del origen, la transformada de Fourier decae más rápido que R ^{−( n −1)/2} . Las funciones de Bessel son una clase especial de función radial que surgen naturalmente en el análisis de Fourier como las funciones propias radiales del Laplaciano ; como tal, aparecen naturalmente como la porción radial de la transformada de Fourier.

• Función de base radial

• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.