Mareas no lineales

Las mareas no lineales se generan por distorsiones hidrodinámicas de las mareas . Se dice que una ola de marea es no lineal cuando su forma se desvía de una ola sinusoidal pura. En términos matemáticos, la ola debe su no linealidad a los términos de convección y fricción no lineales en las ecuaciones que la gobiernan. Estos se vuelven más importantes en regiones de aguas poco profundas, como en los estuarios . Las mareas no lineales se estudian en los campos de la morfodinámica costera , la ingeniería costera y la oceanografía física . La no linealidad de las mareas tiene implicaciones importantes para el transporte de sedimentos .

Desde una perspectiva matemática, la no linealidad de las mareas se origina a partir de los términos no lineales presentes en las ecuaciones de Navier-Stokes . Para analizar las mareas, es más práctico considerar las ecuaciones de aguas someras promediadas por profundidad : ^[1] Aquí, y son la velocidad de flujo zonal ( ) y meridional ( ) respectivamente, es la aceleración gravitacional , es la densidad, y son los componentes del arrastre del fondo en la dirección - y - respectivamente, es la profundidad promedio del agua y es la elevación de la superficie del agua con respecto al nivel medio del agua. La primera de las tres ecuaciones se conoce como la ecuación de continuidad, mientras que las otras representan el equilibrio del momento en la dirección - y - respectivamente.$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}[(D_{0}+\eta )u]+{\frac {\partial }{\partial y}}[(D_{0}+\eta )v]=0,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-{\frac {\tau _{b,x}}{\rho (D_{0}+\eta )}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-{\frac {\tau _{b,y}}{\rho (D_{0}+\eta )}}.}$$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle \tau_{b,x}}$${\displaystyle \tau_{b,y}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización D_{0}}$${\estilo de visualización \eta}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

Estas ecuaciones se derivan de los supuestos de que el agua es incompresible, que el agua no cruza el fondo ni la superficie y que las variaciones de presión por encima de la superficie son insignificantes. Esto último permite que los términos de gradiente de presión en las ecuaciones estándar de Navier-Stokes se reemplacen por gradientes en . Además, los términos de Coriolis y de mezcla molecular se omiten en las ecuaciones anteriores ya que son relativamente pequeños en la escala temporal y espacial de las mareas en aguas poco profundas.${\estilo de visualización \eta}$

Para fines didácticos, el resto de este artículo solo considera un flujo unidimensional con una onda de marea que se propaga en la dirección positiva. Esto implica que cero y todas las cuantidades son homogéneas en la dirección . Por lo tanto, todos los términos son iguales a cero y la última de las ecuaciones anteriores es arbitraria.${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización v=0}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle \parcial /\parcial y}$

En este caso unidimensional, las mareas no lineales son inducidas por tres términos no lineales. Es decir, el término de divergencia , el término de advección y el término de fricción . Este último es no lineal de dos maneras. En primer lugar, porque es (casi) cuadrático en . En segundo lugar, porque en el denominador. El efecto del término de advección y divergencia, y el término de fricción se analizan por separado. Además, los efectos no lineales de la topografía de la cuenca , como el área intermareal y la curvatura del flujo pueden inducir tipos específicos de no linealidad. Además, el flujo medio, por ejemplo, por la descarga del río, puede alterar los efectos de los procesos de deformación de las mareas.${\displaystyle \parcial (\eta u)/\parcial x}$${\displaystyle u\;\parcial u/\parcial x}$${\displaystyle \tau _{b}/(D_{0}+\eta )}$${\displaystyle \tau_{b}}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización \eta}$

Una ola de marea a menudo se puede describir como una suma de ondas armónicas . La marea principal (primer armónico) se refiere a la ola que es inducida por una fuerza de marea, por ejemplo, la marea diurna o semidiurna . A esta última a menudo se la denomina marea y se utilizará a lo largo del resto de este artículo como la marea principal. Los armónicos superiores en una señal de marea son generados por efectos no lineales. Por lo tanto, el análisis armónico se utiliza como una herramienta para comprender el efecto de la deformación no lineal. Se podría decir que la deformación disipa energía de la marea principal a sus armónicos superiores. En aras de la coherencia, los armónicos superiores que tienen una frecuencia que es un múltiplo par o impar de la marea principal pueden denominarse armónicos superiores pares o impares respectivamente.$Estilo de visualización M_{2}$

Para entender la no linealidad inducida por el término de divergencia , se podría considerar la velocidad de propagación de una ola en aguas poco profundas. ^[2] Despreciando la fricción, la velocidad de la ola se expresa como: ^[3]

$${\displaystyle c_{0}\approx {\sqrt {g(D_{0}+\eta )}}}$$

Si comparamos los niveles de aguas bajas (LW) con los de aguas altas (HW) ( ), la parte más baja (LW) de una ola en aguas poco profundas se desplaza más lentamente que la cresta (HW). Como resultado, la cresta "alcanza" al valle y el maremoto se vuelve asimétrico. ^[4]${\displaystyle \eta _{LW}<\eta _{HW}}$

Para comprender la no linealidad inducida por el término de advección, se podría considerar la amplitud de la corriente de marea. ^[2] Despreciando la fricción, la amplitud de la corriente de marea se expresa como:

$${\displaystyle U_{0}\approx c_{0}{\frac {\eta }{D_{0}}}}$$

Cuando la amplitud de la marea no es pequeña en comparación con la profundidad del agua, es decir, es significativa, la velocidad del flujo no es despreciable con respecto a . Por lo tanto, la velocidad de propagación de la ola en la cresta es mientras que en el valle, la velocidad de la ola es . De manera similar a la deformación inducida por el término de divergencia, esto da como resultado que una cresta "alcance" al valle de modo que la ola de marea se vuelve asimétrica.$estilo de visualización {\eta /D_{0}}$${\estilo de visualización u}$$estilo de visualización c_{0}}$$estilo de visualización c_{0}+u$$estilo de visualización c_{0}-u$

Tanto en el caso de la divergencia no lineal como en el de la advección, la deformación es asimétrica, lo que implica que se generan armónicos aún más altos, que son asimétricos alrededor del nodo de la marea principal.

Las ecuaciones linealizadas para aguas someras se basan en el supuesto de que la amplitud de las variaciones del nivel del mar es mucho menor que la profundidad total. ^[1] Este supuesto no se cumple necesariamente en regiones de aguas someras. Al descuidar la fricción, las ecuaciones no lineales unidimensionales para aguas someras se leen: Aquí está la profundidad del agua no perturbada, que se supone que es constante. Estas ecuaciones contienen tres términos no lineales, de los cuales dos se originan a partir del flujo de masa en la ecuación de continuidad (denotado con subíndice ), y uno se origina a partir de la advección incorporada en la ecuación de momento (denotado con subíndice ). Para analizar este conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales , las ecuaciones gobernantes se pueden transformar en una forma adimensional . Esto se hace con base en el supuesto de que y se describen mediante una onda de agua que se propaga, con una amplitud de nivel de agua , una frecuencia en radianes y un número de onda . Con base en esto, se aplican los siguientes principios de transformación: Las variables adimensionales, denotadas por las tildes, se multiplican con una escala de longitud, tiempo o velocidad apropiada de la variable dimensional. Al introducir las variables adimensionales, las ecuaciones que rigen el proceso son las siguientes: La adimensionalización muestra que los términos no lineales son muy pequeños si la profundidad media del agua es mucho mayor que las variaciones del nivel del agua, es decir, es pequeña. En el caso de que , se puede utilizar un análisis de perturbación lineal para analizar más a fondo este conjunto de ecuaciones. Este análisis supone pequeñas perturbaciones en torno a un estado medio de : Aquí .$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial \eta }{\partial x}}} _{i}+(D_{0}+\underbrace {\eta ){\frac {\partial u}{\partial x}}} _{i}=0,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial u}{\partial x}}} _{ii}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}.}$$${\estilo de visualización D_{0}}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización ii}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización \eta}$ $Estilo de visualización H_{0}$ ${\estilo de visualización \omega}$ ${\estilo de visualización k}$$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}x={\frac {1}{k}}{\tilde {x}}\\\eta =H_{0}{\tilde {\eta }}\\t={\frac {1}{\omega }}{\tilde {t}}\\u=H_{0}{\sqrt {\frac {g}{D_{0}}}}{\tilde {u}}\end{array}}\right.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}+(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }}){\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}}$$${\textstyle {\frac {H_{0}}{D_{0}}}}$${\displaystyle H_{0}/D_{0}<<1}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$
$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}={\tilde {\eta }}_{0}+\epsilon {\tilde {\eta }}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\\{\tilde {u}}={\tilde {u}}_{0}+\epsilon {\tilde {u}}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\end{array}}\right.}$$
${\displaystyle \epsilon =H_{0}/D_{0}}$

Al insertar esta serie lineal en las ecuaciones gobernantes adimensionales, los términos de orden cero se rigen por: Esta es una ecuación de onda lineal con una solución simple de la forma:$${\displaystyle {\frac {\partial {{\tilde {\eta }}_{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\\{\tilde {u}}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\end{array}}\right.}$$
Reuniendo los términos y dividiendo por obtenemos:${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {\eta }}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}}$$Quedan tres términos no lineales. Sin embargo, los términos no lineales solo involucran términos de , para los cuales se conocen las soluciones. Por lo tanto, se pueden calcular. Posteriormente, tomando la derivada de la ecuación superior y restando la derivada de la ecuación inferior se obtiene una única ecuación de onda:${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\tilde {t}}}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}=-3\cos(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))}$$

Esta ecuación diferencial parcial no homogénea lineal , obedece a la siguiente solución particulada:

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=-{\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\\{\tilde {u}}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=-{\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\end{array}}\right.}$$

Volviendo a la solución dimensional para la elevación de la superficie del mar:

$${\displaystyle \eta =H_{0}\cos(kx-\omega t)-{\frac {3}{4}}{\frac {H_{0}^{2}kx}{D_{0}}}\sin(2(kx-\omega t))}$$

Esta solución es válida para una perturbación de primer orden. Los términos no lineales son responsables de crear una señal armónica más alta con el doble de frecuencia que la marea principal. Además, el término armónico más alto escala con , y . Por lo tanto, la forma de la onda se desviará cada vez más de su forma original cuando se propague en la dirección , para un rango de marea relativamente grande y para longitudes de onda más cortas. Al considerar una marea principal común , los términos no lineales en la ecuación conducen a la generación del armónico. Al considerar términos de orden superior , también se encontrarían armónicos más altos.${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{0}/D_{0}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M2}$${\displaystyle M_{4}}$${\displaystyle \epsilon }$

El término de fricción en las ecuaciones de aguas poco profundas es no lineal tanto en la velocidad como en la profundidad del agua.

Para entender esto último, se puede inferir del término que la fricción es más fuerte en los niveles de agua más bajos. Por lo tanto, la cresta "alcanza" a la depresión porque experimenta menos fricción para frenarla. De manera similar a la no linealidad inducida por el término de divergencia y advección, esto causa un maremoto asimétrico.${\displaystyle \tau _{b}/(D_{0}+\eta )}$

Para entender el efecto no lineal de la velocidad, se debe considerar que la tensión inferior a menudo se parametriza cuadráticamente: Aquí está el coeficiente de arrastre , que a menudo se supone que es constante ( ).$${\displaystyle \tau _{b}=\rho C_{d}u|u|}$$${\displaystyle C_{d}}$${\displaystyle C_{d}=0.0025}$

Dos veces por ciclo de marea, en el pico de crecida y en el pico de reflujo, se alcanza un máximo, . Sin embargo, el signo de es opuesto para estos dos momentos. Causalmente, el flujo se altera simétricamente alrededor del nodo de la ola. Esto lleva a la conclusión de que esta no linealidad da como resultado armónicos superiores impares, que son simétricos alrededor del nodo de la marea principal.${\displaystyle |u|}$${\displaystyle u|u|}$

La parametrización de contiene el producto del vector de velocidad por su magnitud. En una ubicación fija, se considera una marea principal con una velocidad de flujo:${\displaystyle \tau _{b}}$

$${\displaystyle u=U_{0}cos(\omega t)}$$

Aquí, es la amplitud de la velocidad del flujo y es la frecuencia angular. Para investigar el efecto de la fricción del fondo sobre la velocidad, la parametrización de la fricción se puede desarrollar en una serie de Fourier :${\displaystyle U_{0}}$${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \tau _{b}=\rho C_{d}U_{0}^{2}\left({\frac {2}{\pi }}\cos(\omega t)+{\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{a}{\frac {\left(-1\right)^{n}}{1-4n^{2}}}(\cos \left(\omega t(2n+1))+\cos(\omega t(2n-1))\right)\right)=\rho C_{d}U_{0}^{2}({\frac {8}{3\pi }}cos(\omega t)+{\frac {8}{15\pi }}cos(3\omega t)+...)}$$

Esto muestra que se puede describir como una serie de Fourier que contiene solo múltiplos impares de la marea principal con frecuencia . Por lo tanto, la fuerza de fricción causa una disipación de energía de la marea principal hacia armónicos más altos. En el caso bidimensional, también son posibles los armónicos pares. ^[5] La ecuación anterior para implica que la magnitud de la fricción es proporcional a la amplitud de la velocidad . Lo que significa que las corrientes más fuertes experimentan más fricción y, por lo tanto, más deformación de la marea. En aguas poco profundas, se requieren corrientes más altas para adaptarse al cambio de elevación de la superficie del mar, lo que causa una mayor disipación de energía hacia los armónicos impares más altos de la marea principal.${\displaystyle \tau _{b}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \tau _{b}}$${\displaystyle U_{0}^{2}}$

Aunque no es muy precisa, se puede utilizar una parametrización lineal de la tensión inferior: ^[6]

${\displaystyle \tau _{b}=\rho \;{\hat {r}}u}$

Aquí hay un factor de fricción que representa el primer componente de Fourier de la parametrización cuadrática más exacta. Despreciando el término de convección y usando la parametrización lineal en el término de fricción, las ecuaciones gobernantes adimensionales se leen: A pesar de la parametrización lineal de la tensión del fondo, el término de fricción sigue siendo no lineal. Esto se debe a la profundidad del agua dependiente del tiempo en su denominador. De manera similar al análisis del término de convección no lineal, se puede usar un análisis de perturbación lineal para analizar la no linealidad de la fricción. Las ecuaciones se dan como: Tomando la derivada de la ecuación superior y restando la derivada de la ecuación inferior, se pueden eliminar los términos. Llamando , esto produce una única ecuación diferencial parcial de segundo orden en : Para resolver esto, se requieren condiciones de contorno. Estas se pueden formular como Las condiciones de contorno se formulan en base a una onda de coseno puro que ingresa a un dominio con longitud . El límite ( ) de este dominio es impermeable al agua. Para resolver la ecuación diferencial parcial, se puede usar un método de separación de variables . Se supone que . Una solución que obedece la ecuación diferencial parcial y las condiciones de contorno, se lee: Aquí, .${\displaystyle {\hat {r}}}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}-{\frac {{\hat {r}}{\tilde {u}}}{\omega D_{0}(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }})}}}$$${\displaystyle D_{0}+\eta }$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\eta _{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial u_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial \eta _{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {{\hat {r}}u_{0}}{\omega D_{0}}}}$$${\displaystyle {\tilde {t}}}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle u_{0}}$${\textstyle {\frac {\hat {r}}{\omega D_{0}}}=\lambda }$${\displaystyle \eta _{0}}$$${\displaystyle -\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}+\lambda {\frac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}\right)\eta _{0}=0}$$$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\eta _{0}(0,{\tilde {t}})=\cos({\tilde {t}})\\{\frac {\partial \eta _{0}}{\partial {\tilde {x}}}}(kL,{\tilde {t}})=0\end{array}}\right.}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle x=L}$${\textstyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\mathfrak {Re}}({\hat {\eta }}_{0}({\tilde {x}})e^{-it})}$$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\hat {\eta }}_{0}({\tilde {x}})={\frac {\cos(\mu ({\tilde {x}}-kL))}{\cos({\mu kL})}}\\{\hat {u}}_{0}({\tilde {x}})=-i{\frac {\sin(\mu ({\tilde {x}}-kL))}{\cos({\mu kL})}}\end{array}}\right.}$$${\displaystyle \mu ={\sqrt {1+i\lambda }}}$

De manera similar, las ecuaciones se pueden determinar: Aquí el término de fricción se desarrolló en una serie de Taylor , lo que dio como resultado dos términos de fricción, uno de los cuales no es lineal. El término de fricción no lineal contiene una multiplicación de dos términos, que muestran un comportamiento ondulatorio. Las partes reales de y se dan como: Aquí denotan un conjugado complejo. Insertando estas identidades en el término de fricción no lineal, esto se convierte en:${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\eta _{1}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial \eta _{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\frac {{\hat {r}}u_{1}}{\omega D_{0}}}={\frac {{\hat {r}}u_{0}\eta _{0}}{\omega D_{0}}}}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})}$${\displaystyle u_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})}$$${\displaystyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {1}{2}}{\hat {\eta }}_{0}e^{-it}+{\frac {1}{2}}{\hat {\eta }}_{0}^{*}e^{it}}$$$${\displaystyle u_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {1}{2}}{\hat {u}}_{0}e^{-it}+{\frac {1}{2}}{\hat {u}}_{0}^{*}e^{it}}$$${\displaystyle *}$

$${\displaystyle {\frac {{\hat {r}}u_{0}\eta _{0}}{\omega D_{0}}}={\frac {\hat {r}}{4\omega D_{0}}}({\hat {u}}_{0}^{*}{\hat {\eta }}_{0}+{\hat {u}}_{0}{\hat {\eta }}_{0}^{*})+{\frac {\hat {r}}{4\omega D_{0}}}({\hat {u}}_{0}{\hat {\eta }}_{0}e^{-2it}+{\hat {u}}_{0}^{*}{\hat {\eta }}_{0}^{*}e^{2it})}$$La ecuación anterior sugiere que la solución de partículas de los términos de primer orden obedece a una solución de partículas con un flujo residual independiente del tiempo (cantidades denotadas con subíndice ) y un armónico más alto con el doble de la frecuencia de la marea principal, por ejemplo, si la marea principal tiene una frecuencia, la doble linealidad en la fricción generará un componente. El componente de flujo residual representa la deriva de Stokes . La fricción causa velocidades de flujo más altas en la ola de pleamar que en la de bajamar, lo que hace que las parcelas de agua se muevan en la dirección de la propagación de la ola. Cuando se consideran términos de orden superior en el análisis de perturbaciones, también se generarán armónicos aún más altos.${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{4}}$

En un estuario poco profundo, los términos no lineales juegan un papel importante y pueden causar asimetría de marea. Esto se puede entender intuitivamente al considerar que si la profundidad del agua es menor, la fricción ralentiza más la ola de marea. Para un estuario con un área intermareal pequeña (caso i), la profundidad media del agua generalmente aumenta durante la marea creciente. Por lo tanto, la cresta de la ola de marea experimenta menos fricción para frenarla y alcanza el valle. Esto causa asimetría de marea con una marea ascendente relativamente rápida. Para un estuario con mucho área intermareal (caso ii), la profundidad del agua en el canal principal también aumenta durante la marea ascendente. Sin embargo, debido al área intermareal, la profundidad media del agua en general disminuye. Por lo tanto, el valle de la ola de marea experimenta relativamente poca fricción que la frene y alcanza a la cresta. Esto causa asimetría de marea con una marea ascendente relativamente lenta. Para un estuario dominado por la fricción, la fase de inundación corresponde a la marea ascendente y la fase de reflujo corresponde a la marea descendente. Por lo tanto, los casos (i) y (ii) corresponden a una marea dominada por una inundación y un reflujo respectivamente.

Para encontrar una expresión matemática que permita determinar el tipo de asimetría en un estuario, se debe considerar la velocidad de las olas. Tras un análisis de perturbación no lineal, ^[7] la velocidad de las olas dependiente del tiempo para un estuario convergente se expresa como: ^[8]

$${\displaystyle c(t)\sim {\frac {h(t)}{b(t)^{2}}}\approx {\frac {\langle h\rangle [1+(\eta /H_{0})(H_{0}/\langle h\rangle )]}{\langle b\rangle ^{1/2}[1+(\eta /H_{0})(\Delta b/\langle b\rangle )]^{1/2}}}}$$

Con la profundidad del canal, el ancho del estuario y el lado derecho, se obtiene una descomposición de estas cantidades en sus promedios de marea (indicados por ) y su desviación con respecto a ellos. Mediante una expansión de Taylor de primer orden, esto se puede simplificar a:${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle b(t)}$${\displaystyle \langle \rangle }$

$${\displaystyle c\sim {\frac {\langle h\rangle }{\langle b\rangle ^{1/2}}}[1+\gamma (\eta /H_{0})]}$$

Aquí:

$${\displaystyle \gamma ={\frac {H_{0}}{\langle h\rangle }}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta b}{\langle b\rangle }}}$$

Este parámetro representa la asimetría de la marea. El caso analizado (i), es decir, marea de ascenso rápido, corresponde a , mientras que el caso (ii), es decir, marea de ascenso lento, corresponde a . Las simulaciones numéricas no lineales de Friedrichs y Aubrey ^[9] reproducen una relación similar para .${\displaystyle \gamma >0}$${\displaystyle \gamma <0}$${\displaystyle \gamma }$

Consideremos un flujo de marea inducido por una fuerza de marea en la dirección x, como en la figura. Lejos de la costa, el flujo será solo en la dirección x. Dado que en la costa el agua no puede fluir transversalmente, las líneas de corriente son paralelas a la costa. Por lo tanto, el flujo se curva alrededor de la costa. La fuerza centrípeta para adaptarse a este cambio en el presupuesto de momento es el gradiente de presión perpendicular a una línea de corriente. Esto es inducido por un gradiente en la altura del nivel del mar. ^[10] Análogos a la fuerza de gravedad que mantiene a los planetas en su órbita, el gradiente en la altura del nivel del mar para una curvatura de línea de corriente con radio se da como:${\displaystyle r}$

$${\displaystyle g{\frac {\partial \eta }{\partial r}}={\frac {u^{2}}{r}}}$$

En el caso de una costa convexa, esto corresponde a una altura del nivel del agua decreciente al acercarse a la costa. En el caso de una costa cóncava, esto es opuesto, de modo que la altura del nivel del mar aumenta al acercarse a la costa. Este patrón es el mismo cuando la marea invierte la corriente. Por lo tanto, se observa que la curvatura del flujo baja o sube la altura del nivel del agua dos veces por ciclo de marea. Por lo tanto, agrega un componente de marea con una frecuencia dos veces mayor que la del componente principal. Este armónico más alto es indicativo de no linealidad, pero esto también se observa en el término cuadrático en la expresión anterior.

Un caudal medio, por ejemplo el caudal de un río, puede alterar los efectos no lineales. Si consideramos la entrada de un río a un estuario, el caudal del río provocará una disminución de las velocidades del caudal de inundación, mientras que aumentará las velocidades del caudal de reflujo. Dado que la fricción escala cuadráticamente con las velocidades del caudal, el aumento de la fricción es mayor para las velocidades del caudal de reflujo que la disminución para las velocidades del caudal de inundación. Por lo tanto, se crea un armónico más alto con el doble de frecuencia que la marea principal. Cuando el caudal medio es mayor que la amplitud de la corriente de marea, esto no conduciría a ninguna inversión de la dirección del caudal. Por lo tanto, se reduciría la generación de los armónicos superiores impares por la no linealidad de la fricción. Además, un aumento en la descarga del caudal medio puede provocar un aumento en la profundidad media del agua y, por lo tanto, reducir la importancia relativa de la deformación no lineal. ^[11]

El estuario del Severn es relativamente poco profundo y su amplitud de mareas es relativamente grande. Por lo tanto, la deformación no lineal de las mareas es notable en este estuario. Utilizando los datos de GESLA [1] de la altura del nivel del agua en la estación de medición cerca de Avonmouth, se puede confirmar la presencia de mareas no lineales. Utilizando un algoritmo de ajuste armónico simple con una ventana de tiempo móvil de 25 horas, se puede encontrar la amplitud del nivel del agua de diferentes componentes de marea. Para 2011, esto se ha hecho para los componentes , y . En la figura, la amplitud del nivel del agua de los armónicos y , y respectivamente , se grafican contra la amplitud del nivel del agua de la marea principal, . Se puede observar que los armónicos más altos, generados por la no linealidad, son significativos con respecto a la marea principal.${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{4}}$${\displaystyle M_{6}}$${\displaystyle M_{4}}$${\displaystyle M_{6}}$${\displaystyle H_{M4}}$${\displaystyle H_{M6}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle H_{M2}}$

La correlación entre y parece algo cuadrática. Esta dependencia cuadrática podría esperarse del análisis matemático de este artículo. En primer lugar, el análisis de la divergencia y la advección da como resultado una expresión que, para un , implica:${\displaystyle H_{M2}}$${\displaystyle H_{M4}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle H_{M4}\propto H_{M2}^{2}}$

En segundo lugar, el análisis de la no linealidad de la fricción en la profundidad del agua produce un segundo armónico más alto. Para el análisis matemático, se supuso una parametrización lineal de la tensión del fondo. Sin embargo, la tensión del fondo en realidad escala casi cuadráticamente con la velocidad del flujo. Esto se refleja en la relación cuadrática entre y .${\displaystyle H_{M2}}$${\displaystyle H_{M4}}$

En el gráfico, para un rango de marea pequeño, la correlación entre y es aproximadamente directamente proporcional. Esta relación entre la marea principal y su tercer armónico se desprende de la no linealidad de la fricción en la velocidad, que se refleja en la expresión derivada. Para rangos de marea mayores, comienza a disminuir. Este comportamiento sigue sin resolverse con la teoría que se aborda en este artículo.${\displaystyle H_{M2}}$${\displaystyle H_{M6}}$${\displaystyle H_{M6}}$

La deformación de las mareas puede tener una importancia significativa en el transporte de sedimentos . ^[15] Para analizar esto, es obvio distinguir entre la dinámica de los sedimentos en suspensión y los sedimentos de fondo . El transporte de sedimentos en suspensión (en una dimensión) se puede cuantificar en general como: ^[16]

$${\displaystyle q_{s}=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }(uc-K_{b}{\frac {\partial c}{\partial z}})dz}$$

Aquí se muestra el flujo de sedimentos integrado en profundidad, la concentración de sedimentos, el coeficiente de difusividad horizontal y la altura de referencia sobre la superficie . El transporte de carga de fondo se puede estimar mediante la siguiente definición heurística:${\displaystyle q_{s}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle K_{b}}$${\displaystyle a_{r}}$${\displaystyle z_{b}}$

$${\displaystyle q_{b}=\beta u^{3}}$$Aquí se muestra un coeficiente de erosión.${\displaystyle \beta }$

La velocidad de flujo zonal se puede representar como una serie de Fourier truncada . Al considerar un flujo de marea compuesto únicamente por constituyentes y , la corriente en una ubicación específica se da como: Se requiere una descripción de la evolución local de la concentración de sedimentos suspendidos para obtener una expresión para el flujo de sedimentos suspendidos promediado por mareas. El cambio local de la concentración de sedimentos suspendidos integrada en profundidad ( ) está gobernado por: ^[17]${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{4}}$$${\displaystyle u(t)=U_{M2}\cos(\omega _{M2}t-\phi _{M2})+U_{M4}\cos(\omega _{M4}t-\phi _{M4}).}$$${\displaystyle C=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }cdz}$$${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}=\alpha u^{2}-{\frac {W_{s}^{2}}{K_{v}}}C}$$

Aquí se muestra la velocidad de caída, es el coeficiente de difusividad vertical y es un coeficiente de erosión. En este modelo se descuida la advección. Teniendo en cuenta la definición de y , se puede obtener una expresión para el transporte de carga suspendida y de lecho promediado por marea: Aquí , la relación entre la escala de tiempo de asentamiento y la escala de tiempo de marea. Se pueden identificar dos mecanismos importantes utilizando las definiciones de y . Estos dos mecanismos de transporte se analizan a continuación.${\displaystyle W_{s}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle \langle q_{s}\rangle ={\frac {K_{v}\alpha }{W_{s}^{2}}}({\frac {1}{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}})+{\frac {a}{2}}U_{M2}^{2}U_{M4}\sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}}))}$$$${\displaystyle \langle q_{b}\rangle ={\frac {3\beta }{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$$${\textstyle a={\frac {\omega _{M2}K_{v}^{2}}{W_{s}}}}$${\displaystyle \langle q_{b}\rangle }$${\displaystyle \langle q_{s}\rangle }$

El mecanismo de asimetría de velocidad se basa en una diferencia en la velocidad máxima de flujo entre el pico de reflujo y el pico de inundación . La cuantificación de este mecanismo está resumida por el término. Las implicaciones de este término se resumen en la siguiente tabla: ${\textstyle \cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$

${\displaystyle 2\phi _{M2}-\phi _{M4}}$	${\displaystyle \langle q_{s}\rangle _{va}}$	${\displaystyle \langle q_{b}\rangle _{va}}$
${\displaystyle \pm \;90^{\circ }}$	0	0
${\displaystyle 0^{\circ }\leq |2\phi _{M2}-\phi _{M2}|<90^{\circ }}$	${\displaystyle >0}$	${\displaystyle >0}$
${\displaystyle 90^{\circ }<|2\phi _{M2}-\phi _{M2}|\leq 180^{\circ }}$	${\displaystyle <0}$	${\displaystyle <0}$

Por lo tanto, el mecanismo de asimetría de velocidad causa un transporte neto dirigido por el reflujo si el valor absoluto de la diferencia de fase relativa es , mientras que causa un transporte neto dirigido por la inundación si es . En el último caso, los caudales máximos de inundación serán mayores que los caudales máximos por el reflujo. Por lo tanto, el sedimento será transportado a una distancia mayor en la dirección de la inundación, lo que hace que y sea . Lo opuesto se aplica para .${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|>90^{\circ }}$${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }}$${\displaystyle \langle q_{s}\rangle >0}$${\displaystyle \langle q_{b}\rangle >0}$${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }}$

El mecanismo de asimetría de duración también puede causar un transporte de carga suspendida promediado por mareas. Este mecanismo solo permite un flujo de sedimentos suspendidos promediado por mareas. La cuantificación de este mecanismo está encapsulada por el término, que está ausente en la ecuación. Las implicaciones de este término se resumen en la siguiente tabla:${\textstyle \sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$${\displaystyle \langle q_{b}\rangle }$

${\displaystyle 2\phi _{M2}-\phi _{M4}}$	${\displaystyle \langle q_{s}\rangle _{da}}$
${\displaystyle 0^{\circ }}$	0
${\displaystyle 0^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<180^{\circ }}$	${\displaystyle >0}$
${\displaystyle 180^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<360^{\circ }}$	${\displaystyle <0}$

Cuando , el tiempo desde el pico de inundación hasta el pico de reflujo es más largo que el tiempo desde el pico de reflujo hasta el pico de inundación. Esto hace que más sedimento pueda sedimentarse durante el período desde el pico de inundación hasta el pico de reflujo, por lo tanto, menos sedimento estará suspendido en el pico de reflujo y habrá un transporte neto en la dirección de la inundación. Una explicación similar, pero opuesta, es válida para . El transporte de carga de fondo no se ve afectado por este mecanismo porque el mecanismo requiere un retraso de sedimentación de las partículas, es decir, las partículas deben tardar un tiempo en sedimentarse y la concentración se adapta gradualmente a las velocidades del flujo.${\displaystyle 0^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<180^{\circ }}$${\displaystyle 180^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<360^{\circ }}$

• Resonancia de marea
• Marea alta
• No linealidad de las ondas
• Mareas en mares marginales
• Transporte de sedimentos