Objetos iniciales y terminales

Objetos especiales utilizados en la teoría de categorías (matemáticas)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto inicial de una categoría C es un objeto I en C tal que para cada objeto X en C , existe precisamente un morfismo IX.

La noción dual es la de un objeto terminal (también llamado elemento terminal ): T es terminal si para cada objeto X en C existe exactamente un morfismo XT . Los objetos iniciales también se denominan coterminales o universales , y los objetos terminales también se denominan finales .

Si un objeto es tanto inicial como terminal, se denomina objeto cero u objeto nulo . Una categoría puntiaguda es aquella que tiene un objeto cero.

Un objeto inicial estricto I es uno para el cual todo morfismo en I es un isomorfismo .

Ejemplos

  • El conjunto vacío es el único objeto inicial en Set , la categoría de conjuntos . Todo conjunto de un elemento ( singleton ) es un objeto terminal en esta categoría; no hay objetos cero. De manera similar, el espacio vacío es el único objeto inicial en Top , la categoría de espacios topológicos y todo espacio de un punto es un objeto terminal en esta categoría.
  • En la categoría Rel de conjuntos y relaciones, el conjunto vacío es el único objeto inicial, el único objeto terminal y, por tanto, el único objeto cero.
Morfismos de conjuntos puntiagudos. La imagen también se aplica a objetos cero algebraicos

Propiedades

Existencia y singularidad

No es necesario que existan objetos iniciales y terminales en una categoría dada. Sin embargo, si existen, son esencialmente únicos. En concreto, si I 1 e I 2 son dos objetos iniciales diferentes, entonces existe un isomorfismo único entre ellos. Además, si I es un objeto inicial, entonces cualquier objeto isomorfo a I también es un objeto inicial. Lo mismo es válido para los objetos terminales.

Para categorías completas existe un teorema de existencia para objetos iniciales. Específicamente, una categoría completa ( localmente pequeña ) C tiene un objeto inicial si y solo si existe un conjunto I ( no una clase propia ) y una familia I - indexada ( K i ) de objetos de C tales que para cualquier objeto X de C , existe al menos un morfismo K iX para algún iI.

Formulaciones equivalentes

Los objetos terminales en una categoría C también pueden definirse como límites del diagrama vacío único 0C . Dado que la categoría vacía es vacuamente una categoría discreta , un objeto terminal puede considerarse como un producto vacío (un producto es de hecho el límite del diagrama discreto { X i } , en general). Dualmente, un objeto inicial es un colimite del diagrama vacío 0C y puede considerarse como un coproducto vacío o una suma categórica.

De ello se deduce que cualquier funtor que preserve los límites llevará objetos terminales a objetos terminales, y cualquier funtor que preserve los colímites llevará objetos iniciales a objetos iniciales. Por ejemplo, el objeto inicial en cualquier categoría concreta con objetos libres será el objeto libre generado por el conjunto vacío (ya que el funtor libre , al ser adjunto por la izquierda al funtor olvidadizo de Set , preserva los colímites).

Los objetos iniciales y terminales también pueden caracterizarse en términos de propiedades universales y funtores adjuntos . Sea 1 la categoría discreta con un único objeto (denotado por •), y sea U  : C1 el funtor único (constante) para 1 . Entonces

  • Un objeto inicial I en C es un morfismo universal de • a U . El funtor que envía • a I es adjunto izquierdo a U .
  • Un objeto terminal T en C es un morfismo universal de U a •. El funtor que envía • a T es adjunto derecho a U.

Relación con otras construcciones categóricas

Muchas construcciones naturales en la teoría de categorías pueden formularse en términos de encontrar un objeto inicial o terminal en una categoría adecuada.

  • Un morfismo universal de un objeto X a un funtor U puede definirse como un objeto inicial en la categoría de coma ( XU ) . Dualmente, un morfismo universal de U a X es un objeto terminal en ( UX ) .
  • El límite de un diagrama F es un objeto terminal en Cono( F ) , la categoría de conos a F . Dualmente, un colimite de F es un objeto inicial en la categoría de conos de F .
  • Una representación de un funtor F a un conjunto es un objeto inicial en la categoría de elementos de F.
  • La noción de funtor final (respectivamente, funtor inicial) es una generalización de la noción de objeto final (respectivamente, objeto inicial).

Otras propiedades

  • El monoide endomorfismo de un objeto inicial o terminal I es trivial: End( I ) = Hom( I , I ) = { id I } .
  • Si una categoría C tiene un objeto cero 0 , entonces para cualquier par de objetos X e Y en C , la composición única X → 0 → Y es un morfismo cero de X a Y .

Referencias

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