Parte primitiva y contenido

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En álgebra , el contenido de un polinomio distinto de cero con coeficientes enteros (o, más generalmente, con coeficientes en un dominio de factorización único ) es el máximo común divisor de sus coeficientes. La parte primitiva de dicho polinomio es el cociente del polinomio por su contenido. Por lo tanto, un polinomio es el producto de su parte primitiva por su contenido, y esta factorización es única hasta la multiplicación del contenido por una unidad del anillo de los coeficientes (y la multiplicación de la parte primitiva por la inversa de la unidad).

Un polinomio es primitivo si su contenido es igual a 1. Por lo tanto, la parte primitiva de un polinomio es un polinomio primitivo.

El lema de Gauss para polinomios establece que el producto de polinomios primitivos (cuyos coeficientes se encuentran en el mismo dominio de factorización único) también es primitivo. Esto implica que el contenido y la parte primitiva del producto de dos polinomios son, respectivamente, el producto del contenido y el producto de las partes primitivas.

Como el cálculo de máximos comunes divisores es generalmente mucho más fácil que la factorización de polinomios , el primer paso de un algoritmo de factorización de polinomios es generalmente el cálculo de la factorización de su contenido de parte primitiva (ver Factorización de polinomios § Factorización de contenido de parte primitiva ). Luego, el problema de factorización se reduce a factorizar por separado el contenido y la parte primitiva.

El contenido y la parte primitiva pueden generalizarse a polinomios sobre los números racionales y, de manera más general, a polinomios sobre el cuerpo de fracciones de un dominio de factorización único. Esto hace que los problemas de cálculo de máximos comunes divisores y factorización de polinomios sobre los números enteros y de polinomios sobre los números racionales sean esencialmente equivalentes .

En el caso de un polinomio con coeficientes enteros, el contenido puede ser el máximo común divisor de los coeficientes o su inverso aditivo . La elección es arbitraria y puede depender de otra convención, que suele ser que el coeficiente principal de la parte primitiva sea positivo.

Por ejemplo, el contenido de puede ser 2 o −2, ya que 2 es el máximo común divisor de −12, 30 y −20. Si se elige 2 como contenido, la parte primitiva de este polinomio es $Estilo de visualización: -12x^{3}+30x-20$

${\displaystyle -6x^{3}+15x-10={\frac {-12x^{3}+30x-20}{2}},}$

y por lo tanto la factorización del contenido de la parte primitiva es

${\displaystyle -12x^{3}+30x-20=2(-6x^{3}+15x-10).}$

Por razones estéticas, a menudo se prefiere elegir un contenido negativo, aquí −2, lo que da como resultado la factorización del contenido de la parte primitiva.

${\displaystyle -12x^{3}+30x-20=-2(6x^{3}-15x+10).}$

En el resto de este artículo, consideramos polinomios sobre un dominio de factorización único R , que normalmente puede ser el anillo de números enteros o un anillo de polinomios sobre un cuerpo . En R , los máximos comunes divisores están bien definidos y son únicos hasta la multiplicación por una unidad de R .

El contenido c ( P ) de un polinomio P con coeficientes en R es el máximo común divisor de sus coeficientes y, como tal, está definido hasta la multiplicación por una unidad. La parte primitiva pp( P ) de P es el cociente P / c ( P ) de P por su contenido; es un polinomio con coeficientes en R , que es único hasta la multiplicación por una unidad. Si el contenido se modifica por la multiplicación por una unidad u , entonces la parte primitiva debe modificarse dividiéndola por la misma unidad, para mantener la igualdad que se llama factorización de P por contenido de la parte primitiva .$${\displaystyle P=c(P)\nombre del operador {pp} (P),}$$

Las principales propiedades del contenido y de la parte primitiva son resultado del lema de Gauss , que afirma que el producto de dos polinomios primitivos es primitivo, donde un polinomio es primitivo si 1 es el máximo común divisor de sus coeficientes. Esto implica:

• El contenido de un producto de polinomios es el producto de sus contenidos:$${\displaystyle c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).}$$
• La parte primitiva de un producto de polinomios es el producto de sus partes primitivas:$${\displaystyle \operatorname {pp} (P_{1}P_{2})=\operatorname {pp} (P_{1})\operatorname {pp} (P_{2}).}$$
• El contenido de un máximo común divisor de polinomios es el máximo común divisor (en R ) de sus contenidos:$${\displaystyle c(\operatorname {mcd} (P_{1},P_{2}))=\operatorname {mcd} (c(P_{1}),c(P_{2})).}$$
• La parte primitiva de un máximo común divisor de polinomios es el máximo común divisor (en R ) de sus partes primitivas:$${\displaystyle \operatorname {pp} (\operatorname {mcd} (P_{1},P_{2}))=\operatorname {mcd} (\operatorname {pp} (P_{1}),\operatorname {pp} (P_{2})).}$$
• La factorización completa de un polinomio sobre R es el producto de la factorización (en R ) del contenido y de la factorización (en el anillo polinomial) de la parte primitiva.

La última propiedad implica que el cálculo de la factorización del contenido de la parte primitiva de un polinomio reduce el cálculo de su factorización completa a la factorización separada del contenido y la parte primitiva. Esto es interesante en general, porque el cálculo de la factorización del contenido de la parte prima implica solo el cálculo del máximo común divisor en R , que suele ser mucho más fácil que la factorización.

La factorización del contenido de partes primitivas puede extenderse a polinomios con coeficientes racionales de la siguiente manera.

Dado un polinomio P con coeficientes racionales, al reescribir sus coeficientes con el mismo denominador común d , se puede reescribir P como

${\displaystyle P={\frac {Q}{d}},}$

donde Q es un polinomio con coeficientes enteros. El contenido de P es el cociente por d del contenido de Q , es decir

${\displaystyle c(P)={\frac {c(Q)}{d}},}$

y la parte primitiva de P es la parte primitiva de Q :

${\displaystyle \operatorname {pp} (P)=\operatorname {pp} (Q).}$

Es fácil demostrar que esta definición no depende de la elección del denominador común y que la factorización del contenido de partes primitivas sigue siendo válida:

${\displaystyle P=c(P)\nombre del operador {pp} (P).}$

Esto demuestra que cada polinomio sobre los racionales está asociado con un polinomio primitivo único sobre los enteros, y que el algoritmo euclidiano permite el cálculo de este polinomio primitivo.

Una consecuencia de ello es que factorizar polinomios sobre los racionales es equivalente a factorizar polinomios primitivos sobre los enteros. Como los polinomios con coeficientes en un cuerpo son más comunes que los polinomios con coeficientes enteros, puede parecer que esta equivalencia puede utilizarse para factorizar polinomios con coeficientes enteros. De hecho, la verdad es exactamente la opuesta: todo algoritmo eficiente conocido para factorizar polinomios con coeficientes racionales utiliza esta equivalencia para reducir el problema módulo algún número primo p (véase Factorización de polinomios ).

Esta equivalencia también se utiliza para calcular el máximo común divisor de polinomios, aunque el algoritmo de Euclides está definido para polinomios con coeficientes racionales. De hecho, en este caso, el algoritmo de Euclides requiere que se calcule la forma reducida de muchas fracciones, y esto hace que el algoritmo de Euclides sea menos eficiente que los algoritmos que funcionan solo con polinomios sobre números enteros (véase Máximo común divisor de polinomios ).

Los resultados de la sección anterior siguen siendo válidos si el anillo de números enteros y el cuerpo de racionales se sustituyen respectivamente por cualquier dominio de factorización único R y su cuerpo de fracciones K.

Esto se utiliza normalmente para factorizar polinomios multivariados y para demostrar que un anillo polinomial sobre un dominio de factorización único es también un dominio de factorización único.

Un anillo polinómico sobre un cuerpo es un dominio de factorización único. Lo mismo es cierto para un anillo polinómico sobre un dominio de factorización único. Para demostrar esto, basta considerar el caso univariante , ya que el caso general puede deducirse por inducción sobre el número de indeterminados.

La propiedad de factorización única es una consecuencia directa del lema de Euclides : si un elemento irreducible divide un producto, entonces divide a uno de los factores. Para polinomios univariados sobre un cuerpo, esto resulta de la identidad de Bézout , que a su vez resulta del algoritmo de Euclides .

Por lo tanto, sea R un dominio de factorización único, que no es un cuerpo, y R [ X ] el anillo polinomial univariado sobre R . Un elemento irreducible r en R [ X ] es un elemento irreducible en R o un polinomio primitivo irreducible.

Si r está en R y divide un producto de dos polinomios, entonces divide el contenido. Por lo tanto, por el lema de Euclides en R , divide uno de los contenidos, y por lo tanto, uno de los polinomios.$Estilo de visualización P_{1}P_{2}}$${\displaystyle c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).}$

Si r no es R , es un polinomio primitivo (porque es irreducible). Entonces el lema de Euclides en R [ X ] resulta inmediatamente del lema de Euclides en K [ X ] , donde K es el cuerpo de fracciones de R .

Para factorizar un polinomio multivariado sobre un cuerpo o sobre los números enteros, se puede considerar como un polinomio univariante con coeficientes en un anillo polinomial con un indeterminado menos. Luego la factorización se reduce a factorizar por separado la parte primitiva y el contenido. Como el contenido tiene un indeterminado menos, se puede factorizar aplicando el método de forma recursiva . Para factorizar la parte primitiva, el método estándar consiste en sustituir números enteros en los indeterminados de los coeficientes de forma que no cambie el grado en la variable restante, factorizar el polinomio univariante resultante y elevar el resultado a una factorización de la parte primitiva.

• Teorema de la raíz racional

• B. Hartley ; TO Hawkes (1970). Anillos, módulos y álgebra lineal . Chapman y Hall. ISBN 0-412-09810-5.
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