Conjetura de von Neumann

En matemáticas , la conjetura de von Neumann afirmaba que un grupo G no es dócil si y solo si G contiene un subgrupo que es un grupo libre en dos generadores . La conjetura fue refutada en 1980.

En 1929, durante su trabajo sobre la paradoja de Banach-Tarski , John von Neumann definió el concepto de grupos amenables y demostró que ningún grupo amenable contiene un subgrupo libre de rango 2. La sugerencia de que lo inverso podría ser válido, es decir, que cada grupo no amenable contiene un subgrupo libre en dos generadores, fue hecha por varios autores diferentes en los años 1950 y 1960. Aunque el nombre de von Neumann se asocia popularmente a la conjetura, su primera aparición escrita parece deberse a Mahlon Marsh Day en 1957.

La alternativa de Tits es un teorema fundamental que, en particular, establece la conjetura dentro de la clase de grupos lineales .

El primer contraejemplo potencial históricamente es el grupo de Thompson F . Si bien su adaptabilidad es un problema muy abierto , Alexander Ol'shanskii demostró en 1980 que la conjetura general era falsa ; demostró que los grupos monstruosos de Tarski , construidos por él, que se ve fácilmente que no tienen subgrupos libres de rango 2, no son adaptables. Dos años después, Sergei Adian demostró que ciertos grupos de Burnside también son contraejemplos. Ninguno de estos contraejemplos está finitamente presentado , y durante algunos años se consideró posible que la conjetura fuera válida para grupos finitamente presentados. Sin embargo, en 2003, Alexander Ol'shanskii y Mark Sapir exhibieron una colección de grupos finitamente presentados que no satisfacen la conjetura.

En 2013, Nicolas Monod encontró un contraejemplo fácil para la conjetura. Dado por homeomorfismos proyectivos por partes de la línea, el grupo es notablemente simple de entender. Aunque no es dócil, comparte muchas propiedades conocidas de los grupos dóciles de una manera sencilla. En 2013, Yash Lodha y Justin Tatch Moore aislaron un subgrupo no dócil presentado finitamente del grupo de Monod. Esto proporciona el primer contraejemplo presentado finitamente sin torsión y admite una presentación con 3 generadores y 9 relaciones. Lodha demostró más tarde que este grupo satisface la propiedad${\displaystyle F_{\infty}}$ , que es una propiedad de finitud más fuerte.

• Adian, Sergei (1982), "Caminatas aleatorias en grupos periódicos libres", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (en ruso), 46 (6): 1139–1149, 1343, Zbl  0512.60012
• Day, Mahlon M. (1957), "Semigrupos susceptibles", Ill. J. Math. , 1 : 509–544, Zbl  0078.29402
• Ol'shanskii, Alexander (1980), "Sobre la cuestión de la existencia de una media invariante en un grupo", Uspekhi Mat. Nauk (en ruso), 35 (4): 199–200, Zbl  0452.20032
• Ol'shanskii, Alejandro; Sapir, Mark (2003), "Grupos de torsión por cíclicos presentados finitamente y no susceptibles", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 96 (1): 43–169, arXiv : math/0208237 , doi :10.1007/s10240-002 -0006-7, S2CID  122990460, Zbl  1050.20019
• Monod, Nicolas (2013), "Grupos de homeomorfismos proyectivos por partes", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 110 (12): 4524–4527, arXiv : 1209.5229 , Bibcode :2013PNAS..110.4524M, doi : 10.1073/pnas.1218426110 , Zbl  1305.57002
• Lodha, Yash; Moore, Justin Tatch (2016), "Un grupo finitamente presentado de homeomorfismos proyectivos por partes no nombrables", Groups, Geometry, and Dynamics , 10 (1): 177–200, arXiv : 1308.4250v3 , doi :10.4171/GGD/347, MR  3460335
• Lodha, Yash (2020), "Un grupo de tipos no nombrables de homeomorfismos proyectivos por partes", Journal of Topology , 13 (4): 1767–1838, doi :10.1112/topo.12172, S2CID  228915338${\displaystyle F_{\infty}}$