Clasificación de grupos finitos simples

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones básicas Subgrupo Subgrupo normal Acción grupal Grupo de cocientes Producto (semi) directo Suma directa Producto gratuito Producto de corona Homomorfismos de grupo núcleo imagen simple finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

En matemáticas , la clasificación de los grupos finitos simples es el resultado de la teoría de grupos que establece que cada grupo finito simple es cíclico , alterno o pertenece a una amplia clase infinita llamada grupos de tipo Lie , o bien es una de las veintiséis excepciones, llamadas esporádicos (el grupo de Tits a veces se considera un grupo esporádico porque no es estrictamente un grupo de tipo Lie , ^[1] en cuyo caso habría 27 grupos esporádicos). La prueba consta de decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por unos 100 autores, publicados principalmente entre 1955 y 2004.

Los grupos simples pueden considerarse los bloques básicos de construcción de todos los grupos finitos , de manera similar a cómo los números primos son los bloques básicos de construcción de los números naturales (el/los número/s natural/es 0 y/o 1 no pueden construirse a partir de los primos). El teorema de Jordan-Hölder es una forma más precisa de expresar este hecho sobre los grupos finitos. Sin embargo, una diferencia significativa con la factorización de números enteros es que dichos "bloques básicos" no necesariamente determinan un grupo único, ya que podría haber muchos grupos no isomorfos con la misma serie de composición o, dicho de otra manera, el problema de extensión no tiene una solución única.

Daniel Gorenstein , Richard Lyons y Ronald Solomon están publicando gradualmente una versión simplificada y revisada de la prueba.

El teorema de clasificación tiene aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas, ya que las preguntas sobre la estructura de los grupos finitos (y su acción sobre otros objetos matemáticos) a veces pueden reducirse a preguntas sobre grupos finitos simples. Gracias al teorema de clasificación, a veces es posible responder a tales preguntas comprobando cada familia de grupos simples y cada grupo esporádico.

Daniel Gorenstein anunció en 1983 que todos los grupos finitos simples habían sido clasificados, pero esto fue prematuro ya que había sido mal informado acerca de la prueba de la clasificación de los grupos quasithinos . La prueba completa de la clasificación fue anunciada por Aschbacher (2004) después de que Aschbacher y Smith publicaran una prueba de 1221 páginas para el caso quasithinos faltante.

Gorenstein (1982, 1983) escribió dos volúmenes que describen la parte de la prueba que corresponde a la característica impar y de rango bajo, y Michael Aschbacher , Richard Lyons y Stephen D. Smith et al. (2011) escribieron un tercer volumen que cubre el caso de la característica 2 restante. La prueba se puede dividir en varias partes principales, como se muestra a continuación:

Los grupos simples de rango 2 bajo son en su mayoría grupos de tipo Lie de rango pequeño sobre campos de característica impar, junto con cinco grupos alternantes y siete de tipo 2 característicos y nueve grupos esporádicos.

Los grupos simples de pequeños átomos de 2 rangos incluyen:

• Grupos de 2 rangos 0, es decir, grupos de orden impar, todos ellos solucionables mediante el teorema de Feit-Thompson .
• Grupos de 2-rango 1. Los 2-subgrupos de Sylow son cíclicos, lo cual es fácil de manejar usando el mapa de transferencia, o cuaterniones generalizados , que se manejan con el teorema de Brauer-Suzuki : en particular, no hay grupos simples de 2-rango 1 excepto el grupo cíclico de orden dos.
• Grupos de 2-rango 2. Alperin demostró que el subgrupo de Sylow debe ser diedro, cuasidiédrico, en forma de corona o un 2-subgrupo de Sylow de U ₃ (4). El primer caso fue realizado por el teorema de Gorenstein-Walter que mostró que los únicos grupos simples son isomorfos a L ₂ ( q ) para q impar o A ₇ , el segundo y tercer caso fueron realizados por el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein que implica que los únicos grupos simples son isomorfos a L ₃ ( q ) o U ₃ ( q ) para q impar o M ₁₁ , y el último caso fue realizado por Lyons quien mostró que U ₃ (4) es la única posibilidad simple.
• Grupos de 2 rangos seccionales como máximo 4, clasificados por el teorema de Gorenstein-Harada .

La clasificación de grupos de pequeños rangos 2, especialmente rangos de 2 como máximo, hace un uso intensivo de la teoría de caracteres ordinarios y modulares, que casi nunca se utiliza directamente en otras partes de la clasificación.

Todos los grupos que no sean de rango 2 pequeño pueden dividirse en dos clases principales: grupos de tipo componente y grupos de tipo característico 2. Esto se debe a que si un grupo tiene un rango 2 seccional de al menos 5, MacWilliams demostró que sus 2-subgrupos de Sylow están conectados, y el teorema de equilibrio implica que cualquier grupo simple con 2-subgrupos de Sylow conectados es de tipo componente o de tipo característico 2. (Para grupos de rango 2 bajo, la prueba de esto no funciona, porque teoremas como el teorema del functor señalizador solo funcionan para grupos con subgrupos abelianos elementales de rango al menos 3).

Se dice que un grupo es de tipo componente si para algún centralizador C de una involución, C / O ( C ) tiene un componente (donde O ( C ) es el núcleo de C , el subgrupo normal máximo de orden impar). Estos son más o menos los grupos de tipo Lie de característica impar de rango grande, y los grupos alternantes, junto con algunos grupos esporádicos. Un paso importante en este caso es eliminar la obstrucción del núcleo de una involución. Esto se logra mediante el teorema B , que establece que cada componente de C / O ( C ) es la imagen de un componente de C.

La idea es que estos grupos tienen un centralizador de una involución con un componente que es un grupo cuasi simple más pequeño, que se puede suponer que ya se conoce por inducción. Por lo tanto, para clasificar estos grupos se toma cada extensión central de cada grupo simple finito conocido y se encuentran todos los grupos simples con un centralizador de involución que lo tenga como componente. Esto da una cantidad bastante grande de casos diferentes para verificar: no solo hay 26 grupos esporádicos y 16 familias de grupos de tipo Lie y los grupos alternantes, sino que también muchos de los grupos de rango pequeño o sobre cuerpos pequeños se comportan de manera diferente al caso general y deben tratarse por separado, y los grupos de tipo Lie de característica par e impar también son bastante diferentes.

Un grupo es de tipo característico 2 si el subgrupo de ajuste generalizado F *( Y ) de cada subgrupo 2-local Y es un 2-grupo. Como sugiere el nombre, estos son aproximadamente los grupos de tipo Lie sobre cuerpos de característica 2, más un puñado de otros que son alternantes o esporádicos o de característica impar. Su clasificación se divide en los casos de rango pequeño y grande, donde el rango es el rango más grande de un subgrupo abeliano impar que normaliza un 2-subgrupo no trivial, que a menudo es (pero no siempre) el mismo que el rango de una subálgebra de Cartan cuando el grupo es un grupo de tipo Lie en característica 2.

Los grupos de rango 1 son los grupos delgados, clasificados por Aschbacher, y los de rango 2 son los notorios grupos quasithinos , clasificados por Aschbacher y Smith. Estos corresponden aproximadamente a grupos de tipo Lie de rangos 1 o 2 sobre campos de característica 2.

Los grupos de rango al menos 3 se subdividen a su vez en 3 clases mediante el teorema de tricotomía , demostrado por Aschbacher para el rango 3 y por Gorenstein y Lyons para el rango al menos 4. Las tres clases son grupos de tipo GF(2) (clasificados principalmente por Timmesfeld), grupos de "tipo estándar" para algún primo impar (clasificados por el teorema de Gilman-Griess y el trabajo de varios otros), y grupos de tipo unicidad, donde un resultado de Aschbacher implica que no hay grupos simples. El caso general de rango superior consiste principalmente en los grupos de tipo Lie sobre cuerpos de característica 2 de rango al menos 3 o 4.

La parte principal de la clasificación produce una caracterización de cada grupo simple. A continuación es necesario comprobar que existe un grupo simple para cada caracterización y que es único. Esto da lugar a una gran cantidad de problemas independientes; por ejemplo, las pruebas originales de existencia y unicidad del grupo monstruo totalizaban unas 200 páginas, y la identificación de los grupos de Ree por Thompson y Bombieri fue una de las partes más difíciles de la clasificación. Muchas de las pruebas de existencia y algunas de las pruebas de unicidad para los grupos esporádicos utilizaban originalmente cálculos informáticos, la mayoría de los cuales han sido reemplazados desde entonces por pruebas manuales más breves.

En 1972 Gorenstein (1979, Apéndice) anunció un programa para completar la clasificación de grupos simples finitos, que consta de los siguientes 16 pasos:

1. Grupos de 2 rangos bajos. Esto fue realizado básicamente por Gorenstein y Harada, quienes clasificaron los grupos con 2 rangos seccionales como máximo 4. La mayoría de los casos de 2 rangos como máximo 2 ya se habían realizado cuando Gorenstein anunció su programa.
2. La semisimplicidad de las 2 capas. El problema es demostrar que la 2 capas del centralizador de una involución en un grupo simple es semisimple.
3. Forma estándar en característica impar. Si un grupo tiene una involución con un componente 2 que es un grupo de tipo Lie de característica impar, el objetivo es demostrar que tiene un centralizador de involución en "forma estándar", es decir, que un centralizador de involución tiene un componente que es de tipo Lie en característica impar y también tiene un centralizador de rango 2 1.
4. Clasificación de grupos de tipo impar. El problema consiste en demostrar que si un grupo tiene un centralizador de involución en "forma estándar" entonces es un grupo de tipo Lie de característica impar. Esto fue resuelto por el teorema de involución clásica de Aschbacher .
5. Forma cuasi-estándar
6. Involuciones centrales
7. Clasificación de grupos alternados.
8. Algunos grupos esporádicos
9. Grupos delgados. Los grupos finitos delgados simples, aquellos con un p -rango local 2 como máximo 1 para primos impares p , fueron clasificados por Aschbacher en 1978.
10. Grupos con un subgrupo fuertemente p-incrustado para p impar
11. El método del funtor señalizador para primos impares. El problema principal es demostrar un teorema del funtor señalizador para funtores señalizadores no resolubles. McBride lo resolvió en 1982.
12. Grupos de tipo p característico . Este es el problema de los grupos con un subgrupo 2-local fuertemente integrado en p con p impar, que fue abordado por Aschbacher.
13. Grupos cuasíticos. Un grupo cuasítico es aquel cuyos subgrupos 2-locales tienen un rango p de como máximo 2 para todos los primos impares p , y el problema consiste en clasificar los grupos simples de tipo característico 2. Esto fue completado por Aschbacher y Smith en 2004.
14. Grupos de 3 rangos locales 2 bajos. Esto se resolvió esencialmente mediante el teorema de tricotomía de Aschbacher para grupos con e ( G )=3. El cambio principal es que el 3 rango local 2 se reemplaza por el p -rango local 2 para primos impares.
15. Centralizadores de 3 elementos en forma estándar. Esto se hizo esencialmente mediante el teorema de tricotomía .
16. Clasificación de grupos simples de tipo característico 2. Esto se manejó mediante el teorema de Gilman-Griess , con 3 elementos reemplazados por p elementos para primos impares.

Muchos de los elementos de la tabla que aparece a continuación se han extraído de Solomon (2001). La fecha indicada suele ser la fecha de publicación de la prueba completa de un resultado, que a veces es varios años posterior a la prueba o al primer anuncio del resultado, por lo que algunos de los elementos aparecen en el orden "incorrecto".

La prueba del teorema, tal como se presentó en 1985 aproximadamente, puede llamarse de primera generación . Debido a la extrema longitud de la prueba de primera generación, se ha dedicado mucho esfuerzo a encontrar una prueba más simple, llamada prueba de clasificación de segunda generación . Este esfuerzo, llamado "revisionismo", fue liderado originalmente por Daniel Gorenstein .

En 2023 ^[update]se han publicado diez volúmenes de la prueba de segunda generación (Gorenstein, Lyons y Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; y Capdeboscq, 2021, 2023). En 2012, Solomon estimó que el proyecto necesitaría otros 5 volúmenes, pero dijo que el progreso en ellos era lento. Se estima que la nueva prueba acabará llenando aproximadamente 5.000 páginas. (Esta extensión se debe en parte a que la prueba de segunda generación se escribió en un estilo más relajado). Sin embargo, con la publicación del volumen 9 de la serie GLS, e incluyendo la contribución de Aschbacher-Smith, esta estimación ya se alcanzó, con varios volúmenes más todavía en preparación (el resto de lo que originalmente estaba previsto para el volumen 9, más los volúmenes proyectados 10 y 11). Aschbacher y Smith escribieron sus dos volúmenes dedicados al caso quasi-sitino de tal manera que esos volúmenes puedan ser parte de la prueba de segunda generación.

Gorenstein y sus colaboradores han dado varias razones por las que es posible una prueba más simple.

• Lo más importante es que ahora se conoce el enunciado correcto y final del teorema. Se pueden aplicar técnicas más simples que se sabe que son adecuadas para los tipos de grupos que sabemos que son finitos simples. En cambio, quienes trabajaron en la primera demostración generacional no sabían cuántos grupos esporádicos había y, de hecho, algunos de los grupos esporádicos (por ejemplo, los grupos de Janko ) se descubrieron mientras se demostraban otros casos del teorema de clasificación. Como resultado, muchas de las partes del teorema se demostraron utilizando técnicas que eran demasiado generales.
• Como la conclusión era desconocida, la demostración de primera generación consta de muchos teoremas independientes que tratan casos especiales importantes. Gran parte del trabajo de demostración de estos teoremas se dedicó al análisis de numerosos casos especiales. Dada una demostración más grande y orquestada, el tratamiento de muchos de estos casos especiales puede posponerse hasta que se puedan aplicar los supuestos más poderosos. El precio que se paga con esta estrategia revisada es que estos teoremas de primera generación ya no tienen demostraciones comparativamente cortas, sino que se basan en la clasificación completa.
• Muchos teoremas de primera generación se superponen y, por lo tanto, dividen los casos posibles de manera ineficiente. Como resultado, se identificaron familias y subfamilias de grupos finitos simples varias veces. La prueba revisada elimina estas redundancias al basarse en una subdivisión diferente de los casos.
• Los teóricos de grupos finitos tienen más experiencia en este tipo de ejercicio y tienen nuevas técnicas a su disposición.

Aschbacher (2004) ha denominado al trabajo sobre el problema de clasificación de Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth y algunos otros, un programa de tercera generación . Uno de los objetivos de este programa es tratar a todos los grupos de la característica 2 de manera uniforme utilizando el método de amalgama.

Gorenstein ha analizado algunas de las razones por las que podría no existir una prueba corta de la clasificación similar a la clasificación de los grupos de Lie compactos .

• La razón más obvia es que la lista de grupos simples es bastante complicada: con 26 grupos esporádicos es probable que haya muchos casos especiales que deban considerarse en cualquier demostración. Hasta ahora nadie ha encontrado una descripción uniforme y clara de los grupos simples finitos similar a la parametrización de los grupos de Lie compactos mediante diagramas de Dynkin .
• Atiyah y otros han sugerido que la clasificación debería simplificarse construyendo algún objeto geométrico sobre el que actúen los grupos y luego clasificando estas estructuras geométricas. El problema es que nadie ha sido capaz de sugerir una forma sencilla de encontrar dicha estructura geométrica asociada con un grupo simple. En cierto sentido, la clasificación funciona al encontrar estructuras geométricas como pares BN , pero esto sólo se logra al final de un análisis muy largo y difícil de la estructura de un grupo simple finito.
• Otra sugerencia para simplificar la prueba es hacer un mayor uso de la teoría de la representación . El problema aquí es que la teoría de la representación parece requerir un control muy estricto sobre los subgrupos de un grupo para funcionar bien. Para grupos de rango pequeño, uno tiene ese control y la teoría de la representación funciona muy bien, pero para grupos de rango mayor nadie ha tenido éxito en usarla para simplificar la clasificación. En los primeros días de la clasificación, se hizo un esfuerzo considerable para usar la teoría de la representación, pero esto nunca logró mucho éxito en el caso de rango superior.

En esta sección se enumeran algunos resultados que se han demostrado utilizando la clasificación de grupos simples finitos.

• La conjetura de Schreier
• El teorema del functor Signalizer
• La conjetura B
• El teorema de Schur-Zassenhaus para todos los grupos (aunque aquí sólo se utiliza el teorema de Feit-Thompson ).
• Un grupo de permutación transitiva en un conjunto finito con más de 1 elemento tiene un elemento libre de punto fijo de orden de potencia primo.
• La clasificación de los grupos de permutación 2-transitivos .
• La clasificación de los grupos de permutación de rango 3 .
• La conjetura de Los Sims ^[3]
• Conjetura de Frobenius sobre el número de soluciones de x ⁿ = 1 .

• Teorema de O'Nan-Scott

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