Número pandigital

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En matemáticas , un número pandigital es un número entero que en una base dada tiene entre sus cifras significativas cada cifra utilizada en la base al menos una vez. Por ejemplo, 1234567890 (mil doscientos treinta y cuatro millones quinientos sesenta y siete mil ochocientos noventa) es un número pandigital en base 10.

Los primeros números pandigitales de base 10 vienen dados por (secuencia A171102 en la OEIS ):

1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689

El número pandigital más pequeño en una base b dada es un entero de la forma

${\displaystyle b^{b-1}+\sum _{d=2}^{b-1}db^{b-1-d}={\frac {b^{b}-b}{(b-1)^{2}}}+(b-1)\times b^{b-2}-1}$

La siguiente tabla enumera los números pandigitales más pequeños de algunas bases seleccionadas.

OEIS : A049363 proporciona los valores de base 10 para las primeras 18 bases.

En un sentido trivial, todos los números enteros positivos son pandigitales en unario (o contable). En binario, todos los números enteros son pandigitales excepto el 0 y los números de la forma (los números de Mersenne ). Cuanto mayor sea la base, más raros se vuelven los números pandigitales, aunque siempre se pueden encontrar series de números pandigitales consecutivos con dígitos redundantes escribiendo todos los dígitos de la base juntos (pero sin poner el cero primero como el dígito más significativo ) y agregando x + 1 ceros al final como dígitos menos significativos.$Estilo de visualización 2^{n}-1$$Estilo de visualización b^{x}}$

Por el contrario, cuanto menor sea la base, menos números pandigitales sin dígitos redundantes habrá. 2 es el único número pandigital de este tipo en base 2, mientras que hay más de estos en base 10.

A veces, el término se utiliza para referirse únicamente a números pandigitales sin dígitos redundantes. En algunos casos, un número puede llamarse pandigital incluso si no tiene un cero como dígito significativo, por ejemplo, 923456781 (a veces se los denomina "números pandigitales sin cero").

Ningún número pandigital de base 10 puede ser un número primo si no tiene dígitos redundantes. La suma de los dígitos del 0 al 9 es 45, lo que cumple la regla de divisibilidad tanto para el 3 como para el 9. El primer número primo pandigital de base 10 es 10123457689; OEIS : A050288 enumera más.

Por diferentes motivos, también se requieren dígitos redundantes para que un número pandigital (en cualquier base excepto unaria) sea también un número palindrómico en esa base. El número palindrómico pandigital más pequeño en base 10 es 1023456789876543201.

El número pandigital más grande sin dígitos redundantes que también puede ser un número cuadrado es 9814072356 = 99066 ² .

Dos de los números de Friedman pandigitales sin cero son: 123456789 = ((86 + 2 × 7) ⁵ − 91) / 3 ⁴ , y 987654321 = (8 × (97 + 6/2) ⁵ + 1) / 3 ⁴ .

Un número de Friedman pandigital sin dígitos redundantes es el cuadrado: 2170348569 = 46587 ² + (0 × 139).

El concepto de "aproximación pandigital" fue introducido por Erich Friedman en 2004. Con los dígitos del 1 al 9 (cada uno usado exactamente una vez) y los símbolos matemáticos + – × / ( ) . y ^, el número de Euler e puede aproximarse como , que es correcto hasta los decimales. ^[1] La variante produce dígitos correctos. ^[2]${\displaystyle (1+9^{-4^{7\times 6}})^{3^{2^{85}}}}$${\displaystyle 1.8\cdot 10^{25}}$${\displaystyle (1+.2^{9^{7\times 6}})^{5^{3^{84}}}}$${\displaystyle 8.3\cdot 10^{39}}$

Aunque gran parte de lo que se ha dicho no se aplica a los números romanos , existen números pandigitales: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI. Estos, enumerados en OEIS : A105416 , utilizan cada uno de los dígitos solo una vez, mientras que OEIS : A105417 tiene números romanos pandigitales con repeticiones.

Los números pandigitales son útiles en la ficción y en la publicidad. El número de la Seguridad Social 987-65-4321 es un número pandigital sin ceros reservado para su uso en publicidad. Algunas compañías de tarjetas de crédito utilizan números pandigitales con dígitos redundantes como números de tarjetas de crédito ficticios (mientras que otras utilizan cadenas de ceros).

• 123456789 = El primer número pandigital sin cero.
• 381654729 = El único número pandigital sin cero donde los primeros n dígitos son divisibles por n .
• 987654321 = El número pandigital sin cero más grande sin dígitos redundantes.
• 1023456789 = El primer número pandigital.
• 1234567890 = El número pandigital con los dígitos en orden.
• 3816547290 = El número pandigital polidivisible ; el único número pandigital donde los primeros n dígitos son divisibles por n .
• 9814072356 = El cuadrado pandigital más grande sin dígitos redundantes. Es el cuadrado de 99066.
• 9876543210 = El número pandigital más grande sin dígitos redundantes.
• 12345678987654321 = Número pandigital con todos los dígitos excepto cero en orden ascendente y descendente. Es el cuadrado de 111111111; véase Número de Demlo . También es un número palindrómico .

• Constante de Champernowne
• Pangrama , una palabra (o una oración) que utiliza todas las letras de la A a la Z al menos una vez, un número pandigital en base 36 se convertirá en un pangrama

• Weisstein, Eric W. "Número pandigital". MathWorld .
• De Geest, P. La página de los nueve dígitos [1]
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A050278 (Números pandigitales: números que contienen los dígitos 0-9. Versión 1: cada dígito aparece exactamente una vez)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A050288 (primos pandigitales)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A050289 (Números pandigitales sin cero: números que contienen los dígitos del 1 al 9 y ningún 0)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A050290 (primos pandigitales sin cero)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.