Integral no elemental

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En matemáticas , una antiderivada no elemental de una función elemental dada es una antiderivada (o integral indefinida) que, en sí misma, no es una función elemental (es decir, una función construida a partir de un número finito de cocientes de funciones constantes , algebraicas , exponenciales , trigonométricas y logarítmicas utilizando operaciones de campo ). ^[1] Un teorema de Liouville en 1835 proporcionó la primera prueba de que existen antiderivadas no elementales. ^[2] Este teorema también proporciona una base para el algoritmo de Risch para determinar (con dificultad) qué funciones elementales tienen antiderivadas elementales.

Algunos ejemplos de funciones con antiderivadas no elementales incluyen:

• ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{4}}}}$^[1] ( integral elíptica )
• ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$^[3] ( integral logarítmica )
• ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$^[1] ( función de error , integral gaussiana )
• ${\displaystyle \sin(x^{2})}$y ( integral de Fresnel )$Estilo de visualización: cos(x^{2})$
• ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\nombre del operador {sinc} (x)}$( integral seno , integral de Dirichlet )
• ${\displaystyle {\frac {e^{-x}}{x}}}$( integral exponencial )
• ${\displaystyle e^{e^{x}}\,}$(en términos de la integral exponencial)
• ${\displaystyle \ln(\ln x)\,}$(en términos de la integral logarítmica)
• $Estilo de visualización {x^{c-1}}e^{-x}}$( función gamma incompleta ); porque la antiderivada puede escribirse en términos de la integral exponencial; porque en términos de la función de error; para cualquier entero positivo, la antiderivada es elemental.${\displaystyle c=0,}$${\displaystyle c={\frac {1}{2}},}$${\estilo de visualización c=}$

A algunas funciones antiderivadas no elementales comunes se les asignan nombres, que definen las llamadas funciones especiales , y las fórmulas que incluyen estas nuevas funciones pueden expresar una clase más grande de antiderivadas no elementales. Los ejemplos anteriores nombran las funciones especiales correspondientes entre paréntesis.

Las antiderivadas no elementales a menudo se pueden evaluar utilizando series de Taylor . Incluso si una función no tiene antiderivada elemental, su serie de Taylor siempre se puede integrar término por término como un polinomio , dando como resultado la función antiderivada como una serie de Taylor con el mismo radio de convergencia . Sin embargo, incluso si el integrando tiene una serie de Taylor convergente, su secuencia de coeficientes a menudo no tiene una fórmula elemental y debe evaluarse término por término, con la misma limitación para la serie integral de Taylor.

Incluso si no es posible evaluar una integral indefinida (antiderivada) en términos elementales, siempre se puede aproximar una integral definida correspondiente mediante integración numérica . También hay casos en los que no hay una antiderivada elemental, pero se pueden evaluar integrales definidas específicas (a menudo integrales impropias sobre intervalos no acotados ) en términos elementales: la más famosa es la integral gaussiana. ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$

La clausura bajo integración del conjunto de las funciones elementales es el conjunto de las funciones de Liouvillian .

• Función algebraica  – Función matemática
• Expresión de forma cerrada  : fórmula matemática que implica un conjunto determinado de operaciones.
• Derivada  – Tasa instantánea de cambio (matemáticas)
• Álgebra diferencial  – Estudio algebraico de ecuaciones diferenciales
• Listas de integrales
• Teorema de Liouville (álgebra diferencial)  : dice cuándo las antiderivadas de funciones elementales pueden expresarse como funciones elementales.
• Teorema de Richardson  – Indecidibilidad de la igualdad de números reales
• Integración simbólica  – Cálculo de una antiderivada
• Problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski  - Problema matemático
• Función trascendental  : Función analítica que no satisface una ecuación polinómica.

• Integración de funciones no elementales, SOS MATHematics.com; consultado el 7 de diciembre de 2012.

• Williams, Dana P., NONELEMENTARY ANTIDERIVATIVES, 1 de diciembre de 1993. Consultado el 24 de enero de 2014.