Número de Cullen

En matemáticas , un número de Cullen es un miembro de la secuencia de números enteros (donde es un número natural ). Los números de Cullen fueron estudiados por primera vez por James Cullen en 1905. Los números son casos especiales de los números de Proth .${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1}$${\estilo de visualización n}$

En 1976, Christopher Hooley demostró que la densidad natural de los números enteros positivos para los que C _n es un primo es del orden de o ( x ) para . En ese sentido, casi todos los números de Cullen son compuestos . ^[1] La prueba de Hooley fue reelaborada por Hiromi Suyama para demostrar que funciona para cualquier secuencia de números n ·2 ^{n + a} + b donde a y b son enteros, y en particular también para los números de Woodall . Los únicos primos de Cullen conocidos son aquellos para n igual a:${\displaystyle n\leq x}$ ${\displaystyle x\to \infty}$

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (secuencia A005849 en la OEIS ).

Aun así, se conjetura que hay infinitos números primos de Cullen.

Un número de Cullen C _n es divisible por p  = 2 n  − 1 si p es un número primo de la forma 8 k − 3; además, del pequeño teorema de Fermat  se sigue que si p es un primo impar , entonces p divide a C _{m ( k )} para cada m ( k ) = (2 ^k  −  k ) ( p  − 1) −  k (para k  > 0). También se ha demostrado que el número primo p divide a C _{( p  + 1)/2} cuando el símbolo de Jacobi (2 |  p ) es −1, y que p divide a C _{(3 p  − 1)/2} cuando el símbolo de Jacobi (2 |  p ) es + 1.

Se desconoce si existe un número primo p tal que C _p también sea primo.

C _p sigue la relación de recurrencia

${\displaystyle C_{p}=4(C_{p-1}+C_{p-2})+1}$.

A veces, un número de Cullen generalizado base b se define como un número de la forma n · b ⁿ + 1, donde n  + 2 >  b ; si un primo se puede escribir en esta forma, se denomina entonces primo de Cullen generalizado . Los números de Woodall a veces se denominan números de Cullen de segundo tipo . ^[2]

A partir de octubre de 2021, el primo de Cullen generalizado más grande conocido es 2525532·73 ^2525532  + 1. Tiene 4.705.888 dígitos y fue descubierto por Tom Greer, un participante de PrimeGrid . ^{[3] [4]}

Según el pequeño teorema de Fermat , si hay un primo p tal que n es divisible por p − 1 y n + 1 es divisible por p (especialmente, cuando n = p − 1) y p no divide a b , entonces b ⁿ debe ser congruente con 1 módulo p (ya que b ⁿ es una potencia de b ^{p − 1} y b ^{p − 1} es congruente con 1 módulo p ). Por lo tanto, n · b ⁿ + 1 es divisible por p , por lo que no es primo. Por ejemplo, si algún n congruente con 2 módulo 6 (es decir, 2, 8, 14, 20, 26, 32, ...), n · b ⁿ + 1 es primo, entonces b debe ser divisible por 3 (excepto b = 1).

Los n menores tales que n · b ⁿ + 1 es primo (con signos de interrogación si este término es actualmente desconocido) son ^{[5] [6]}

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, ?, 3, 8, 1, 19650, 1, 6460, 3, 2, 1, 4330, 2, 2805222, 117, 2, 1, ?, 1, 82960, 5, 2, 25, 304, 1, 36, 3, 368, 1, 1806676, 1, 390, 53, 2, 1, ?, 3, ?, 9665, 62, 1, 1341174, 3, ?, 1072, 234, 1, 220, 1, 142, 1295, 8, 3, 16990, 1, 474, 129897, ?, 1, 13948, 1, ?, 3, 2, 1161, 12198, 1, 682156, 5, 350, 1, 1242, 26, 186, 3, 2, 1, 298, 14, 101670, 9, 2, 775, 202, 1, 1374, 63, 2, 1, ... (secuencia A240234 en la OEIS )

• Cullen, James (diciembre de 1905), "Pregunta 15897", Educ. Times : 534.
• Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en la teoría de números (3.ª ed.), Nueva York: Springer Verlag , Sección B20, ISBN 0-387-20860-7, Zbl1058.11001 ​.
• Hooley, Christopher (1976), Aplicaciones de los métodos de tamiz , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 70, Cambridge University Press , págs. 115-119, ISBN 0-521-20915-3, Zbl0327.10044 ​.
• Keller, Wilfrid (1995), "Nuevos números primos de Cullen" (PDF) , Matemáticas de la computación , 64 (212): 1733–1741, S39–S46, doi : 10.2307/2153382 , ISSN  0025-5718, JSTOR  2153382, Zbl  0851.11003.

• Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen en las primeras posiciones en The Prime Pages .
• El glosario principal: Número de Cullen en The Prime Pages.
• Chris Caldwell, Los Veinte Mejores: Cullen Generalizado en The Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. "Número de Cullen". MundoMatemático .
• Cullen Prime: definición y estado (obsoleto), Cullen Prime Search ahora está alojado en PrimeGrid
• Paul Leyland, números (generalizados) de Cullen y Woodall