Figura isoédrica

≥Teselación bidimensional o ≥politopo tridimensional con caras idénticas
Un conjunto de dados isoédricos

En geometría , una teselación de dimensión 2 (un mosaico plano) o superior, o un politopo de dimensión 3 (un poliedro ) o superior, es isoédrica o transitiva de caras si todas sus caras son iguales. Más específicamente, todas las caras no deben ser simplemente congruentes sino que deben ser transitivas , es decir, deben estar dentro de la misma órbita de simetría . En otras palabras, para dos caras cualesquiera A y B , debe haber una simetría de toda la figura por traslaciones , rotaciones y/o reflexiones que mapee A sobre B. Por esta razón, los poliedros isoédricos convexos son las formas que harán que los dados sean justos . [1]

Los poliedros isoédricos se denominan isoedros y pueden describirse por la configuración de sus caras . Un isoedro tiene un número par de caras.

El dual de un poliedro isoédrico es transitivo por vértice , es decir, isogonal. Los sólidos de Catalan , las bipirámides y los trapezoedros son todos isoédricos. Son los duales de los sólidos arquimedianos (isogonales) , prismas y antiprismas , respectivamente. Los sólidos platónicos , que son autoduales o duales con otro sólido platónico, son transitivos por vértice, arista y cara (es decir, isogonales, isotoxales e isoédricos).

Se dice que una forma que es isoédrica, tiene vértices regulares y también es transitiva en sus aristas (es decir, isotoxal) es un dual cuasirregular . Algunos teóricos consideran que estas figuras son verdaderamente cuasirregulares porque comparten las mismas simetrías, pero esto no es algo que se acepte en general.

Un poliedro que es isoédrico e isogonal se dice que es noble .

No todos los isozenoedros [2] son ​​isoédricos. [3] Por ejemplo, un icosaedro rómbico es un isozenoedro pero no un isoedro. [4]

Ejemplos

ConvexoCóncavo

Las bipirámides hexagonales , V4.4.6, son poliedros isoédricos no regulares .

El mosaico pentagonal de El Cairo , V3.3.4.3.4, es isoédrico.

El panal dodecaédrico rómbico es isoédrico (e isocórico y ocupa todo el espacio).

Una teselación cuadrada distorsionada en una teselación H en espiral (topológicamente equivalente) sigue siendo isoédrica.

Clases de isoedros por simetría

CarasConfiguración de cara
.
ClaseNombreSimetríaOrdenConvexoCoplanarNo convexo
4V3 3platónicotetraedro difenoide
tetragonal
difenoide rómbico
T d , [3,3], (*332)
D 2d , [2 + ,2], (2*)
D 2 , [2,2] + , (222)
24
4
4
4
Tetraedro
6Versión 3 4platónicocubo
trapezoedro trigonal
trapezoedro trigonal asimétrico
Oh , [4,3], (*432) D 3d , [2 + , 6 ] (2*3) D 3 [2,3] + , (223)



48
12
12
6
Cubo
8V4 3platónicooctaedro bipirámide
cuadrada bipirámide rómbica escalenoedro cuadrado

Oh , [4,3], (*432) D 4h , [2,4], (*224) D 2h , [2,2], (*222) D 2d , [2 + , 4], (2*2)


48
16
8
8
Octaedro
12V3 5platónicododecaedro regular
piritoedro
tetartoide
Yo , [5,3], (*532) T , [3 + , 4], (3*2) T, [3,3] + , (*332)

120
24
12
Dodecaedro
20V5 3platónicoicosaedro regularYo soy , [5,3], (*532)120Icosaedro
12Versión 3.6 2catalántriakis tetraedroT d , [3,3], (*332)24Tetraedro triakis
12V(3.4) 2catalándodecaedro rómbico
dodecaedro deltoidal
O h , [4,3], (*432)
T d , [3,3], (*332)
48
24
Dodecaedro rómbico
24Versión 3.8 2catalántriakis octaedroOh , [4,3], (*432 )48Octaedro triakis
24Versión 4.6 2catalántetrakis hexaedroOh , [4,3], (*432 )48Hexaedro tetrakis
24Versión 3.4 3catalánicositetraedro deltoidalOh , [4,3], (*432 )48Icositetraedro deltoidal
48V4.6.8catalánDodecaedro de DisdyakisOh , [4,3], (*432 )48Dodecaedro de Disdyakis
24Versión 3 4 .4catalánicositetraedro pentagonalO, [4,3] + , (432)24Icositetraedro pentagonal
30V(3,5) 2catalántriacontaedro rómbicoYo soy , [5,3], (*532)120Triacontaedro rómbico
60V3.10 2catalántriakisicosaedroYo soy , [5,3], (*532)120Triakis icosaedro
60Versión 5.6 2catalánDodecaedro pentakisYo soy , [5,3], (*532)120Dodecaedro de pentakis
60V3.4.5.4catalánhexecontaedro deltoidalYo soy , [5,3], (*532)120Hexecontaedro deltoidal
120V4.6.10catalánTriacontaedro de DisdyakisYo soy , [5,3], (*532)120Triacontaedro de Disdyakis
60Versión 3 4.5catalánhexecontaedro pentagonalYo, [5,3] + , (532)60Hexecontaedro pentagonal
2 nV3 3 . nPolartrapezoedro
trapezoedro asimétrico
D n d , [2 + ,2 n ], (2* n )
D n , [2, n ] + , (22 n )
4 y
2 y

2 y
4 y
V4 2 . n
V4 2 .2 n
V4 2 .2 n
Polarn - bipirámide regular
isotoxal 2 n -bipirámide
2 n - escalenoedro
D n h , [2, n ], (*22 n )
D n h , [2, n ], (*22 n )
D n d , [2 + ,2 n ], (2* n )
4 n

a-isoédricocifra

Un poliedro (o politopo en general) es k -isoédrico si contiene k caras dentro de sus dominios fundamentales de simetría. [5] De manera similar, un mosaico k -isoédrico tiene k órbitas de simetría separadas (puede contener m formas de caras diferentes, para m = k , o solo para algunas m < k ). [6] ("1-isoédrico" es lo mismo que "isoédrico").

Un poliedro monoédrico o teselación monoédrica ( m = 1) tiene caras congruentes, ya sea directa o reflexivamente, que se presentan en una o más posiciones de simetría. Un poliedro o teselación m -édrica tiene m formas de cara diferentes (" diédrico ", " triédrico "... son lo mismo que "2-édrico", "3-édrico"... respectivamente). [7]

A continuación se muestran algunos ejemplos de poliedros y teselaciones k -isoédricas, con sus caras coloreadas según sus posiciones de simetría k :

3-isoédrico4-isoédricoisoédrica2-isoédrico
Poliedros de caras regulares de 2 hedralesPoliedros monoédricos
El rombicuboctaedro tiene 1 tipo de triángulo y 2 tipos de cuadrado.El pseudo-rombicuboctaedro tiene 1 tipo de triángulo y 3 tipos de cuadrado.El icositetraedro deltoidal tiene 1 tipo de cara.El icositetraedro pseudodeltoidal tiene 2 tipos de caras, con la misma forma.
2-isoédrico4-isoédricoIsoédrica3-isoédrico
Teselas de caras regulares de 2 hedralesTeselación monoédrica
El mosaico pitagórico tiene 2 tipos de cuadrados (tamaños).Este mosaico de 3 uniformes tiene 3 tipos de triángulos, con la misma forma, y ​​1 tipo cuadrado.El patrón de espiga tiene 1 tipo de rectángulo.Este mosaico pentagonal tiene 3 tipos de pentágonos irregulares, con la misma forma.

Una figura transitiva de celdas o isocórica es un politopo n ( n ≥ 4) o un panal n ( n ≥ 3) que tiene sus celdas congruentes y transitivas entre sí. En 3 dimensiones, los panales catóptricos , duales de los panales uniformes, son isocóricos. En 4 dimensiones, se han enumerado politopos isocóricos de hasta 20 celdas. [8]

Una figura isotópica o transitiva por facetas es un politopo o panal de abeja de n dimensiones con sus facetas (( n −1)- caras ) congruentes y transitivas. El dual de un isótopo es un politopo isogonal . Por definición, esta propiedad isotópica es común a los duales de los politopos uniformes .

  • Una figura isotópica bidimensional es isotoxal, es decir, transitiva en cuanto a los bordes.
  • Una figura tridimensional isotópica es isoédrica, es decir, transitiva en sus caras.
  • Una figura isotópica de 4 dimensiones es isocórica, es decir, transitiva a nivel celular.

Véase también

Referencias

  1. ^ McLean, K. Robin (1990), "Mazmorras, dragones y dados", The Mathematical Gazette , 74 (469): 243–256, doi :10.2307/3619822, JSTOR  3619822, S2CID  195047512.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Isozonohedron". mathworld.wolfram.com . Consultado el 26 de diciembre de 2019 .
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Isoedro". mathworld.wolfram.com . Consultado el 21 de diciembre de 2019 .
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Icosaedro rómbico". mathworld.wolfram.com . Consultado el 21 de diciembre de 2019 .
  5. ^ Socolar, Joshua ES (2007). "Azulejos de parquet hexagonales: monoazulejos k-isoédricos con k arbitrariamente grande" (PDF corregido) . The Mathematical Intelligencer . 29 (2): 33–38. arXiv : 0708.2663 . doi :10.1007/bf02986203. S2CID  119365079. Consultado el 9 de septiembre de 2007 .
  6. ^ Craig S. Kaplan, "Introducción a la teoría de mosaicos para gráficos por computadora", archivado el 8 de diciembre de 2022 en Wayback Machine , 2009, capítulo 5: "Mosaicos isoédricos", pág. 35.
  7. ^ Azulejos y patrones , pág. 20, 23.
  8. ^ "Dados de cuatro dimensiones hasta veinte caras".
  • Olshevsky, George. "Isótopo". Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
  • Weisstein, Eric W. "Teselación isoédrica". MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Isoedro". MathWorld .
  • isoedros 25 clases de isoedros con un número finito de lados
  • Diseño de dados en The Dice Lab
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