Principio de contracción (teoría de las grandes desviaciones)

En matemáticas —específicamente, en la teoría de grandes desviaciones— el principio de contracción es un teorema que establece cómo un principio de gran desviación en un espacio "empuja hacia adelante" (a través del empuje hacia adelante de una medida de probabilidad) hacia un principio de gran desviación en otro espacio a través de una función continua .

Declaración

Sean X e Y espacios topológicos de Hausdorff y sea ( μ ε ) ε >0 una familia de medidas de probabilidad en X que satisface el principio de gran desviación con función de tasa I  :  X  → [0, +∞]. Sea T  :  X  →  Y una función continua, y sea ν ε  =  T ∗ ( μ ε ) la medida de empuje hacia adelante de μ ε por T , es decir, para cada conjunto /evento medible E  ⊆  Y , ν ε ( E ) =  μ ε ( T −1 ( E )). Sea

Yo ( y ) := información { I ( incógnita ) ∣ incógnita ∈ incógnita  y  yo ( incógnita ) = y } , {\displaystyle J(y):=\inf\{I(x)\mid x\in X{\text{ y }}T(x)=y\},}

con la convención de que el ínfimo de I sobre el conjunto vacío ∅ es +∞. Entonces:

  • J  :  Y  → [0, +∞] es una función de velocidad en Y ,
  • J es una buena función de tasa en Y si I es una buena función de tasa en X , y
  • ( ν ε ) ε >0 satisface el principio de gran desviación en Y con función de velocidad J .

Referencias

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