El contador de arena

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El contador de arena (Arenarius)

Autor	Arquímedes
Idioma	latín
Género	Googología , Astronomía

El cálculo de arena ( en griego : Ψαμμίτης , Psammites ) es una obra de Arquímedes , un matemático griego del siglo III a. C. , en la que se propuso determinar un límite superior para el número de granos de arena que caben en el universo . Para ello, Arquímedes tuvo que estimar el tamaño del universo según el modelo contemporáneo e inventar una forma de hablar de números extremadamente grandes.

La obra, también conocida en latín como Arenarius , tiene unas ocho páginas de extensión en traducción y está dirigida al rey siracusano Gelón II (hijo de Hierón II ). Se considera la obra más accesible de Arquímedes. ^[1]

En primer lugar, Arquímedes tuvo que inventar un sistema para nombrar números grandes . El sistema numérico en uso en ese momento podía expresar números hasta una miríada (μυριάς - 10.000), y al utilizar la palabra miríada en sí, uno puede extender esto inmediatamente para nombrar todos los números hasta una miríada de miríadas (10 ⁸ ). ^[3] Arquímedes llamó a los números hasta 10 ⁸ "primer orden" y llamó al propio 10 ⁸ la "unidad de segundo orden". Los múltiplos de esta unidad luego se convirtieron en el segundo orden, hasta esta unidad tomada una miríada-miríada de veces, 10 ⁸ ·10 ⁸ =10 ¹⁶ . Esta se convirtió en la "unidad de tercer orden", cuyos múltiplos eran el tercer orden, y así sucesivamente. Arquímedes continuó nombrando números de esta manera hasta una miríada de veces la unidad del orden 10 ⁸ , es decir, (10 ⁸ )^(10 ⁸ )

Después de haber hecho esto, Arquímedes llamó a los órdenes que había definido "órdenes del primer período", y llamó al último, , "unidad del segundo período". Luego construyó los órdenes del segundo período tomando múltiplos de esta unidad de una manera análoga a la forma en que se construyeron los órdenes del primer período. Continuando de esta manera, finalmente llegó a los órdenes del miríada-miríada período. El número más grande nombrado por Arquímedes fue el último número de este período, que es${\displaystyle (10^{8})^{(10^{8})}}$

${\displaystyle \left(\left(10^{8}\right)^{(10^{8})}\right)^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{16}}.}$

Otra forma de describir este número es un uno seguido de ( escala corta ) ochenta cuatrillones (80·10 ¹⁵ ) ceros.

El sistema de Arquímedes recuerda a un sistema de numeración posicional con base 10 ⁸ , lo cual es notable porque los antiguos griegos utilizaban un sistema muy simple para escribir números , que emplea 27 letras diferentes del alfabeto para las unidades del 1 al 9, las decenas del 10 al 90 y las centenas del 100 al 900.

Arquímedes también descubrió y demostró la ley de los exponentes , , necesaria para manipular potencias de 10.${\displaystyle 10^{a}10^{b}=10^{a+b}}$

Arquímedes estimó entonces un límite superior para el número de granos de arena necesarios para llenar el Universo. Para ello, utilizó el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos . El trabajo original de Aristarco se ha perdido. Sin embargo, este trabajo de Arquímedes es una de las pocas referencias supervivientes a su teoría ^[4] , según la cual el Sol permanece inmóvil mientras la Tierra orbita alrededor del Sol. En las propias palabras de Arquímedes:

Sus hipótesis [de Aristarco] son ​​que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, estando el Sol en el medio de la órbita, y que la esfera de estrellas fijas, situada aproximadamente en el mismo centro que el Sol, es tan grande que el círculo en el que supone que gira la Tierra guarda tal proporción con la distancia de las estrellas fijas como la que guarda el centro de la esfera con su superficie. ^[5]

La razón del gran tamaño de este modelo es que los griegos no podían observar la paralaje estelar con las técnicas disponibles, lo que implica que cualquier paralaje es extremadamente pequeño y por eso las estrellas deben estar colocadas a grandes distancias de la Tierra (asumiendo que el heliocentrismo es cierto).

Según Arquímedes, Aristarco no indicó a qué distancia se encontraban las estrellas de la Tierra, por lo que Arquímedes tuvo que hacer las siguientes suposiciones:

• El universo era esférico
• La relación entre el diámetro del Universo y el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol era igual a la relación entre el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol y el diámetro de la Tierra.

Esta suposición también se puede expresar diciendo que la paralaje estelar causado por el movimiento de la Tierra alrededor de su órbita es igual a la paralaje solar causado por el movimiento alrededor de la Tierra. Expresado en proporción:

${\displaystyle {\frac {\text{Diámetro del Universo}}{\text{Diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol}}}={\frac {\text{Diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol}}{\text{Diámetro de la Tierra}}}}$

Para obtener un límite superior, Arquímedes hizo las siguientes suposiciones sobre sus dimensiones:

• que el perímetro de la Tierra no era mayor que 300 miríadas de estadios (5,55·10 ⁵ km).
• que la Luna no era más grande que la Tierra y que el Sol no era más de treinta veces más grande que la Luna.
• que el diámetro angular del Sol, visto desde la Tierra, era mayor que 1/200 de un ángulo recto (π/400 radianes = 0,45 ° grados ).

Arquímedes concluyó entonces que el diámetro del Universo no era mayor que 10 ¹⁴ estadios (en unidades modernas, unos 2 años luz ), y que no se necesitarían más de 10 ⁶³ granos de arena para llenarlo. Con estas medidas, cada grano de arena en el experimento mental de Arquímedes habría tenido aproximadamente 19 μm (0,019 mm) de diámetro.

Arquímedes afirma que cuarenta semillas de amapola colocadas una al lado de la otra equivaldrían a un dáctilo griego (el ancho de un dedo), que medía aproximadamente 19 mm (3/4 de pulgada) de largo. Dado que el volumen procede como el cubo de una dimensión lineal ("Pues se ha demostrado que las esferas tienen una razón triplicada entre sí de sus diámetros"), entonces una esfera de un dáctilo de diámetro contendría (utilizando nuestro sistema numérico actual) 40 ³ , o 64.000 semillas de amapola.

Luego afirmó (sin pruebas) que cada semilla de amapola podía contener una miríada (10.000) de granos de arena. Multiplicando las dos cifras, propuso 640.000.000 como el número hipotético de granos de arena en una esfera de un dáctilo de diámetro.

Para facilitar los cálculos posteriores, redondeó 640 millones a mil millones, y señaló únicamente que el primer número es menor que el segundo y que, por lo tanto, el número de granos de arena calculado posteriormente superará el número real de granos. Recordemos que el objetivo meta de Arquímedes con este ensayo era mostrar cómo calcular con lo que antes se consideraban números imposibles de calcular, no simplemente calcular con precisión el número de granos de arena que cabrían en el universo.

Un estadio griego tenía una longitud de 600 pies griegos, y cada pie tenía 16 dáctilos de largo, por lo que había 9.600 dáctilos en un estadio. Arquímedes redondeó este número a 10.000 (una miríada) para facilitar los cálculos, y nuevamente señaló que el número resultante superaría el número real de granos de arena.

El cubo de 10.000 es un billón (10 ¹² ); y multiplicando mil millones (el número de granos de arena en una esfera dactilar) por un billón (el número de esferas dactilares en una esfera-estadio) se obtiene 10 ²¹ , el número de granos de arena en una esfera-estadio.

Arquímedes había estimado que el Universo Aristarquiano tenía un diámetro de 10 ¹⁴ estadios, por lo que habría (10 ¹⁴ ) ³ estadios-esferas en el universo, o 10 ⁴² . Multiplicando 10 ²¹ por 10 ⁴² se obtiene 10 ⁶³ , el número de granos de arena en el Universo Aristarquiano. ^[6]

Según la estimación de Arquímedes de una miríada (10.000) de granos de arena en una semilla de amapola; 64.000 semillas de amapola en una esfera de dáctilo; la longitud de un estadio como 10.000 dáctilos; y aceptando 19 mm como el ancho de un dáctilo, el diámetro del grano de arena típico de Arquímedes sería de 18,3 μm, lo que hoy llamaríamos un grano de limo . Actualmente, el grano de arena más pequeño se definiría como de 50 μm de diámetro.

Arquímedes realizó algunos experimentos y cálculos interesantes a lo largo del camino. Uno de ellos fue estimar el tamaño angular del Sol, visto desde la Tierra. El método de Arquímedes es especialmente interesante porque tiene en cuenta el tamaño finito de la pupila del ojo, ^[7] y, por lo tanto, puede ser el primer ejemplo conocido de experimentación en psicofísica , la rama de la psicología que se ocupa de la mecánica de la percepción humana , cuyo desarrollo se atribuye generalmente a Hermann von Helmholtz . Otro cálculo interesante explica la paralaje solar y las diferentes distancias entre el observador y el Sol, ya sea visto desde el centro de la Tierra o desde la superficie de la Tierra al amanecer. Este puede ser el primer cálculo conocido que trata sobre la paralaje solar. ^[1]

Hay algunos, rey Gelón, que piensan que la cantidad de arena es infinita en multitud; y por arena entiendo no sólo la que existe alrededor de Siracusa y el resto de Sicilia, sino también la que se encuentra en todas las regiones, tanto habitadas como deshabitadas. También hay algunos que, sin considerarla infinita, piensan que no se ha nombrado ningún número lo suficientemente grande como para superar su magnitud. Y es evidente que quienes sostienen esta opinión, si imaginaran una masa compuesta de arena en otros aspectos tan grande como la masa de la Tierra, incluidos todos los mares y las cavidades de la Tierra llenas hasta una altura igual a la de la más alta de las montañas, estarían mucho más lejos aún de reconocer que se puede expresar un número que exceda la multitud de la arena así tomada.

Pero trataré de mostrarte por medio de pruebas geométricas, que podrás seguir, que, de los números nombrados por mí y dados en la obra que envié a Zeuxippus, algunos exceden no sólo el número de la masa de arena igual en magnitud a la Tierra rellenada de la manera descrita, sino también el de la masa igual en magnitud al universo. ^[8]

—  Archimedis Syracusani Arenarius y Dimensio Circuli

• El contador de arena , de Gillian Bradshaw . Forge (2000), 348pp, ISBN 0-312-87581-9 . Se trata de una novela histórica sobre la vida y la obra de Arquímedes. 

• Texto original en griego
• El contador de arena (anotado)
• Traducción italiana comentada del Arenario, con notas sobre Arquímedes y la notación matemática griega y la unidad de medida. Archivo fuente del texto griego del Arenario (para LaTeX).
• Arquímedes, el contador de arena, de Ilan Vardi; incluye una versión literal en inglés del texto griego original