Plano (matemáticas)

En matemáticas , un plano es un espacio bidimensional o superficie plana que se extiende indefinidamente. Un plano es el análogo bidimensional de un punto (dimensión cero), una línea (dimensión única) y el espacio tridimensional . Cuando se trabaja exclusivamente en el espacio euclidiano bidimensional , se utiliza el artículo definido, por lo que el plano euclidiano se refiere a todo el espacio.

Se pueden definir varias nociones de plano. El plano euclidiano sigue la geometría euclidiana y, en particular, el postulado de las paralelas . Se puede construir un plano proyectivo añadiendo "puntos en el infinito" donde se intersectarían dos líneas que de otro modo serían paralelas, de modo que cada par de líneas se intersecta exactamente en un punto. El plano elíptico se puede definir con más detalle añadiendo una métrica al plano proyectivo real. También se puede concebir un plano hiperbólico , que obedece a la geometría hiperbólica y tiene una curvatura negativa .

De manera abstracta, se puede olvidar toda la estructura excepto la topología, lo que produce el plano topológico, que es homeomorfo a un disco abierto . Al considerar el plano como un espacio afín se produce el plano afín , que carece de una noción de distancia pero conserva la noción de colinealidad . Por el contrario, al agregar más estructura, se puede considerar el plano como una variedad compleja unidimensional , llamada línea compleja .

Muchas tareas fundamentales en matemáticas, geometría , trigonometría , teoría de grafos y gráficos se realizan en un espacio bidimensional o plano . ^[1]

En matemáticas , un plano euclidiano es un espacio euclidiano de dimensión dos , denotado como . Es un espacio geométrico en el que se requieren dos números reales para determinar la posición de cada punto . Es un espacio afín , que incluye en particular el concepto de líneas paralelas . Tiene también propiedades métricas inducidas por una distancia , lo que permite definir círculos , y la medición de ángulos .${\displaystyle {\textbf {E}}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$

Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesianas elegido se denomina plano cartesiano .

El conjunto de pares ordenados de números reales (el plano de coordenadas reales ), equipado con el producto escalar , a menudo se denomina plano euclidiano o plano euclidiano estándar , ya que todo plano euclidiano es isomorfo a él.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

En la geometría euclidiana , un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende indefinidamente . Los planos euclidianos a menudo surgen como subespacios del espacio tridimensional . Un ejemplo prototípico es el de las paredes de una habitación, que se extienden infinitamente y se supone que tienen un espesor infinitesimal. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Si bien un par de números reales es suficiente para describir puntos en un plano, la relación con los puntos fuera del plano requiere una consideración especial para su inserción en el espacio ambiental .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

En matemáticas , un plano proyectivo es una estructura geométrica que extiende el concepto de plano . En el plano euclidiano ordinario, dos líneas se intersecan típicamente en un único punto, pero hay algunos pares de líneas (es decir, líneas paralelas) que no se intersecan. Un plano proyectivo puede considerarse como un plano ordinario equipado con "puntos en el infinito" adicionales donde se intersecan líneas paralelas. Por lo tanto, dos líneas distintas en un plano proyectivo se intersecan exactamente en un punto.

Los artistas del Renacimiento, al desarrollar las técnicas de dibujo en perspectiva , sentaron las bases para este tema matemático. El ejemplo arquetípico es el plano proyectivo real , también conocido como plano euclidiano extendido. ^[4] Este ejemplo, en formas ligeramente diferentes, es importante en geometría algebraica , topología y geometría proyectiva , donde puede denotarse de diversas formas como PG(2, R) ^, RP2 o P2 ₍ R), entre otras notaciones. Hay muchos otros planos proyectivos, tanto infinitos, como el plano proyectivo complejo , como finitos, como el plano de Fano .

Un plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional . No todos los planos proyectivos pueden ser insertados en espacios proyectivos tridimensionales; dicha inserción es consecuencia de una propiedad conocida como teorema de Desargues , que no comparten todos los planos proyectivos.

Además de su estructura geométrica habitual, con isomorfismos que son isometrías respecto del producto interno habitual, el plano puede ser visto en varios otros niveles de abstracción . Cada nivel de abstracción corresponde a una categoría específica .

En un extremo, se pueden descartar todos los conceptos geométricos y métricos para dejar el plano topológico , que puede considerarse como una lámina de goma infinita homotópicamente trivial idealizada, que conserva una noción de proximidad, pero no tiene distancias. El plano topológico tiene un concepto de trayectoria lineal, pero no el concepto de línea recta. El plano topológico, o su equivalente, el disco abierto, es el vecindario topológico básico utilizado para construir superficies (o 2-variedades) clasificadas en la topología de baja dimensión . Los isomorfismos del plano topológico son todos biyecciones continuas . El plano topológico es el contexto natural para la rama de la teoría de grafos que trata con grafos planares y resultados como el teorema de los cuatro colores .

El plano también puede considerarse como un espacio afín , cuyos isomorfismos son combinaciones de traslaciones y aplicaciones lineales no singulares. Desde este punto de vista no hay distancias, pero se conservan la colinealidad y las razones de las distancias en cualquier línea.

La geometría diferencial considera un plano como una variedad real bidimensional , un plano topológico que está provisto de una estructura diferencial . Nuevamente en este caso, no hay noción de distancia, pero sí hay un concepto de suavidad de las funciones, por ejemplo, una trayectoria diferenciable o suave (dependiendo del tipo de estructura diferencial aplicada). Los isomorfismos en este caso son biyecciones con el grado de diferenciabilidad elegido.

En sentido inverso a la abstracción, podemos aplicar una estructura de cuerpo compatible al plano geométrico, dando lugar al plano complejo y al área mayor de análisis complejo . El cuerpo complejo tiene sólo dos isomorfismos que dejan fija la recta real, la identidad y la conjugación .

De la misma manera que en el caso real, el plano también puede ser visto como la variedad compleja unidimensional (en términos de dimensión compleja , sobre los números complejos) más simple , a veces llamada la línea compleja . Sin embargo, este punto de vista contrasta marcadamente con el caso del plano como una variedad real bidimensional. Los isomorfismos son todos biyecciones conformes del plano complejo, pero las únicas posibilidades son las funciones que corresponden a la composición de una multiplicación por un número complejo y una traslación.

Además, la geometría euclidiana (que tiene curvatura cero en todas partes) no es la única geometría que puede tener el plano. Al plano se le puede dar una geometría esférica utilizando la proyección estereográfica . Esto se puede pensar como colocar una esfera tangente al plano (como una pelota en el suelo), quitar el punto superior y proyectar la esfera sobre el plano desde este punto. Esta es una de las proyecciones que se pueden utilizar para hacer un mapa plano de parte de la superficie de la Tierra. La geometría resultante tiene una curvatura positiva constante.

Alternativamente, al plano también se le puede dar una métrica que le dé una curvatura negativa constante, dando como resultado el plano hiperbólico . Esta última posibilidad encuentra una aplicación en la teoría de la relatividad especial en el caso simplificado en el que hay dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal. (El plano hiperbólico es una hipersuperficie temporal en el espacio tridimensional de Minkowski ).

La compactificación de un punto del plano es homeomorfa a una esfera (ver proyección estereográfica ); el disco abierto es homeomorfo a una esfera a la que le falta el "polo norte"; añadiendo ese punto se completa la esfera (compacta). El resultado de esta compactificación es una variedad a la que se denomina esfera de Riemann o línea proyectiva compleja . La proyección desde el plano euclidiano a una esfera sin un punto es un difeomorfismo e incluso una función conforme .

El plano en sí es homeomorfo (y difeomorfo) con respecto a un disco abierto . Para el plano hiperbólico, dicho difeomorfismo es conforme, pero no lo es para el plano euclidiano.

• Plano afín
• Semiplano
• Geometría hiperbólica