Proyección azimutal de áreas iguales de Lambert

La proyección azimutal de áreas iguales de Lambert es una proyección particular de una esfera a un disco . Representa con precisión el área en todas las regiones de la esfera, pero no representa con precisión los ángulos . Recibe su nombre del matemático suizo Johann Heinrich Lambert , quien la anunció en 1772. ^[1] Como "cenital" es sinónimo de "azimutal", la proyección también se conoce como proyección cenital de áreas iguales de Lambert . ^[2]

La proyección azimutal de Lambert se utiliza como proyección de mapas en cartografía . Por ejemplo, el Atlas Nacional de los EE. UU. utiliza una proyección azimutal de áreas iguales de Lambert para mostrar información en la aplicación en línea Map Maker ^[3] , y la Agencia Europea del Medio Ambiente recomienda su uso para la cartografía europea con fines de análisis y visualización estadísticos. ^[4] También se utiliza en disciplinas científicas como la geología para trazar las orientaciones de líneas en el espacio tridimensional. Este trazado se realiza con la ayuda de un tipo especial de papel cuadriculado llamado red de Schmidt . ^[5]

Para definir la proyección azimutal de Lambert, imaginemos un plano tangente a la esfera en algún punto S de la esfera. Sea P cualquier punto de la esfera que no sea el antípoda de S. Sea d la distancia entre S y P en el espacio tridimensional ( no la distancia a lo largo de la superficie de la esfera). Entonces, la proyección envía P a un punto P′ en el plano que está a una distancia d de S.

Para hacer esto más preciso, existe un círculo único centrado en S , que pasa por P y es perpendicular al plano. Interseca el plano en dos puntos; sea P ′ el que está más cerca de P . Este es el punto proyectado. Véase la figura. El antípoda de S se excluye de la proyección porque el círculo requerido no es único. El caso de S es degenerado; S se proyecta sobre sí mismo, a lo largo de un círculo de radio 0. ^[6]

Para realizar la proyección en una computadora se requieren fórmulas explícitas . Considérese la proyección centrada en S = (0, 0, −1) sobre la esfera unitaria , que es el conjunto de puntos ( x , y , z ) en el espacio tridimensional R ³ tal que x ² + y ² + z ² = 1 . En coordenadas cartesianas ( x , y , z ) sobre la esfera y ( X , Y ) sobre el plano, la proyección y su inversa se describen entonces mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\sqrt {\frac {2}{1-z}}}\,x,{\sqrt {\frac {2}{1-z}}}\,y\right),\\(x,y,z)&=\left({\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,X,{\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,Y,-1+{\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$

En coordenadas esféricas ( ψ , θ ) en la esfera (siendo ψ la colatitud y θ la longitud) y coordenadas polares ( R , Θ ) en el disco, el mapa y su inverso están dados por ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left(2\cos {\tfrac {1}{2}}\psi ,-\theta \right),\\(\psi ,\theta )&=\left(2\arccos {\tfrac {R}{2}},-\Theta \right).\end{aligned}}}$

En coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) en la esfera y coordenadas polares ( R , Θ ) en el plano, la función y su inversa están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\sqrt {2(1+z)}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left(R{\sqrt {1-{\frac {R^{2}}{4}}}},\Theta ,-1+{\frac {R^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$

La proyección puede centrarse en otros puntos y definirse en esferas de radio distinto de 1, utilizando fórmulas similares. ^[7]

Como se definió en la sección anterior, la proyección azimutal de Lambert de la esfera unitaria no está definida en (0, 0, 1). Envía el resto de la esfera al disco abierto de radio 2 centrado en el origen (0, 0) en el plano. Envía el punto (0, 0, −1) a (0, 0), el ecuador z = 0 al círculo de radio √ 2 centrado en (0, 0) y el hemisferio inferior z < 0 al disco abierto contenido en ese círculo.

La proyección es un difeomorfismo (una biyección que es infinitamente diferenciable en ambas direcciones) entre la esfera (menos (0, 0, 1)) y el disco abierto de radio 2. Es una función que preserva el área (área igual), que se puede ver calculando el elemento de área de la esfera cuando se parametriza por la inversa de la proyección. En coordenadas cartesianas es

${\displaystyle dA=dX\;dY.}$

Esto significa que medir el área de una región de la esfera equivale a medir el área de la región correspondiente en el disco.

Por otra parte, la proyección no preserva las relaciones angulares entre las curvas de la esfera. Ninguna proyección entre una porción de una esfera y el plano puede preservar tanto los ángulos como las áreas. (Si la hubiera, entonces sería una isometría local y preservaría la curvatura gaussiana ; pero la esfera y el disco tienen curvaturas diferentes, por lo que esto es imposible.) Este hecho, que las imágenes planas no pueden representar perfectamente regiones de esferas, es el problema fundamental de la cartografía.

Como consecuencia, las regiones de la esfera pueden proyectarse en el plano con formas muy distorsionadas. Esta distorsión es especialmente dramática lejos del centro de la proyección (0, 0, −1). En la práctica, la proyección suele estar restringida al hemisferio centrado en ese punto; el otro hemisferio puede representarse por separado, utilizando una segunda proyección centrada en el antípoda.

La proyección azimutal de Lambert se concibió originalmente como una proyección cartográfica de áreas iguales. Ahora también se utiliza en disciplinas como la geología para representar gráficamente datos direccionales, como se indica a continuación.

Una dirección en el espacio tridimensional corresponde a una línea que pasa por el origen. El conjunto de todas esas líneas es en sí mismo un espacio, llamado plano proyectivo real en matemáticas . Cada línea que pasa por el origen interseca la esfera unitaria en exactamente dos puntos, uno de los cuales está en el hemisferio inferior z ≤ 0. (Las líneas horizontales intersecan el ecuador z = 0 en dos puntos antípodas. Se entiende que los puntos antípodas en el ecuador representan una sola línea. Véase topología del cociente .) Por lo tanto, las direcciones en el espacio tridimensional corresponden (casi perfectamente) a puntos en el hemisferio inferior. El hemisferio puede entonces trazarse como un disco de radio √ 2 utilizando la proyección azimutal de Lambert.

De esta manera, la proyección azimutal de Lambert nos permite representar gráficamente las direcciones como puntos en un disco. Debido a la propiedad de áreas iguales de la proyección, se puede integrar sobre regiones del plano proyectivo real (el espacio de direcciones) integrando sobre las regiones correspondientes en el disco. Esto es útil para el análisis estadístico de datos direccionales, ^{[6] incluida} la rotación rígida aleatoria . ^[8]

Con la proyección azimutal de Lambert no solo se pueden trazar líneas, sino también planos que pasan por el origen. Un plano interseca el hemisferio en un arco circular, llamado traza del plano, que se proyecta hacia abajo hasta una curva (normalmente no circular) en el disco. Se puede trazar esta curva o, alternativamente, se puede reemplazar el plano por la línea perpendicular a él, llamada polo , y trazar esa línea en su lugar. Cuando se trazan muchos planos juntos, trazar polos en lugar de trazas produce un gráfico menos desordenado.

Los investigadores en geología estructural utilizan la proyección azimutal de Lambert para trazar ejes y caras cristalográficas , lineación y foliación en rocas, flancos de fallas y otras características lineales y planas. En este contexto, la proyección se denomina proyección hemisférica de áreas iguales . También existe una proyección hemisférica de ángulos iguales definida por la proyección estereográfica . ^[6]

La discusión aquí ha enfatizado una vista de adentro hacia afuera del hemisferio inferior z ≤ 0 (como podría verse en un mapa estelar), pero algunas disciplinas (como la cartografía) prefieren una vista de afuera hacia adentro del hemisferio superior z ≥ 0. ^[6] De hecho, cualquier hemisferio puede usarse para registrar las líneas que pasan por el origen en el espacio tridimensional.

Comparación de la proyección azimutal de áreas iguales de Lambert y algunas proyecciones azimutales centradas en 90° N a la misma escala, ordenadas por altitud de proyección en radios terrestres. (haga clic para ver detalles)

^{[ cita requerida ]}

Sean dos parámetros para los cuales y . Sea un parámetro de "tiempo" (igual a la altura, o espesor vertical, de la carcasa en la animación). Si se dibuja una cuadrícula rectilínea uniforme en el espacio, entonces cualquier punto en esta cuadrícula se transforma en un punto en una carcasa esférica de altura de acuerdo con la función${\displaystyle (u,\phi)}$${\displaystyle -1<u\leq 1}$${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle (u,\phi)}$${\estilo de visualización (x,y,z)}$${\estilo de visualización H}$

${\displaystyle x=\lambda(u,H)\cos(\phi )}$

${\displaystyle y=\lambda (u,H)\sin(\phi )}$

${\displaystyle z={\frac {Hu}{2}}}$

donde . Cada cuadro de la animación corresponde a un gráfico paramétrico de la cuadrícula deformada en un valor fijo de la altura de la carcasa (que varía de 0 a 2). Físicamente, es el estiramiento (longitud deformada dividida por la longitud inicial) de segmentos de línea infinitesimales . Esta asignación se puede convertir en una que mantenga el polo sur fijo utilizando en su lugar${\displaystyle \lambda (u,H)={\frac {1}{2}}{\sqrt {(1-u)\left[8-H^{2}(1-u)\right]}}}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización d\phi}$${\displaystyle z={\frac {H(1-u)}{2}}.}$

Independientemente de los valores de , el jacobiano de esta aplicación es igual a 1 en todas partes, lo que demuestra que es, en efecto, una aplicación de áreas iguales en toda la animación. Esta aplicación generalizada incluye la proyección de Lambert como un caso especial cuando .${\displaystyle (u,\phi,H)}$${\displaystyle H=0}$

Aplicación: este mapeo puede ayudar a explicar el significado de una proyección de Lambert mostrando que se "abre" la esfera en un polo, transformándola en un disco sin cambiar el área encerrada por las celdas de la cuadrícula.

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• Lista de proyecciones cartográficas
• Proyección equidistante azimutal
• Red eléctrica europea
• Proyección del martillo

• Borradaile, Graham J. (2003). Estadísticas de datos de ciencias de la Tierra . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43603-0.
• Do Carmo ; Manfredo P. (1976). Geometría diferencial de curvas y superficies . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-212589-7.
• Hobbs, Bruce E., Means, Winthrop D. y Williams, Paul F. (1976). Un esquema de geología estructural . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-40156-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Ramsay, John G. (1967). Plegado y fracturamiento de rocas . Nueva York: McGraw-Hill.
• Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial . Houston, Texas: Publish or Perish. ISBN 0-914098-70-5.

• Explicación de las conversiones de coordenadas con diagramas.
• Medios relacionados con la proyección azimutal de áreas iguales de Lambert en Wikimedia Commons