Número de Lucas

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La sucesión de Lucas es una sucesión de números enteros que recibe su nombre del matemático François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), que estudió tanto esa sucesión como la sucesión de Fibonacci , estrechamente relacionada con ella . Los números individuales de la sucesión de Lucas se conocen como números de Lucas . Los números de Lucas y los números de Fibonacci forman instancias complementarias de sucesiones de Lucas .

La secuencia de Lucas tiene la misma relación recursiva que la secuencia de Fibonacci, donde cada término es la suma de los dos términos anteriores, pero con diferentes valores iniciales. ^[1] Esto produce una secuencia donde las razones de los términos sucesivos se aproximan a la proporción áurea , y de hecho los términos mismos son redondeos de potencias enteras de la proporción áurea. ^[2] La secuencia también tiene una variedad de relaciones con los números de Fibonacci, como el hecho de que sumar dos números de Fibonacci con dos términos de diferencia en la secuencia de Fibonacci da como resultado el número de Lucas intermedio. ^[3]

Los primeros números de Lucas son

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, ... . (secuencia A000032 en la OEIS )

que coincide por ejemplo con el número de conjuntos de vértices independientes para gráficos cíclicos de longitud . ^[1]$Estilo de visualización C_{n}$${\displaystyle n\geq 2}$

Al igual que con los números de Fibonacci, cada número de Lucas se define como la suma de sus dos términos inmediatamente anteriores, formando así una secuencia de números enteros de Fibonacci . Los dos primeros números de Lucas son y , que difiere de los dos primeros números de Fibonacci y . Aunque están estrechamente relacionados en su definición, los números de Lucas y Fibonacci presentan propiedades distintas.${\displaystyle L_{0}=2}$$Estilo de visualización L_{1}=1$${\displaystyle F_{0}=0}$$Estilo de visualización F_{1}=1$

Los números de Lucas pueden definirse de la siguiente manera:

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{si }}n=0;\\1&{\text{si }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{si }}n>1.\end{cases}}}$

(donde n pertenece a los números naturales )

Todas las secuencias de números enteros similares a Fibonacci aparecen en forma desplazada como una fila de la matriz Wythoff ; la secuencia de Fibonacci en sí es la primera fila y la secuencia de Lucas es la segunda fila. Además, como todas las secuencias de números enteros similares a Fibonacci, la razón entre dos números de Lucas consecutivos converge a la proporción áurea .

Usando , se pueden extender los números de Lucas a números enteros negativos para obtener una secuencia doblemente infinita: ${\displaystyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... ( se muestran los términos para ).$Estilo de visualización L_{n}$${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$

La fórmula para los términos con índices negativos en esta secuencia es

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

Los números de Lucas están relacionados con los números de Fibonacci por muchas identidades . Entre ellas se encuentran las siguientes:

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=2F_{n+1}-F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$
• $Estilo de visualización F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{nk}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle 2F_{2n+k}=L_{n}F_{n+k}+L_{n+k}F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$, entonces .${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}}$
• ${\displaystyle \vert L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}\vert ={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0}$
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{nk}=5F_{n}F_{k}}$; en particular, , por lo que .${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \sobre 5}}$${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

Su fórmula cerrada se da como:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}$

donde es la proporción áurea . Alternativamente, como la magnitud del término es menor que 1/2, es el entero más cercano a o, equivalentemente, la parte entera de , también escrito como .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle (-\varphi )^{-n}}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle \varphi ^{n}}$${\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}$${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$

Combinando lo anterior con la fórmula de Binet ,

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,}$

Se obtiene una fórmula para :${\displaystyle \varphi ^{n}}$

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}$

Para números enteros n ≥ 2, también obtenemos:

${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R}$

con resto R satisfactorio

${\displaystyle \vert R\vert <3L_{n}^{-5}}$.

Muchas de las identidades de Fibonacci tienen paralelos en los números de Lucas. Por ejemplo, la identidad de Cassini se convierte en

${\displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5}$

También

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2}$

${\displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}}$

dónde .${\displaystyle \textstyle F_{n}={\frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}}$

${\displaystyle L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {k}{2}}\rfloor }(-1)^{nj}{\binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}}$

donde excepto .${\displaystyle L'_{n}=L_{n}}$${\displaystyle L'_{0}=1}$

Por ejemplo, si n es impar , y${\displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}}$${\displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}}$

Comprobando, y${\displaystyle L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)}$${\displaystyle 256=322-4(18)+6}$

Dejar

${\displaystyle \Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}}$

sea ​​la función generadora de los números de Lucas. Mediante un cálculo directo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}}$

que puede reorganizarse como

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)}$da la función generadora para los números de Lucas indexados negativos, y${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}}$

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi (x)}$satisface la ecuación funcional

${\displaystyle \Phi (x)-\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)=2}$

Como la función generadora de los números de Fibonacci está dada por

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

tenemos

${\displaystyle s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}}}$

Lo que prueba que

${\displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},}$

y

${\displaystyle 5s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi (-{\frac {1}{x}})=2{\frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

prueba que

${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

La descomposición en fracciones parciales viene dada por

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}}$

¿Dónde está la proporción áurea y es su conjugado ?${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Esto se puede utilizar para demostrar la función generadora, como

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)}$

Si es un número de Fibonacci entonces ningún número de Lucas es divisible por .${\displaystyle F_{n}\geq 5}$${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle L_{n}}$es congruente con 1 módulo si es primo , pero algunos valores compuestos de también tienen esta propiedad. Estos son los pseudoprimos de Fibonacci .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle L_{n}-L_{n-4}}$es congruente con 0 módulo 5.

Un primo de Lucas es un número de Lucas que es primo . Los primeros primos de Lucas son

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (secuencia A005479 en la OEIS ).

Los índices de estos primos son (por ejemplo, L ₄ = 7)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (secuencia A001606 en la OEIS ).

A partir de septiembre de 2015 ^[update], el primo de Lucas confirmado más grande es L ₁₄₈₀₉₁ , que tiene 30950 dígitos decimales. ^[4] A partir de agosto de 2022 , el primo probable^[update] de Lucas conocido más grande es L _5466311 , con 1,142,392 dígitos decimales. ^[5]

Si L _n es primo, entonces n es 0, primo o una potencia de 2. ^[6] L _{2 ^m} es primo para m  = 1, 2, 3 y 4 y ningún otro valor conocido de  m .

De la misma manera que los polinomios de Fibonacci se derivan de los números de Fibonacci , los polinomios de Lucas son una secuencia polinómica derivada de los números de Lucas.${\displaystyle L_{n}(x)}$

Se pueden obtener aproximaciones racionales cercanas para potencias de la proporción áurea a partir de sus fracciones continuas .

Para números enteros positivos n , las fracciones continuas son:

${\displaystyle \varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},\ldots ]}$

${\displaystyle \varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,\ldots ]}$.

Por ejemplo:

${\displaystyle \varphi ^{5}=[11;11,11,11,\ldots ]}$

es el límite de

${\displaystyle {\frac {11}{1}},{\frac {122}{11}},{\frac {1353}{122}},{\frac {15005}{1353}},\ldots }$

siendo el error en cada término aproximadamente el 1% del error en el término anterior; y

${\displaystyle \varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,\ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,\ldots ]}$

es el límite de

${\displaystyle {\frac {17}{1}},{\frac {18}{1}},{\frac {305}{17}},{\frac {323}{18}},{\frac {5473}{305}},{\frac {5796}{323}},{\frac {98209}{5473}},{\frac {104005}{5796}},\ldots }$

con un error en cada término de aproximadamente el 0,3% del del segundo término anterior.

Los números de Lucas son el segundo patrón más común en los girasoles después de los números de Fibonacci, cuando se cuentan espirales en sentido horario y antihorario, según un análisis de 657 girasoles en 2016. ^[7]

• Generalizaciones de los números de Fibonacci

• "Polinomios de Lucas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "El número de Lucas". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Lucas". MundoMatemático .
• "Los números de Lucas", del Dr. Ron Knott
• Los números de Lucas y la sección áurea
• Puedes encontrar una calculadora de números de Lucas aquí.
• Secuencia OEIS A000032 (números de Lucas que comienzan en 2)