Numerario

El numerario (o numeraire ) es un estándar básico con el que se calcula el valor. En economía matemática, es una entidad económica comercializable en función de cuyo precio se expresan los precios relativos de todos los demás bienes comercializables. En una economía monetaria , una de las funciones del dinero es actuar como numerario, es decir, servir como unidad de cuenta y, por lo tanto, proporcionar un punto de referencia común con respecto al cual se puede medir el valor de diversos bienes y servicios.

El uso de un numerario, ya sea monetario o de algún bien consumible, facilita las comparaciones de valores cuando sólo son relevantes los precios relativos, como en la teoría del equilibrio general . Cuando el análisis económico se refiere a un bien en particular como numerario, se dice que todos los demás precios están normalizados por el precio de ese bien. Por ejemplo, si una unidad del bien g tiene el doble del valor de mercado de una unidad del numerario, entonces el precio (relativo) de g es 2. Dado que el valor de una unidad del numerario en relación con una unidad de sí mismo es 1, el precio del numerario siempre es 1.

En un mercado financiero con valores negociables, se puede utilizar un numerario para fijar el precio de los activos. Por ejemplo, supongamos que el precio en el momento t de $1 que se invirtió en el mercado monetario en el momento 0 es . El teorema fundamental de la fijación de precios de los activos dice que todos los activos fijados en función del numerario (en este caso, M ) son martingalas con respecto a una medida neutral al riesgo , por ejemplo . Es decir:${\estilo de visualización M(t)}$${\estilo de visualización S(t)}$${\estilo de visualización Q}$

${\displaystyle {\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]}$

Ahora, supongamos que se trata de otro activo comercializado estrictamente positivo (y, por lo tanto, una martingala cuando se cotiza en términos del mercado monetario). Entonces podemos definir una nueva medida de probabilidad mediante la derivada de Radon-Nikodym${\displaystyle N(t)>0}$${\displaystyle Q^{N}}$

${\displaystyle {\frac {dQ^{N}}{dQ}}={\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}={\frac {N(T)}{M(T)}}}$

Entonces se puede demostrar que es una martingala cuando se cotiza en términos del nuevo numerario :${\estilo de visualización S(t)}$${\displaystyle Q^{N}}$${\estilo de visualización N(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left[{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]\\&=E_{Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]/E_{Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}\\&={\frac {S(t)}{N(t)}}\end{aligned}}}$

Esta técnica tiene muchas aplicaciones importantes en los modelos de mercado de LIBOR y swaps , así como en los mercados de materias primas. Jamshidian (1989) la utilizó por primera vez en el contexto del modelo de Vasicek para tasas de interés con el fin de calcular los precios de las opciones sobre bonos. Geman, El Karoui y Rochet (1995) introdujeron el marco formal general para la técnica del cambio de numerario. Véase, por ejemplo, Brigo y Mercurio (2001) ^[1] para un conjunto de herramientas de cambio de numerario.

La determinación de un numerario adecuado se basa en varios modelos de precios financieros, como las opciones y ciertos activos. La identificación de un activo riesgoso como numerario tiene una correlación con la cantidad de activos subyacentes que se van a modelar. Los cambios subyacentes se modelan de la siguiente manera:

${\displaystyle Z_{i}:={\frac {X_{i}}{X_{0}}}}$

${\displaystyle X=(X_{0},X_{1},...,X_{n})\to Z=(1,Z_{1},...,Z_{n})}$

donde 1 define el numerario.

• Medida hacia adelante
• Índice de precios
• Unidad de cuenta

• Farshid Jamshidian (1989). "Una fórmula exacta para la fijación de precios de opciones sobre bonos". The Journal of Finance . 44 : 205–209. doi :10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x.
• Helyette Geman ; Nicole El Karoui ; JC Rochet (1995). "Cambios de numerario, cambios de medida de probabilidad y fijación de precios de opciones". Journal of Applied Probability . 32 (2): 443–458. doi :10.2307/3215299. JSTOR  3215299. S2CID  124199920.
• Damiano Brigo ; Fabio Mercurio (2006) [2001]. Modelos de tasas de interés: teoría y práctica con Smile, Inflación y crédito (2.ª ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Allingham, Michael (2008). "Numeraire". El nuevo diccionario Palgrave de economía . Palgrave Macmillan. págs. 1–2. doi :10.1057/978-1-349-95121-5_1514-2. ISBN 978-1-349-95121-5.