Proceso de Gauss-Markov

Los procesos estocásticos de Gauss-Markov (llamados así por Carl Friedrich Gauss y Andrey Markov ) son procesos estocásticos que satisfacen los requisitos tanto de los procesos gaussianos como de los procesos de Markov . [1] [2] Un proceso de Gauss-Markov estacionario es único [ cita requerida ] hasta el reescalamiento; un proceso de este tipo también se conoce como proceso de Ornstein-Uhlenbeck .

Los procesos de Gauss-Markov obedecen a las ecuaciones de Langevin . [3]

Propiedades básicas

Todo proceso de Gauss-Markov X ( t ) posee las tres propiedades siguientes: [4]

  1. Si h ( t ) es una función escalar distinta de cero de t , entonces Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) también es un proceso de Gauss-Markov
  2. Si f ( t ) es una función escalar no decreciente de t , entonces Z ( t ) = X ( f ( t )) también es un proceso de Gauss-Markov
  3. Si el proceso no es degenerado y es continuo cuadrático medio, entonces existe una función escalar distinta de cero h ( t ) y una función escalar estrictamente creciente f ( t ) tal que X ( t ) = h ( t ) W ( f ( t )), donde W ( t ) es el proceso de Wiener estándar .

La propiedad (3) significa que todo proceso de Gauss-Markov continuo cuadrático medio no degenerado puede sintetizarse a partir del proceso de Wiener estándar (SWP).

Otras propiedades

Un proceso de Gauss-Markov estacionario con varianza y constante de tiempo tiene las siguientes propiedades. mi ( incógnita 2 ( a ) ) = σ 2 {\displaystyle {\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}} β − 1 {\displaystyle \beta ^{-1}}

  • Autocorrelación exponencial : R incógnita ( τ ) = σ 2 mi − β | τ | . {\displaystyle {\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}.}
  • Una función de densidad espectral de potencia (PSD) que tiene la misma forma que la distribución de Cauchy : (Tenga en cuenta que la distribución de Cauchy y este espectro difieren en factores de escala). S incógnita ( yo ω ) = 2 σ 2 β ω 2 + β 2 . {\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}} .}
  • Lo anterior produce la siguiente factorización espectral: que es importante en el filtrado de Wiener y otras áreas. S incógnita ( s ) = 2 σ 2 β − s 2 + β 2 = 2 β σ ( s + β ) ⋅ 2 β σ ( − s + β ) . {\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}}.}

También hay algunas excepciones triviales a todo lo anterior. [ aclaración necesaria ]

Referencias

  1. ^ CE Rasmussen y CKI Williams (2006). Procesos gaussianos para el aprendizaje automático (PDF) . MIT Press. pág. Apéndice B. ISBN 026218253X.
  2. ^ Lamon, Pierre (2008). Seguimiento y control de posición 3D para robots todo terreno . Springer. pp. 93–95. ISBN. 978-3-540-78286-5.
  3. ^ Bob Schutz, Byron Tapley, George H. Born (26 de junio de 2004). Determinación estadística de órbitas. pág. 230. ISBN 978-0-08-054173-0.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  4. ^ CB Mehr y JA McFadden. Certain Properties of Gaussian Processes and Their First-Passage Times [Ciertas propiedades de los procesos gaussianos y sus tiempos de primer paso]. Journal of the Royal Statistical Society. Serie B (Metodológica), vol. 27, n.º 3 (1965), págs. 505-522
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