Número triangular cuadrado

En matemáticas , un número triangular cuadrado (o número cuadrado triangular ) es un número que es a la vez un número triangular y un número cuadrado . Hay una cantidad infinita de números triangulares cuadrados; los primeros son:

Escribe para el número triangular cuadrado n°, y escribe y para los lados del cuadrado y triángulo correspondientes, de modo que $Estilo de visualización N_ {k}$${\estilo de visualización k}$$estilo de visualización s_ {k}}$$estilo de visualización t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

Define la raíz triangular de un número triangular como . A partir de esta definición y de la fórmula cuadrática,${\displaystyle N={\frac {n(n+1)}{2}}}$${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle \displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$

Por lo tanto, es triangular ( es un entero) si y solo si es cuadrado. En consecuencia, un número cuadrado también es triangular si y solo si es cuadrado, es decir, hay números y tales que . Esta es una instancia de la ecuación de Pell con . Todas las ecuaciones de Pell tienen la solución trivial para cualquier ; esto se llama la solución cero y se indexa como . Si denota la ésima solución no trivial para cualquier ecuación de Pell para un particular , se puede demostrar por el método de descenso que la siguiente solución es${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización 8N+1}$$Estilo de visualización M2$$Estilo de visualización 8M^{2}+1$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$${\estilo de visualización n=8}$${\displaystyle x=1,y=0}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(1,0)}$${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, hay infinitas soluciones para cualquier ecuación de Pell para la que exista una no trivial, que es verdadera siempre que no sea un cuadrado. La primera solución no trivial cuando es fácil de encontrar: es . Una solución para la ecuación de Pell para da como resultado un número triangular cuadrado y sus raíces cuadradas y triangulares como sigue:${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n=8}$${\estilo de visualización (3,1)}$${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$${\estilo de visualización n=8}$

${\displaystyle \displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}$

Por lo tanto, el primer número triangular cuadrado, derivado de , es , y el siguiente, derivado de , es .${\estilo de visualización (3,1)}$${\estilo de visualización 1}$${\displaystyle 6\cdot (3,1)-(1,0)-(17,6)}$${\estilo de visualización 36}$

Las secuencias , y son las secuencias OEIS OEIS : A001110 , OEIS : A001109 y OEIS : A001108 respectivamente.$Estilo de visualización N_ {k}$$estilo de visualización s_ {k}}$$estilo de visualización t_{k}}$

En 1778 Leonhard Euler determinó la fórmula explícita ^{[1] [2] : 12–13}

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Otras fórmulas equivalentes (obtenidas al expandir esta fórmula) que pueden ser convenientes incluyen

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}$

Las fórmulas explícitas correspondientes para y son: ^{[2] : 13}$estilo de visualización s_ {k}}$$estilo de visualización t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}$

Existen relaciones de recurrencia para los números cuadrados triangulares, así como para los lados del cuadrado y del triángulo involucrados. Tenemos ^{[3] : (12)}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{con }}N_{0}&=0{\text{ y }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{con }}N_{0}&=0{\text{ y }}N_{1}=1.\end{aligned}}}$

Tenemos ^{[1] [2] : 13}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{con }}s_{0}&=0{\text{ y }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{con }}t_{0}&=0{\text{ y }}t_{1}=1.\end{aligned}}}$

Todos los números triangulares cuadrados tienen la forma , donde es un convergente a la expansión fraccionaria continua de , la raíz cuadrada de 2 . ^[4]$Estilo de visualización b^{2}c^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {b}{c}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

AV Sylwester dio una breve prueba de que hay infinitos números triangulares cuadrados: Si el número triangular es cuadrado, entonces también lo es el número triangular mayor , ya que:${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle 4n(n+1)}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.}$

El lado izquierdo de esta ecuación tiene la forma de un número triangular y, como producto de tres cuadrados, el lado derecho es cuadrado. ^[5]

La función generadora de los números triangulares cuadrados es: ^[6]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$

• Problema de la bala de cañón , sobre números que son simultáneamente cuadrados y piramidales cuadrados
• Sexta potencia , números que son simultáneamente cuadrados y cúbicos

• Números triangulares que también son cuadrados al cortar el nudo
• Weisstein, Eric W. "Número triangular cuadrado". MathWorld .
• La solución de Michael Dummett