Polinomio de nudo

En el campo matemático de la teoría de nudos , un polinomio de nudo es un invariante de nudo en forma de polinomio cuyos coeficientes codifican algunas de las propiedades de un nudo dado .

El primer polinomio de nudo, el polinomio de Alexander , fue introducido por James Waddell Alexander II en 1923. Otros polinomios de nudo no se encontraron hasta casi 60 años después.

En la década de 1960, John Conway ideó una relación de madeja para una versión del polinomio de Alexander, generalmente denominada polinomio de Alexander-Conway . La importancia de esta relación de madeja no se comprendió hasta principios de la década de 1980, cuando Vaughan Jones descubrió el polinomio de Jones . Esto condujo al descubrimiento de más polinomios de nudo, como el llamado polinomio de HOMFLY .

Poco después del descubrimiento de Jones, Louis Kauffman se dio cuenta de que el polinomio de Jones podía calcularse mediante una función de partición (modelo de suma de estados), que implicaba el polinomio de corchetes , un invariante de nudos enmarcados . Esto abrió vías de investigación que vinculaban la teoría de nudos y la mecánica estadística .

A finales de los años 1980, se produjeron dos avances relacionados. Edward Witten demostró que el polinomio de Jones y otros invariantes de tipo Jones similares tenían una interpretación en la teoría de Chern-Simons . Viktor Vasilyev y Mikhail Goussarov iniciaron la teoría de los invariantes de tipo finito de los nudos. Se sabe que los coeficientes de los polinomios nombrados anteriormente son de tipo finito (quizás después de un "cambio de variables" adecuado).

En los últimos años, se ha demostrado que el polinomio de Alexander está relacionado con la homología de Floer . La característica de Euler graduada de la homología de Floer del nudo de Peter Ozsváth y Zoltan Szabó es el polinomio de Alexander.

Notación Alexander-Briggs	Polinomio de Alexander ${\displaystyle \Delta(t)}$	Polinomio de Conway ${\displaystyle \nabla (z)}$	Polinomio de Jones ${\displaystyle V(q)}$	Polinomio HOMFLY ${\displaystyle H(a,z)}$
${\estilo de visualización 0_{1}}$( Desanudar )	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$
${\estilo de visualización 3_{1}}$( Nudo de trébol )	$estilo de visualización t-1+t^{-1}}$	$estilo de visualización z^{2}+1$	${\displaystyle q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}$	$estilo-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}$
${\estilo de visualización 4_{1}}$( Nudo en forma de ocho )	$estilo de visualización -t+3-t^{-1}}$	$estilo de visualización -z^{2}+1$	${\displaystyle q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}}$	${\displaystyle a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1}$
${\estilo de visualización 5_{1}}$( Nudo de cinco hojas )	${\displaystyle t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}}$	${\displaystyle z^{4}+3z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}}$	${\displaystyle -a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}}$
$Estilo de visualización 3_1_#3_1$( Nudo de abuelita )	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}}$
${\displaystyle 3_{1}\#3_{1}^{*}}$( Nudo cuadrado )	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times }$ ${\displaystyle \left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)}$

La notación Alexander-Briggs organiza los nudos según su número de cruce.

Los polinomios de Alexander y los polinomios de Conway no pueden reconocer la diferencia entre el nudo trébol izquierdo y el nudo trébol derecho.

• 
  El nudo de trébol izquierdo.
• 
  El nudo de trébol derecho.

Entonces tenemos la misma situación que el nudo granny y el nudo cuadrado ya que la suma de nudos en es el producto de nudos en polinomios de nudos .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• Polinomio de Alexander
• Polinomio entre corchetes
• Polinomio HOMFLY
• Polinomio de Jones
• Polinomio de Kauffman

• Polinomio gráfico , una clase similar de invariantes polinomiales en la teoría de grafos
• Polinomio de Tutte , un tipo especial de polinomio gráfico relacionado con el polinomio de Jones
• Relación de madeja para una definición formal del polinomio de Alexander, con un ejemplo resuelto.

• Adams, Colin. El libro de los nudos . Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8050-7380-9.
• Lickorish, WBR (1997). Introducción a la teoría de nudos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 175. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-98254-X.