Orden de producto

{\displaystyle \mathbb {N}} — Diagrama de Hasse del orden de productos en × $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$

En matemáticas , dado un orden parcial y en un conjunto y , respectivamente, el orden producto ^[1]^[2]^[3]^[4] (también llamado orden por coordenadas ^[5]^[3]^[6] u orden por componentes ^[2]^[7] ) es un orden parcial en el producto cartesiano Dados dos pares y en declare que si y $\precisión$ $\sqsubseteq$ ${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización B}$ ${\estilo de visualización \leq}$ $A\times B.$ $\left(a_{1},b_{1}\right)$ $\left(a_{2},b_{2}\right)$ $A\times B,$ $\left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)$ $a_{1}\precisión a_{2}$ $b_{1}\sqsubseteq b_{2}.$

Otro ordenamiento posible es el orden lexicográfico . Es un ordenamiento total si tanto y están totalmente ordenados. Sin embargo, el orden producto de dos órdenes totales no es en general total; por ejemplo, los pares y son incomparables en el orden producto del ordenamiento consigo mismo. La combinación lexicográfica de dos órdenes totales es una extensión lineal de su orden producto, y por lo tanto el orden producto es una subrelación del orden lexicográfico. ^[3] $A\times B$ ${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización B}$ ${\estilo de visualización (0,1)}$ ${\estilo de visualización (1,0)}$ ${\estilo de visualización 0<1}$

El producto cartesiano con el orden del producto es el producto categórico en la categoría de conjuntos parcialmente ordenados con funciones monótonas . ^[7]

El orden del producto se generaliza a productos cartesianos arbitrarios (posiblemente infinitos). Supongamos que es un conjunto y para cada es un conjunto preordenado. Entonces, $A\neq \varnothing$ $a\en A,$ $\left(I_{a},\leq \right)$ El pedido anticipado del producto se define declarando para cualquieryenese $\prod_{a\in A}I_{a}$ $i_{\bullet}=\left(i_{a}\right)_{a\in A}$ $j_{\bullet}=\left(j_{a}\right)_{a\in A}$ $\prod_{a\in A}I_{a},$

i_{\bullet}\leq j_{\bullet}

si y solo si para cada

i_{a}\leq j_{a}

a\en A.

Si cada pedido es parcial, también lo es el pedido anticipado del producto. $\left(I_{a},\leq \right)$

Además, dado un conjunto, el orden del producto sobre el producto cartesiano se puede identificar con el orden de inclusión de los subconjuntos de ^[4]. ${\estilo de visualización A,}$ $\prod_{a\en A}\{0,1\}$ $A.$

La noción se aplica igualmente bien a los preórdenes . El orden del producto es también el producto categórico en una serie de categorías más ricas, incluidas las redes y las álgebras de Boole . ^[7]

Véase también

Producto directo de relaciones binarias
Ejemplos de pedidos parciales
Producto estrella , una forma diferente de combinar pedidos parciales
Órdenes sobre el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados
Suma ordinal de órdenes parciales
Espacio vectorial ordenado – Espacio vectorial con un orden parcial

Referencias

^ Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), "4.2 Orden de productos y orden lexicográfico", Basic Posets, World Scientific, págs. 64-78, ISBN 9789810235895
^ de Sudhir R. Ghorpade; Balmohan V. Limaye (2010). Un curso de cálculo y análisis multivariable . Springer. pág. 5. ISBN 978-1-4419-1621-1.
^ abc Egbert Harzheim (2006). Conjuntos ordenados . Springer. págs. 86-88. ISBN. 978-0-387-24222-4.
^ de Victor W. Marek (2009). Introducción a las matemáticas de la satisfacibilidad . CRC Press. p. 17. ISBN 978-1-4398-0174-1.
^ Davey y Priestley, Introducción a las redes y el orden (segunda edición), 2002, pág. 18
^ Alexander Shen; Nikolai Konstantinovich Vereshchagin (2002). Teoría básica de conjuntos . American Mathematical Soc. pág. 43. ISBN 978-0-8218-2731-4.
^ abc Paul Taylor (1999). Fundamentos prácticos de las matemáticas . Cambridge University Press. págs. 144-145 y 216. ISBN 978-0-521-63107-5.

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[1] Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), "4.2 Orden de productos y orden lexicográfico", Basic Posets, World Scientific, págs. 64-78, ISBN 9789810235895

[anal-2] Sudhir R. Ghorpade; Balmohan V. Limaye (2010). Un curso de cálculo y análisis multivariable . Springer. pág. 5. ISBN 978-1-4419-1621-1.

[Harzheim-3] Egbert Harzheim (2006). Conjuntos ordenados . Springer. págs. 86-88. ISBN. 978-0-387-24222-4.

[Marek-4] Victor W. Marek (2009). Introducción a las matemáticas de la satisfacibilidad . CRC Press. p. 17. ISBN 978-1-4398-0174-1.

[5] Davey y Priestley, Introducción a las redes y el orden (segunda edición), 2002, pág. 18

[6] Alexander Shen; Nikolai Konstantinovich Vereshchagin (2002). Teoría básica de conjuntos . American Mathematical Soc. pág. 43. ISBN 978-0-8218-2731-4.

[taylor-7] Paul Taylor (1999). Fundamentos prácticos de las matemáticas . Cambridge University Press. págs. 144-145 y 216. ISBN 978-0-521-63107-5.