Proyección cartográfica ortográfica

La proyección ortográfica en cartografía se ha utilizado desde la antigüedad. Al igual que la proyección estereográfica y la proyección gnomónica , la proyección ortográfica es una proyección en perspectiva en la que la esfera se proyecta sobre un plano tangente o secante . El punto de perspectiva de la proyección ortográfica está a una distancia infinita . Representa un hemisferio del globo tal como aparece desde el espacio exterior , donde el horizonte es un gran círculo . Las formas y áreas están distorsionadas , particularmente cerca de los bordes. ^{[1] [2]}

La proyección ortográfica se conoce desde la antigüedad y sus usos cartográficos están bien documentados. Hiparco utilizó la proyección en el siglo II a. C. para determinar los lugares de salida y puesta de las estrellas. Alrededor del año 14 a. C., el ingeniero romano Marco Vitruvio Polión utilizó la proyección para construir relojes de sol y calcular las posiciones del sol. ^[2]

Vitruvio también parece haber ideado el término ortográfico (del griego orthos (= “recto”) y graphē (= “dibujo”)) para la proyección. Sin embargo, el nombre analemma , que también significaba un reloj de sol que mostraba latitud y longitud, era el nombre común hasta que François d'Aguilon de Amberes promovió su nombre actual en 1613. ^[2]

Los primeros mapas supervivientes de esta proyección aparecen como dibujos en xilografía de globos terrestres de 1509 (anónimo), 1533 y 1551 (Johannes Schöner) y 1524 y 1551 (Apian). Un mapa muy refinado, diseñado por el erudito renacentista Alberto Durero y ejecutado por Johannes Stabius , apareció en 1515. ^[2]

Las fotografías de la Tierra y otros planetas tomadas desde naves espaciales han inspirado un renovado interés en la proyección ortográfica en la astronomía y la ciencia planetaria .

Las fórmulas para la proyección ortográfica esférica se derivan utilizando trigonometría . Se escriben en términos de longitud ( λ ) y latitud ( φ ) sobre la esfera . Defina el radio de la esfera R y el punto central (y origen ) de la proyección ( λ ₀ , φ ₀ ). Las ecuaciones para la proyección ortográfica sobre el plano tangente ( x , y ) se reducen a lo siguiente: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\,\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R{\big (}\cos \varphi _ {0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\big )}\end{alineado}}}$

Las latitudes que se encuentren más allá del rango del mapa se deben recortar calculando la distancia angular c desde el centro de la proyección ortográfica. Esto garantiza que no se tracen puntos en el hemisferio opuesto:

${\displaystyle \cos c=\sin \varphi _{0}\sin \varphi +\cos \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\ ,}$.

El punto debe eliminarse del mapa si cos( c ) es negativo. Es decir, todos los puntos incluidos en el mapa satisfacen:

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<c<{\frac {\pi }{2}}}$.

Las fórmulas inversas vienen dadas por:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {\rho }{R}}\end{aligned}}}$

Para el cálculo de las fórmulas inversas se recomienda el uso de la forma atan2 de dos argumentos de la función tangente inversa (en contraposición a atan ). Esto garantiza que el signo de la proyección ortográfica tal como está escrita sea correcto en todos los cuadrantes .

Las fórmulas inversas son particularmente útiles cuando se intenta proyectar una variable definida en una cuadrícula ( λ , φ ) sobre una cuadrícula rectilínea en ( x , y ). La aplicación directa de la proyección ortográfica produce puntos dispersos en ( x , y ), lo que crea problemas para el trazado y la integración numérica . Una solución es comenzar desde el plano de proyección ( x , y ) y construir la imagen a partir de los valores definidos en ( λ , φ ) utilizando las fórmulas inversas de la proyección ortográfica.

Consulte las referencias para obtener una versión elipsoidal de la proyección del mapa ortográfico. ^[3]

Comparación de la proyección cartográfica ortográfica y algunas proyecciones azimutales centradas en 90° N a la misma escala, ordenadas por altitud de proyección en radios terrestres. (haga clic para ver el detalle)

En sentido amplio, todas las proyecciones con el punto de perspectiva en el infinito (y por tanto líneas de proyección paralelas) se consideran ortográficas, independientemente de la superficie sobre la que se proyecten. Tales proyecciones distorsionan los ángulos y las zonas próximas a los polos. ^{[ aclaración necesaria ]}

Un ejemplo de proyección ortográfica sobre un cilindro es la proyección cilíndrica de áreas iguales de Lambert .

• Lista de proyecciones cartográficas
• Proyección estereográfica en cartografía

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• Proyección ortográfica—de MathWorld