Paralelo (geometría)

En geometría , las líneas paralelas son líneas rectas infinitas coplanares que no se cortan en ningún punto. Los planos paralelos son planos en el mismo espacio tridimensional que nunca se encuentran. Las curvas paralelas son curvas que no se tocan entre sí ni se cortan y mantienen una distancia mínima fija. En el espacio euclidiano tridimensional, una línea y un plano que no comparten un punto también se dice que son paralelos. Sin embargo, dos líneas no coplanares se llaman líneas oblicuas . Los segmentos de línea y los vectores euclidianos son paralelos si tienen la misma dirección o dirección opuesta (no necesariamente la misma longitud). ^[1]

Las líneas paralelas son el tema del postulado de las paralelas de Euclides . ^[2] El paralelismo es principalmente una propiedad de las geometrías afines y la geometría euclidiana es un ejemplo especial de este tipo de geometría. En algunas otras geometrías, como la geometría hiperbólica , las líneas pueden tener propiedades análogas a las que se denomina paralelismo.

El símbolo paralelo es . ^{[3] [4]} Por ejemplo, indica que la línea AB es paralela a la línea  CD .${\displaystyle \paralelo}$${\displaystyle AB\paralelo CD}$

En el conjunto de caracteres Unicode , los signos "paralelo" y "no paralelo" tienen los puntos de código U+2225 (∥) y U+2226 (∦), respectivamente. Además, U+22D5 (⋕) representa la relación "igual y paralelo a". ^[5]

El mismo símbolo se utiliza para una función binaria en ingeniería eléctrica (el operador paralelo ). Es distinto de los corchetes de doble línea vertical , U+2016 (‖), que indican una norma (por ejemplo, ), así como del operador lógico or ( ) en varios lenguajes de programación.${\estilo de visualización \|x\|}$||

Dadas líneas rectas paralelas l y m en el espacio euclidiano , las siguientes propiedades son equivalentes:

1. Cada punto de la línea m está ubicado exactamente a la misma distancia (mínima) de la línea l ( líneas equidistantes ).
2. La línea m está en el mismo plano que la línea l pero no la interseca (recuerde que las líneas se extienden hasta el infinito en cualquier dirección).
3. Cuando las rectas m y l son intersectadas por una tercera recta (una transversal ) en el mismo plano, los ángulos de intersección correspondientes con la transversal son congruentes .

Como se trata de propiedades equivalentes, cualquiera de ellas podría tomarse como la definición de líneas paralelas en el espacio euclidiano, pero la primera y la tercera propiedades implican medición y, por lo tanto, son "más complicadas" que la segunda. Por lo tanto, la segunda propiedad es la que generalmente se elige como la propiedad definitoria de las líneas paralelas en la geometría euclidiana. ^[6] Las otras propiedades son entonces consecuencias del Postulado de las Paralelas de Euclides .

La definición de líneas paralelas como un par de líneas rectas en un plano que no se encuentran aparece como Definición 23 en el Libro I de los Elementos de Euclides . ^[7] Otros griegos discutieron definiciones alternativas, a menudo como parte de un intento de demostrar el postulado de las paralelas . Proclo atribuye una definición de líneas paralelas como líneas equidistantes a Posidonio y cita a Gémino en una línea similar. Simplicio también menciona la definición de Posidonio, así como su modificación por el filósofo Aganis. ^[7]

A finales del siglo XIX, en Inglaterra, los Elementos de Euclides seguían siendo el libro de texto estándar en las escuelas secundarias. El tratamiento tradicional de la geometría estaba siendo presionado para cambiar por los nuevos desarrollos en geometría proyectiva y geometría no euclidiana , por lo que se escribieron varios libros de texto nuevos para la enseñanza de la geometría en esta época. Una diferencia importante entre estos textos de reforma, tanto entre ellos mismos como entre ellos y Euclides, es el tratamiento de las líneas paralelas. ^[8] Estos textos de reforma no estuvieron exentos de críticos y uno de ellos, Charles Dodgson (también conocido como Lewis Carroll ), escribió una obra de teatro, Euclides y sus rivales modernos , en la que se critican estos textos. ^[9]

Uno de los primeros libros de texto de reforma fue la Geometría elemental de James Maurice Wilson de 1868. ^[10] Wilson basó su definición de líneas paralelas en la noción primitiva de dirección . Según Wilhelm Killing ^[11] la idea se remonta a Leibniz . ^[12] Wilson, sin definir la dirección ya que es un primitivo, usa el término en otras definiciones como su sexta definición, "Dos líneas rectas que se encuentran tienen direcciones diferentes, y la diferencia de sus direcciones es el ángulo entre ellas". Wilson (1868, p. 2) En la definición 15 introduce las líneas paralelas de esta manera: "Las líneas rectas que tienen la misma dirección , pero no son partes de la misma línea recta, se llaman líneas paralelas ". Wilson (1868, p. 12) Augustus De Morgan revisó este texto y lo declaró un fracaso, principalmente sobre la base de esta definición y la forma en que Wilson la usó para probar cosas sobre las líneas paralelas. Dodgson también dedica una gran parte de su obra (Acto II, Escena VI § 1) a denunciar el tratamiento que Wilson da a los paralelos. Wilson eliminó este concepto de la tercera edición y de ediciones posteriores de su texto. ^[13]

Otras propiedades propuestas por otros reformadores, utilizadas como reemplazo de la definición de líneas paralelas, no tuvieron mucho mejor resultado. La principal dificultad, como señaló Dodgson, fue que para utilizarlas de esta manera se requerían axiomas adicionales que se agregaran al sistema. La definición de línea equidistante de Posidonio, expuesta por Francis Cuthbertson en su texto de 1874, Geometría euclidiana, sufre del problema de que se debe demostrar que los puntos que se encuentran a una distancia dada fija en un lado de una línea recta forman una línea recta. Esto no se puede demostrar y se debe asumir como cierto. ^[14] La propiedad de los ángulos correspondientes formados por una transversal, utilizada por WD Cooley en su texto de 1860, Los elementos de la geometría, simplificada y explicada requiere una prueba del hecho de que si una transversal se encuentra con un par de líneas en ángulos correspondientes congruentes, entonces todas las transversales deben hacerlo. Nuevamente, se necesita un nuevo axioma para justificar esta afirmación.

Las tres propiedades anteriores conducen a tres métodos diferentes de construcción ^[15] de líneas paralelas.

• 
  Propiedad 1: La línea m tiene en todas partes la misma distancia a la línea l .
• 
  Propiedad 2: Toma una línea aleatoria que pase por a y que intersecta a l en x . Mueve el punto x al infinito.
• 
  Propiedad 3: Tanto l como m comparten una línea transversal a través de a que los interseca en 90°.

Como las líneas paralelas en un plano euclidiano son equidistantes, existe una distancia única entre las dos líneas paralelas. Dadas las ecuaciones de dos líneas paralelas no verticales ni horizontales,

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

La distancia entre las dos líneas se puede encontrar ubicando dos puntos (uno en cada línea) que se encuentren en una perpendicular común a las líneas paralelas y calculando la distancia entre ellos. Como las líneas tienen pendiente m , una perpendicular común tendría pendiente −1/ m y podemos tomar la línea con ecuación y = − x / m como una perpendicular común. Resolver los sistemas lineales

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}$

y

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}$

para obtener las coordenadas de los puntos. Las soluciones de los sistemas lineales son los puntos

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}$

y

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}$

Estas fórmulas aún dan las coordenadas de los puntos correctos incluso si las líneas paralelas son horizontales (es decir, m = 0). La distancia entre los puntos es

${\displaystyle d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

Lo que se reduce a

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Cuando las rectas vienen dadas por la forma general de la ecuación de una recta (se incluyen rectas horizontales y verticales):

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

Su distancia se puede expresar como

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Dos rectas en el mismo espacio tridimensional que no se intersecan no necesariamente deben ser paralelas. Solo si están en un plano común se denominan paralelas; de lo contrario, se denominan rectas oblicuas .

Dos rectas distintas l y m en el espacio tridimensional son paralelas si y solo si la distancia desde un punto P en la recta m hasta el punto más cercano en la recta l es independiente de la ubicación de P en la recta m . Esto nunca es válido para rectas oblicuas.

Una línea m y un plano q en el espacio tridimensional, no encontrándose la línea en ese plano, son paralelos si y sólo si no se intersecan.

Equivalentemente, son paralelas si y sólo si la distancia desde un punto P en la línea m al punto más cercano en el plano q es independiente de la ubicación de P en la línea m .

De manera similar al hecho de que las líneas paralelas deben estar ubicadas en el mismo plano, los planos paralelos deben estar situados en el mismo espacio tridimensional y no contener ningún punto en común.

Dos planos distintos q y r son paralelos si y solo si la distancia desde un punto P en el plano q hasta el punto más cercano en el plano r es independiente de la ubicación de P en el plano q . Esto nunca se cumplirá si los dos planos no están en el mismo espacio tridimensional.

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En la geometría no euclidiana , el concepto de línea recta se reemplaza por el concepto más general de geodésica , una curva que es localmente recta con respecto a la métrica (definición de distancia) en una variedad de Riemann , una superficie (o espacio de dimensiones superiores) que puede ser curva. En la relatividad general , las partículas que no están bajo la influencia de fuerzas externas siguen geodésicas en el espacio-tiempo , una variedad de cuatro dimensiones con 3 dimensiones espaciales y 1 dimensión temporal. ^[16]

En geometría no euclidiana ( geometría elíptica o hiperbólica ), las tres propiedades euclidianas mencionadas anteriormente no son equivalentes y solo la segunda (la línea m está en el mismo plano que la línea l pero no la interseca) es útil en geometrías no euclidianas, ya que no implica mediciones. En geometría general, las tres propiedades anteriores dan tres tipos diferentes de curvas, curvas equidistantes , geodésicas paralelas y geodésicas que comparten una perpendicular común , respectivamente.

Mientras que en la geometría euclidiana dos geodésicas pueden intersecarse o ser paralelas, en la geometría hiperbólica existen tres posibilidades. Dos geodésicas pertenecientes al mismo plano pueden ser:

1. intersecantes , si se intersecan en un punto común en el plano,
2. paralelas , si no se intersecan en el plano, pero convergen a un punto límite común en el infinito ( punto ideal ), o
3. ultraparalelas , si no tienen un punto límite común en el infinito. ^[17]

En la literatura, las geodésicas ultraparalelas suelen denominarse no intersecantes . Las geodésicas que se intersecan en el infinito se denominan paralelas límite .

Como en la ilustración a través de un punto a que no está sobre la recta l hay dos rectas paralelas limitantes , una por cada punto ideal direccional de la recta l. Separan las rectas que cortan la recta l y las que son ultraparalelas a la recta l .

Las líneas ultraparalelas tienen una única perpendicular común ( teorema de las ultraparalelas ) y divergen en ambos lados de esta perpendicular común.

En geometría esférica , todas las geodésicas son círculos máximos . Los círculos máximos dividen la esfera en dos hemisferios iguales y todos los círculos máximos se intersecan entre sí. Por lo tanto, no hay geodésicas paralelas a una geodésica dada, ya que todas las geodésicas se intersecan. Las curvas equidistantes en la esfera se denominan paralelos de latitud , de manera análoga a las líneas de latitud en un globo terráqueo. Los paralelos de latitud se pueden generar mediante la intersección de la esfera con un plano paralelo a un plano que pasa por el centro de la esfera.

Si l, m, n son tres líneas distintas, entonces${\displaystyle l\paralelo m\ \l\m\paralelo n\ \implica \ l\paralelo n.}$

En este caso, el paralelismo es una relación transitiva . Sin embargo, en el caso de que l = n , las líneas superpuestas no se consideran paralelas en la geometría euclidiana. La relación binaria entre líneas paralelas es evidentemente una relación simétrica . Según los principios de Euclides, el paralelismo no es una relación reflexiva y, por lo tanto, no puede ser una relación de equivalencia . Sin embargo, en la geometría afín, un conjunto de líneas paralelas se toma como una clase de equivalencia en el conjunto de líneas donde el paralelismo es una relación de equivalencia. ^{[18] [19] [20]}

Para ello, Emil Artin (1957) adoptó una definición de paralelismo donde dos rectas son paralelas si tienen todos o ninguno de sus puntos en común. ^[21] Entonces una recta es paralela a sí misma por lo que las propiedades reflexivas y transitivas pertenecen a este tipo de paralelismo, creándose una relación de equivalencia en el conjunto de rectas. En el estudio de la geometría de incidencia , esta variante del paralelismo se utiliza en el plano afín .

• Paralelo a Clifford
• Colinealidad
• Líneas concurrentes
• Limitación del paralelismo
• Curva paralela
• Teorema de los ultraparalelos

• Heath, Thomas L. (1956), Los trece libros de los elementos de Euclides (2.ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.), Nueva York: Dover Publications

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Traducción autorizada de Heath más extensa investigación histórica y comentarios detallados a lo largo del texto.   

• Richards, Joan L. (1988), Visiones matemáticas: la búsqueda de la geometría en la Inglaterra victoriana , Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
• Wilson, James Maurice (1868), Geometría elemental (1.ª ed.), Londres: Macmillan and Co.
• Wylie, CR Jr. (1964), Fundamentos de geometría , McGraw–Hill

• Papadopoulos, Atanase; Théret, Guillaume (2014), La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert: presentación, traducción y comentarios, París: Colección Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard, ISBN 978-2-85367-266-5