Número triangular

Un número triangular o número triangular cuenta objetos dispuestos en un triángulo equilátero . Los números triangulares son un tipo de número figurado , otros ejemplos son los números cuadrados y los números cúbicos . El n- ésimo número triangular es el número de puntos en la disposición triangular con n puntos en cada lado, y es igual a la suma de los n números naturales de 1 a n . La secuencia de números triangulares, comenzando con el 0.º número triangular , es

(secuencia A000217 en la OEIS )

Los números triangulares se dan mediante las siguientes fórmulas explícitas:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\dotsb +n\\&={\frac {n^{2}+n{\vphantom {(n+1)}}}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\\&={n+1 \choose 2}\end{aligned}}}$

donde es la notación de un coeficiente binomial . Representa la cantidad de pares distintos que se pueden seleccionar de n + 1 objetos y se lee en voz alta como " n más uno elige dos".${\displaystyle \textstyle {n+1 \elige 2}}$

El hecho de que el número triangular n sea igual a n se puede ilustrar mediante una prueba visual . ^[1] Para cada número triangular n , imagine una disposición de objetos en forma de "medio rectángulo" correspondiente al número triangular, como en la figura siguiente. Copiar esta disposición y rotarla para crear una figura rectangular duplica el número de objetos, lo que produce un rectángulo con dimensiones n , que es también el número de objetos en el rectángulo. Claramente, el número triangular en sí mismo es siempre exactamente la mitad del número de objetos en dicha figura, o: . El ejemplo es el siguiente:${\estilo de visualización n}$${\displaystyle n(n+1)/2}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n\times (n+1)}$${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle T_{4}}$

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$(verde más amarillo) implica que (verde).    ${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$

Esta fórmula se puede demostrar formalmente mediante inducción matemática . ^[2] Es claramente cierta para :${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}$$

Supongamos ahora que, para algún número natural , . Sumando a esto obtenemos${\displaystyle m}$${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$${\displaystyle m+1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, si la fórmula es verdadera para , es verdadera para . Como es claramente verdadera para , es verdadera para , y, en última instancia, para todos los números naturales por inducción.${\displaystyle m}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle n}$

Se dice que el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss encontró esta relación en su temprana juventud, al multiplicarnorte/2⁠ pares de números en la suma por los valores de cada par n + 1 . ^[3] Sin embargo, independientemente de la verdad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y algunos consideran probable que su origen se remonte a los pitagóricos en el siglo V a. C. ^[4] Las dos fórmulas fueron descritas por el monje irlandés Dicuil alrededor del año 816 en su Computus . ^[5] Hay disponible una traducción al inglés del relato de Dicuil. ^[6]

El número triangular T _n resuelve el problema del apretón de manos de contar la cantidad de apretones de manos si cada persona en una habitación con n + 1 personas estrecha la mano una vez con cada persona. En otras palabras, la solución al problema del apretón de manos de n personas es T _{n −1} . ^[7] La ​​función T es el análogo aditivo de la función factorial , que es el producto de números enteros de 1 a  n .

Esta misma función fue acuñada como la " función termial " ^[8] por Donald Knuth en El arte de la programación informática y denotada nθ (análogo a la notación factorial nθ ).

Por ejemplo, 10 termial equivale a:

$${\displaystyle 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55}$$

lo cual, por supuesto, corresponde al décimo número triangular .

El número de segmentos de línea entre los pares de puntos más cercanos en el triángulo se puede representar en términos del número de puntos o con una relación de recurrencia :$${\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}$$

En el límite , la relación entre los dos números, puntos y segmentos de línea es$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.}$$

Los números triangulares tienen una amplia variedad de relaciones con otros números figurados.

En términos más simples, la suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado, donde la suma es el cuadrado de la diferencia entre los dos (y, por lo tanto, la diferencia de los dos es la raíz cuadrada de la suma). Algebraicamente,$${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1{\vphantom {\left(n-1\right)^{2}}}}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$$

Este hecho se puede demostrar gráficamente colocando los triángulos en direcciones opuestas para crear un cuadrado:

6 + 10 = 16         10 + 15 = 25    

El doble de un número triangular, como en la prueba visual de la sección anterior § Fórmula, se llama número prónico .

Hay infinitos números triangulares que también son números cuadrados; por ejemplo, 1, 36, 1225. Algunos de ellos se pueden generar mediante una fórmula recursiva simple: con$${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$$${\displaystyle S_{1}=1.}$

Todos los números triangulares cuadrados se encuentran a partir de la recursión con y$${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$$${\displaystyle S_{0}=0}$${\displaystyle S_{1}=1.}$

Además, el cuadrado del n- ésimo número triangular es igual a la suma de los cubos de los números enteros 1 a n . Esto también se puede expresar como$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$$

La suma de los primeros n números triangulares es el n- ésimo número tetraédrico :$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$$

En términos más generales, la diferencia entre el n- ésimo número m -gonal y el n -ésimo número ( m + 1) -gonal es el ( n − 1) -ésimo número triangular. Por ejemplo, el sexto número heptagonal (81) menos el sexto número hexagonal (66) es igual al quinto número triangular, 15. Todo otro número triangular es un número hexagonal. Conociendo los números triangulares, se puede calcular cualquier número poligonal centrado ; el n- ésimo número k -gonal centrado se obtiene mediante la fórmula$${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}$$

donde T es un número triangular.

La diferencia positiva de dos números triangulares es un número trapezoidal .

El patrón encontrado para los números triangulares y tetraédricos que utilizan coeficientes binomiales se puede generalizar. Esto conduce a la fórmula: ^[9]${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},}$$${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

Los números triangulares corresponden al caso de primer grado de la fórmula de Faulhaber .

Los números triangulares alternados (1, 6, 15, 28, ...) también son números hexagonales.

Todo número perfecto par es triangular (así como hexagonal), dado por la fórmula donde M _p es un primo de Mersenne . No se conocen números perfectos impares; por lo tanto, todos los números perfectos conocidos son triangulares.$${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$$

Por ejemplo, el tercer número triangular es (3 × 2 =) 6, el séptimo es (7 × 4 =) 28, el 31 es (31 × 16 =) 496, y el 127 es (127 × 64 =) 8128.

El dígito final de un número triangular es 0, 1, 3, 5, 6 u 8, y por lo tanto dichos números nunca terminan en 2, 4, 7 o 9. Un 3 final debe estar precedido por un 0 o un 5; un 8 final debe estar precedido por un 2 o un 7.

En base 10 , la raíz digital de un número triangular distinto de cero siempre es 1, 3, 6 o 9. Por lo tanto, todo número triangular es divisible por tres o tiene un resto de 1 cuando se divide por 9:

El patrón raíz digital de los números triangulares, que se repite cada nueve términos, como se muestra arriba, es "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

Sin embargo, la inversa de la afirmación anterior no siempre es cierta. Por ejemplo, la raíz digital de 12, que no es un número triangular, es 3 y es divisible por tres.

Si x es un número triangular, entonces ax + b también es un número triangular, dado que a es un cuadrado impar y b = ⁠un − 1/8⁠ . Nótese que b siempre será un número triangular, porque 8 T _n + 1 = (2 n + 1) ² , lo que produce que todos los cuadrados impares se revelan al multiplicar un número triangular por 8 y sumar 1, y el proceso para b dado que a es un cuadrado impar es el inverso de esta operación. Los primeros pares de esta forma (sin contar 1 x + 0 ) son: 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 , ... etc. Dado que x es igual a T _n , estas fórmulas producen T _{3 n + 1} , T _{5 n + 2} , T _{7 n + 3} , T _{9 n + 4} , y así sucesivamente.

La suma de los recíprocos de todos los números triangulares distintos de cero es$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$$

Esto se puede demostrar utilizando la suma básica de una serie telescópica :$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}$$

Hay otras dos fórmulas relacionadas con los números triangulares y ambas se pueden establecer fácilmente observando patrones de puntos (ver arriba) o con algo de álgebra simple.$${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$$$${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$$

En 1796, Gauss descubrió que todo entero positivo se puede representar como una suma de tres números triangulares (posiblemente incluyendo T ₀ = 0), escribiendo en su diario sus famosas palabras, " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ". Este teorema no implica que los números triangulares sean diferentes (como en el caso de 20 = 10 + 10 + 0), ni que deba existir una solución con exactamente tres números triangulares distintos de cero. Este es un caso especial del teorema de los números poligonales de Fermat .

El número triangular más grande de la forma 2 ^k − 1 es 4095 (ver ecuación de Ramanujan-Nagell ).

Wacław Franciszek Sierpiński planteó la cuestión de la existencia de cuatro números triangulares distintos en progresión geométrica . El matemático polaco Kazimierz Szymiczek conjeturó que era imposible y Fang y Chen lo demostraron en 2007. ^{[10] [11]}

Las fórmulas que implican expresar un número entero como la suma de números triangulares están relacionadas con las funciones theta , en particular la función theta de Ramanujan . ^{[12] [13]}

La suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado ya que: ^{[14] [15]}

${\displaystyle T_{n-1}+T_{n}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n(n-1)+{\frac {1}{2}}\,n(n+1)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n{\Bigl (}(n-1)+(n+1){\Bigr )}}$

${\displaystyle =n^{2}}$

Esta propiedad, conocida coloquialmente como el teorema de Teón de Esmirna , ^[16] se demuestra visualmente en la siguiente suma, que representa como sumas de dígitos :${\displaystyle T_{4}+T_{5}=5^{2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&4&3&2&1&\\+&1&2&3&4&5\\\hline &5&5&5&5&5\end{array}}}$

Una red completamente conectada de n dispositivos informáticos requiere la presencia de T _{n − 1} cables u otras conexiones; esto es equivalente al problema del protocolo de enlace mencionado anteriormente.

En un formato de torneo que utiliza una fase de grupos de todos contra todos , la cantidad de partidos que deben jugarse entre n equipos es igual al número triangular T _{n − 1} . Por ejemplo, una fase de grupos con 4 equipos requiere 6 partidos, y una fase de grupos con 8 equipos requiere 28 partidos. Esto también es equivalente al problema del protocolo de enlace y a los problemas de red completamente conectada.

Una forma de calcular la depreciación de un activo es el método de la suma de los dígitos de los años , que implica hallar T _n , donde n es la duración en años de la vida útil del activo. Cada año, el artículo pierde ( b − s ) × ⁠n - y/Tn_​⁠ , donde b es el valor inicial del artículo (en unidades monetarias), s es su valor residual final, n es el número total de años que el artículo es utilizable e y es el año actual en el cronograma de depreciación. Con este método, un artículo con una vida útil de n = 4 años perdería ⁠4/10⁠ de su valor "perdible" en el primer año, ⁠3/10⁠ en el segundo, ⁠2/10⁠ en el tercero, y ⁠1/10⁠ en el cuarto, acumulando una depreciación total de ⁠10/10⁠ (la totalidad) del valor perdible.

Los diseñadores de juegos de mesa Geoffrey Engelstein e Isaac Shalev describen los números triangulares como algo que ha alcanzado "casi el estatus de un mantra o koan entre los diseñadores de juegos ", describiéndolos como "profundamente intuitivos" y "presentes en una enorme cantidad de juegos, [demostrando] ser increíblemente versátiles a la hora de proporcionar recompensas crecientes para conjuntos más grandes sin incentivar excesivamente la especialización con exclusión de todas las demás estrategias". ^[17]

Por analogía con la raíz cuadrada de x , se puede definir la raíz triangular (positiva) de x como el número n tal que T _n = x : ^[18]$${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$$

que se sigue inmediatamente de la fórmula cuadrática . Por lo tanto, un entero x es triangular si y solo si 8 x + 1 es un cuadrado. De manera equivalente, si la raíz triangular positiva n de x es un entero, entonces x es el n- ésimo número triangular. ^[18]

Como se dijo, un nombre alternativo propuesto por Donald Knuth , por analogía a los factoriales , es "termial", con la notación n ? para el n -ésimo número triangular. ^[19] Sin embargo, aunque algunas otras fuentes usan este nombre y notación, ^[20] no son de uso generalizado.

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Número doblemente triangular , un número triangular cuya posición en la secuencia de números triangulares también es un número triangular.
• Tetractys , una disposición de diez puntos en un triángulo, importante en el pitagorismo.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con números triangulares .

• "Series aritméticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Números triangulares en el corte del nudo
• Existen números triangulares que también son cuadrados al cortar el nudo.
• Weisstein, Eric W. "Número triangular". MathWorld .
• Raíces politópicas hipertetraédricas de Rob Hubbard, incluida la generalización a raíces cúbicas triangulares , algunas dimensiones superiores y algunas fórmulas aproximadas