Partes positivas y negativas

En matemáticas , la parte positiva de una función real o de valor real extendida se define mediante la fórmula$${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0)={\begin{cases}f(x)&{\text{ si }}f(x)>0\\0&{\text{ en caso contrario.}}\end{cases}}}$$

Intuitivamente, la gráfica de se obtiene tomando la gráfica de , cortando la parte debajo del eje x y dejando que tome el valor cero allí.${\estilo de visualización f^{+}}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f^{+}}$

De manera similar, la parte negativa de f se define como $${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-f(x),0)=-\min(f(x),0)={\begin{cases}-f(x)&{\text{ si }}f(x)<0\\0&{\text{ en caso contrario}}\end{cases}}}$$

Nótese que tanto f ⁺ como f− son funciones no negativas. Una particularidad de la terminología es que la "parte negativa" no es ni negativa ni una parte (como la parte imaginaria de un ^número complejo no es ni imaginaria ni una parte).

La función f se puede expresar en términos de f ⁺ y f ⁻ como$${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$$

Tenga en cuenta también que$${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

Usando estas dos ecuaciones se pueden expresar las partes positivas y negativas como$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&={\frac {|f|+f}{2}}\\f^{-}&={\frac {|f|-f}{2}}.\end{aligned}}}$$

Otra representación, utilizando el corchete de Iverson es$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&=[f>0]f\\f^{-}&=-[f<0]f.\end{aligned}}}$$

Se puede definir la parte positiva y negativa de cualquier función con valores en un grupo ordenado linealmente .

La función de rampa unitaria es la parte positiva de la función identidad .

Dado un espacio medible ( X , Σ) , una función f de valor real extendida es medible si y solo si lo son sus partes positiva y negativa. Por lo tanto, si dicha función f es medible, también lo es su valor absoluto | f | , al ser la suma de dos funciones mesurables. Sin embargo, lo inverso no se cumple necesariamente: por ejemplo, tomando f como donde V es un conjunto de Vitali , está claro que f no es medible, pero sí su valor absoluto, al ser una función constante.$${\displaystyle f=1_{V}-{\frac {1}{2}},}$$

La parte positiva y la parte negativa de una función se utilizan para definir la integral de Lebesgue de una función de valor real. De manera análoga a esta descomposición de una función, se puede descomponer una medida con signo en partes positivas y negativas (véase el teorema de descomposición de Hahn) .

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