Problema de Newton-Pepys

El problema de Newton-Pepys es un problema de probabilidad que trata de la probabilidad de obtener seises a partir de una cierta cantidad de dados. ^[1]

En 1693, Samuel Pepys e Isaac Newton intercambiaron correspondencia sobre un problema que le planteó a Pepys un maestro de escuela llamado John Smith. ^[2] El problema era:

¿Cuál de las siguientes tres proposiciones tiene mayores posibilidades de éxito?

A. Se lanzan seis dados iguales de forma independiente y aparece al menos un "6".

B. Se lanzan doce dados justos de forma independiente y aparecen al menos dos "6".

C. Se lanzan dieciocho dados justos de forma independiente y aparecen al menos tres "6". ^[3]

Pepys inicialmente pensó que el resultado C tenía la mayor probabilidad, pero Newton concluyó correctamente que el resultado A en realidad tiene la mayor probabilidad.

Las probabilidades de los resultados A, B y C son: ^[1]

${\displaystyle P(A)=1-\left({\frac {5}{6}}\right)^{6}={\frac {31031}{46656}}\aproximadamente 0,6651\,,}$

${\displaystyle P(B)=1-\sum _{x=0}^{1}{\binom {12}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{12-x}={\frac {1346704211}{2176782336}}\approx 0.6187\,,}$

${\displaystyle P(C)=1-\sum _{x=0}^{2}{\binom {18}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{18-x}={\frac {15166600495229}{25389989167104}}\approx 0.5973\,.}$

Estos resultados se pueden obtener aplicando la distribución binomial (aunque Newton los obtuvo a partir de primeros principios). En general, si P( n ) es la probabilidad de obtener al menos n seises con 6 n dados, entonces:

${\displaystyle P(n)=1-\sum _{x=0}^{n-1}{\binom {6n}{x}}({\frac {1}{6}}\right)^{x}({\frac {5}{6}}\right)^{6n-x}\,.}$

A medida que n crece, P( n ) disminuye monótonamente hacia un límite asintótico de 1/2.

La solución descrita anteriormente se puede implementar en R de la siguiente manera:

para ( s en 1 : 3 ) { # buscando s = 1, 2 o 3 seises n = 6 * s # ... en n = 6, 12 o 18 dados q = pbinom ( s -1 , n , 1 / 6 ) # q = Prob( <s seises en n dados ) cat ( "Probabilidad de al menos" , s , "seis en" , n , "dados justos:" , 1 - q , "\n" ) }                     

Aunque Newton calculó correctamente las probabilidades de cada apuesta, le dio una explicación intuitiva aparte a Pepys. Imaginó que B y C lanzaban sus dados en grupos de seis y dijo que A era el más favorable porque requería un 6 en un solo lanzamiento, mientras que B y C requerían un 6 en cada uno de sus lanzamientos. Esta explicación supone que un grupo no produce más de un 6, por lo que en realidad no corresponde al problema original. ^[3]

Una generalización natural del problema es considerar n dados no necesariamente justos, con p como probabilidad de que cada dado seleccione la cara 6 al lanzarlo (nótese que, en realidad, la cantidad de caras de los dados y qué cara debe seleccionarse son irrelevantes). Si r es la cantidad total de dados que seleccionan la cara 6, entonces es la probabilidad de tener al menos k selecciones correctas al lanzar exactamente n dados. Entonces, el problema original de Newton-Pepys se puede generalizar de la siguiente manera:${\displaystyle P(r\geq k;n,p)}$

Sean números naturales positivos st . ¿No es entonces menor que para todo n, p, k ?${\displaystyle \nu _ {1},\nu _ {2}}$${\displaystyle \nu _{1}\leq \nu _{2}}$${\displaystyle P(r\geq \nu _{1}k;\nu _{1}n,p)}$${\displaystyle P(r\geq \nu _{2}k;\nu _{2}n,p)}$

Nótese que, con esta notación, el problema original de Newton-Pepys se lee así: es ?${\displaystyle P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)}$

Como observaron Rubin y Evans (1961), no existen respuestas uniformes al problema generalizado de Newton-Pepys, ya que las respuestas dependen de k, n y p . No obstante, existen algunas variaciones de las preguntas anteriores que admiten respuestas uniformes:

(de Chaundy y Bullard (1960)): ^[4]

Si son números naturales positivos, y , entonces .${\displaystyle k_{1},k_{2},n}$${\displaystyle k_{1}<k_{2}}$${\displaystyle P(r\geq k_{1};k_{1}n,{\frac {1}{n}})>P(r\geq k_{2};k_{2}n,{\frac {1}{n}})}$

Si son números naturales positivos, y , entonces .${\displaystyle k,n_{1},n_{2}}$${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$${\displaystyle P(r\geq k;kn_{1},{\frac {1}{n_{1}}})>P(r\geq k;kn_{2},{\frac {1}{n_{2}}})}$

(de Varagnolo, Pillonetto y Schenato (2013)): ^[5]

Si son números naturales positivos, y entonces .${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2},n,k}$${\displaystyle \nu _{1}\leq \nu _{2},k\leq n,p\in [0,1]}$${\displaystyle P(r=\nu _{1}k;\nu _{1}n,p)\geq P(r=\nu _{2}k;\nu _{2}n,p)}$