Número de Thabit

En teoría de números , un número Thabit , un número Thâbit ibn Qurra o un número 321 es un número entero de la forma de un entero no negativo n .${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$

Los primeros números de Thabit son:

2 , 5 , 11 , 23 , 47 , 95 , 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (secuencia A055010 en la OEIS )

Se atribuye al matemático , médico , astrónomo y traductor del siglo IX Thābit ibn Qurra el primero en estudiar estos números y su relación con los números amigos . ^[1]

La representación binaria del número Thabit 3·2 ⁿ −1 tiene una longitud de n +2 dígitos y consta de "10" seguido de n 1.

Los primeros números de Thabit que son primos ( primos de Thabit o 321 primos ):

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (secuencia A007505 en la OEIS )

A partir de octubre de 2023 ^[actualizar], se conocen 68 números primos de Thabit. Sus valores n son: ^{[2] [3] [4] [5]}

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 63, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, 18196595, 18924988, 20928756, 22103376, ... ( secuencia A002235 en la OEIS )

Los números primos para 234760 ≤ n ≤ 3136255 se encontraron mediante el proyecto de computación distribuida 321 search . ^[6]

En 2008, PrimeGrid se hizo cargo de la búsqueda de primos de Thabit. ^[7] Todavía está buscando y ya ha encontrado todos los primos de Thabit conocidos actualmente con n ≥ 4235414. ^[4] También está buscando primos de la forma 3·2 ⁿ +1, dichos primos se denominan primos de Thabit de segundo tipo o 321 primos de segundo tipo .

Los primeros números Thabit del segundo tipo son:

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (secuencia A181565 en la OEIS )

Los primeros primos de Thabit del segundo tipo son:

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (secuencia A039687 en la OEIS )

Sus valores n son:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, 16408818, ... (secuencia A002253 en la OEIS )

Cuando tanto n como n −1 producen números primos de Thabit (del primer tipo), y también es primo, se puede calcular un par de números amigos de la siguiente manera:${\displaystyle 9\cdot 2^{2n-1}-1}$

${\displaystyle 2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)}$y${\displaystyle 2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).}$

Por ejemplo, n = 2 da el primo de Thabit 11, y n −1 = 1 da el primo de Thabit 5, y nuestro tercer término es 71. Entonces, 2 ² =4, multiplicado por 5 y 11 da como resultado 220 , cuyos divisores suman 284 , y 4 por 71 es 284, cuyos divisores suman 220.

Los únicos n conocidos que satisfacen estas condiciones son 2, 4 y 7, correspondientes a los primos de Thabit 11, 47 y 383 dados por n , los primos de Thabit 5, 23 y 191 dados por n −1, y nuestros terceros términos son 71, 1151 y 73727. (Los pares amigos correspondientes son (220, 284), (17296, 18416) y (9363584, 9437056))

Para un entero b ≥ 2, un número de Thabit base b es un número de la forma ( b + 1)· b ⁿ − 1 para un entero no negativo n . Asimismo, para un entero b ≥ 2, un número de Thabit de segunda especie base b es un número de la forma ( b + 1)· b ⁿ + 1 para un entero no negativo n .

Los números de Williams también son una generalización de los números de Thabit. Para un entero b ≥ 2, un número de Williams base b es un número de la forma ( b −1)· b ⁿ − 1 para un entero no negativo n . ^[8] Además, para un entero b ≥ 2, un número de Williams de segunda especie base b es un número de la forma ( b −1)· b ⁿ + 1 para un entero no negativo n .

Para un entero b ≥ 2, un número primo de Thabit en base b es un número de Thabit en base b que también es primo. De manera similar, para un entero b ≥ 2, un número primo de Williams en base b es un número de Williams en base b que también es primo.

Todo primo p es un primo de Thabit de primer tipo base p , un primo de Williams de primer tipo base p +2, y un primo de Williams de segundo tipo base p ; si p ≥ 5, entonces p es también un primo de Thabit de segundo tipo base p −2.

Es una conjetura que para cada entero b ≥ 2, existen infinitos primos de Thabit de primera especie base b , infinitos primos de Williams de primera especie base b , e infinitos primos de Williams de segunda especie base b ; también, para cada entero b ≥ 2 que no sea congruente con 1 módulo 3, existen infinitos primos de Thabit de segunda especie base b . (Si la base b es congruente con 1 módulo 3, entonces todos los números de Thabit de segunda especie base b son divisibles por 3 (y mayores que 3, ya que b ≥ 2), por lo que no existen primos de Thabit de segunda especie base b .)

El exponente de los primos de Thabit del segundo tipo no puede ser congruente con 1 mod 3 (excepto 1 mismo), el exponente de los primos de Williams del primer tipo no puede ser congruente con 4 mod 6, y el exponente de los primos de Williams del segundo tipo no puede ser congruente con 1 mod 6 (excepto 1 mismo), ya que el polinomio correspondiente a b es un polinomio reducible . (Si n ≡ 1 mod 3, entonces ( b +1)· b ⁿ + 1 es divisible por b ² + b + 1; si n ≡ 4 mod 6, entonces ( b −1)· b ⁿ − 1 es divisible por b ² − b + 1; y si n ≡ 1 mod 6, entonces ( b −1)· b ⁿ + 1 es divisible por b ² − b + 1) De lo contrario, el polinomio correspondiente a b es un polinomio irreducible , por lo que si la conjetura de Bunyakovsky es verdadera, entonces hay infinitas bases b tales que el número correspondiente (para el exponente fijo n que satisface la condición) es primo. (( b + 1)· b ⁿ − 1 es irreducible para todo entero no negativo n , por lo que si la conjetura de Bunyakovsky es verdadera, entonces hay infinitas bases b tales que el número correspondiente (para el exponente fijo n ) es primo)

Los números de Pierpont son una generalización de los números de Thabit del segundo tipo .${\displaystyle 3^{m}\cdot 2^{n}+1}$${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$

• Weisstein, Eric W. "Número de Thâbit ibn Kurrah". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Prime". MundoMatemático .
• Chris Caldwell, la base de datos de números primos más grande conocida en The Prime Pages
• Un primo de Thabit de primera especie en base 2: (2+1)·211895718 − 1
• Un primo de Thabit de segunda especie en base 2: (2+1)·210829346 + 1
• Un primo de Williams del primer tipo base 2: (2−1)·274207281 − 1
• Un primo de Williams de primera especie en base 3: (3−1)·31360104 − 1
• Un primo de Williams del segundo tipo base 3: (3−1)·31175232 + 1
• Un primo de Williams de primera especie en base 10: (10−1)·10383643 − 1
• Un primo de Williams de primera especie base 113: (113−1)·113286643 − 1
• Lista de números primos de Williams
• Búsqueda de 321 primos de PrimeGrid, sobre el descubrimiento del primo de Thabit de primera especie base 2: (2+1)·2 ^6090515 − 1