Probabilidades superiores e inferiores

Las probabilidades superior e inferior son representaciones de probabilidad imprecisa . Mientras que la teoría de la probabilidad utiliza un solo número, la probabilidad , para describir la probabilidad de que ocurra un evento, este método utiliza dos números: la probabilidad superior del evento y la probabilidad inferior del evento.

Debido a que las estadísticas frecuentistas no permiten metaprobabilidades , ^{[ cita requerida ]} los frecuentistas han tenido que proponer nuevas soluciones. Cedric Smith y Arthur Dempster desarrollaron cada uno una teoría de probabilidades superiores e inferiores. Glenn Shafer desarrolló aún más la teoría de Dempster, y ahora se conoce como teoría de Dempster-Shafer o Choquet (1953). Más precisamente, en el trabajo de estos autores se considera en un conjunto de potencias , , una función de masa que satisface las condiciones${\displaystyle P(S)\,\!}$${\displaystyle m:P(S)\rightarrow R}$

${\displaystyle m(\varnothing )=0\,\,\,\,\,\,\!;\,\,\,\,\,\,m(A)\geq 0\,\,\,\,\,\!;\,\,\,\,\,\,\sum _{A\in P(S)}m(A)=1.\,\!}$

A su vez, una masa está asociada a dos medidas continuas no aditivas llamadas creencia y plausibilidad definidas de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B)\,\,\,\,;\,\,\,\,\operatorname {pl} (A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \varnothing }m(B)}$

En el caso en que sea infinito, puede haber tal que no haya una función de masa asociada. Véase la pág. 36 de Halpern (2003). Las medidas de probabilidad son un caso especial de funciones de creencia en las que la función de masa asigna masa positiva solo a los singletons del espacio de eventos.${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \operatorname {bel}}$

Una noción diferente de probabilidades superior e inferior se obtiene mediante las envolventes superior e inferior obtenidas a partir de una clase C de distribuciones de probabilidad estableciendo

${\displaystyle \operatorname {env_{1}} (A)=\inf _{p\in C}p(A)\,\,\,\,;\,\,\,\,\operatorname {env_{2}} (A)=\sup _{p\in C}p(A)}$

Las probabilidades superior e inferior también están relacionadas con la lógica probabilística : ver Gerla (1994).

Observe también que una medida de necesidad puede verse como una probabilidad menor y una medida de posibilidad puede verse como una probabilidad superior.

• Teoría de la posibilidad
• Teoría de medidas difusas
• Elemento finito de intervalo
• Análisis de límites de probabilidad

• Choquet, G. (1953). "Teoría de las Capacidades". Anales del Instituto Fourier . 5 : 131–295. doi : 10.5802/aif.53 .
• Gerla, G. (1994). "Inferencias en lógica de probabilidad". Inteligencia artificial . 70 (1–2): 33–52. doi :10.1016/0004-3702(94)90102-3.
• Halpern, JY (2003). Razonamiento sobre la incertidumbre . MIT Press. ISBN 978-0-262-08320-1.
• Halpern, JY; Fagin, R. (1992). "Dos puntos de vista sobre la creencia: la creencia como probabilidad generalizada y la creencia como evidencia". Inteligencia artificial . 54 (3): 275–317. CiteSeerX  10.1.1.70.6130 . doi :10.1016/0004-3702(92)90048-3. S2CID  11339219.
• Huber, PJ (1980). Estadísticas robustas . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-41805-4.
• Saffiotti, A. (1992). "Una lógica de creencias y funciones". Actas de la 10ª Conferencia AAAI . San José, CA. pp. 642–647. ISBN 978-0-262-51063-9.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
• Shafer, G. (1976). Una teoría matemática de la evidencia . Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08175-5.
• Walley, P.; Fine, TL (1982). "Hacia una teoría frecuentista de probabilidad superior e inferior". Anales de estadística . 10 (3): 741–761. doi : 10.1214/aos/1176345868 . JSTOR  2240901.