Azulejos de rombos
Teselación del plano con rombos de 60°
Azulejos de rombos
TipoAzulejos de Laves
CarasRombo de 60°–120°
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetríap6m, [6,3], *632
p3m1, [3 [3] ], *333
Grupo de rotaciónp6, [6,3] + , (632)
p3, [3 [3] ] + , (333)
Poliedro dualAzulejos trihexagonales
Configuración de la caraV3.6.3.6
Propiedadestransitivo de borde , transitivo de cara

En geometría , el mosaico de rombos , [1] también conocido como bloques giratorios , [2] cubos reversibles o red de dados , es una teselación de rombos idénticos de 60° en el plano euclidiano . Cada rombo tiene dos ángulos de 60° y dos de 120° ; los rombos con esta forma a veces también se denominan diamantes . Los conjuntos de tres rombos se encuentran en sus ángulos de 120°, y los conjuntos de seis rombos se encuentran en sus ángulos de 60°.

Propiedades

Unidad de rombo para el mosaico de rombos dual a mosaico trihexagonal de longitud unitaria.
Dos mosaicos hexagonales con bordes rojos y azules dentro de mosaicos en forma de rombos
Cuatro mosaicos hexagonales con bordes de color rojo, verde, azul y magenta dentro del mosaico de rombos [3]

El mosaico de rombos puede verse como una subdivisión de un mosaico hexagonal en el que cada hexágono está dividido en tres rombos que se encuentran en el punto central del hexágono. Esta subdivisión representa un mosaico compuesto regular . También puede verse como una subdivisión de cuatro mosaicos hexagonales en los que cada hexágono está dividido en 12 rombos.

Las diagonales de cada rombo están en la proporción 1: √ 3 . Este es el teselado dual del teselado trihexagonal o red de Kagome . Como dual de un teselado uniforme , es uno de los once teselados de Laves posibles , y en la configuración de caras para teselados monoédricos se denota [3.6.3.6]. [4]

También es uno de los 56 posibles teselaciones isoédricas de cuadriláteros, [5] y uno de los únicos ocho teselaciones del plano en el que cada arista se encuentra en una línea de simetría de la teselación. [6]

Es posible incrustar el mosaico de rombos en un subconjunto de una red de enteros tridimensional , que consiste en los puntos ( x , y , z ) con | x  +  y  +  z | ≤ 1, de tal manera que dos vértices sean adyacentes si y solo si los puntos de la red correspondientes están a una distancia unitaria entre sí, y más fuertemente de tal manera que el número de aristas en el camino más corto entre dos vértices cualesquiera del mosaico sea el mismo que la distancia de Manhattan entre los puntos de la red correspondientes. Por lo tanto, el mosaico de rombos puede verse como un ejemplo de un gráfico de distancia unitaria infinita y un cubo parcial . [7]

Aplicaciones artísticas y decorativas

La teselación de rombos puede interpretarse como una proyección isométrica de un conjunto de cubos de dos formas diferentes, formando una figura reversible relacionada con el cubo de Necker . En este contexto se la conoce como la ilusión de los "cubos reversibles". [8]

En las obras de MC Escher Metamorfosis I , Metamorfosis II y Metamorfosis III , Escher utiliza esta interpretación del mosaico como una forma de metamorfosis entre formas bidimensionales y tridimensionales. [9] En otra de sus obras, Ciclo (1938), Escher jugó con la tensión entre la bidimensionalidad y la tridimensionalidad de este mosaico: en él dibuja un edificio que tiene grandes bloques cúbicos como elementos arquitectónicos (dibujados isométricamente) y un patio en el piso superior revestido con mosaicos de rombos. Una figura humana desciende del patio pasando por los cubos, volviéndose más estilizada y bidimensional a medida que lo hace. [10] Estas obras implican solo una única interpretación tridimensional del mosaico, pero en Convexo y cóncavo Escher experimenta con figuras reversibles de manera más general, e incluye una representación de la ilusión de cubos reversibles en una bandera dentro de la escena. [11]

El mosaico de rombos también se utiliza como diseño para parquet [12] y para revestimiento de suelos o paredes, a veces con variaciones en las formas de sus rombos. [13] Aparece en mosaicos de suelos griegos antiguos de Delos [14] y en mosaicos de suelos italianos del siglo XI, [15] aunque los azulejos con este patrón en la catedral de Siena son de una época más reciente. [16] En el acolchado , se lo conoce desde la década de 1850 como el patrón de "bloques que caen", en referencia a la disonancia visual causada por su interpretación tridimensional duplicada. [2] [15] [17] Como patrón de acolchado, también tiene muchos otros nombres, incluidos cubework, escalera celestial y caja de Pandora. [17] Se ha sugerido que el patrón de colcha de bloques que caen se utilizó como señal en el Ferrocarril Subterráneo : cuando los esclavos lo veían colgado en una cerca, debían guardar sus pertenencias y escapar. Véase Edredones del Ferrocarril Subterráneo . [18] En estas aplicaciones decorativas, los rombos pueden aparecer en múltiples colores, pero normalmente se les dan tres niveles de sombreado, más brillante para los rombos con diagonales largas horizontales y más oscuro para los rombos con las otras dos orientaciones, para realzar su apariencia de tridimensionalidad. Existe un solo ejemplo conocido de rombo implícito y mosaico trihexagonal en la heráldica inglesa : en el escudo de armas de Geal/e. [19]

Otras aplicaciones

El mosaico de rombos puede considerarse como el resultado de superponer dos mosaicos hexagonales diferentes, traducidos de modo que algunos de los vértices de un mosaico aterricen en los centros de los hexágonos del otro mosaico. Por lo tanto, puede usarse para definir autómatas celulares de bloques en los que las celdas del autómata son los rombos de un mosaico de rombos y los bloques en pasos alternos del autómata son los hexágonos de los dos mosaicos hexagonales superpuestos. En este contexto, se lo denomina "vecindario Q*bert", en honor al videojuego Q*bert que presentaba una vista isométrica de una pirámide de cubos como su campo de juego. El vecindario Q*bert puede usarse para respaldar la computación universal a través de una simulación de computadoras de bolas de billar . [20]

En física de la materia condensada , la teselación de rombos se conoce como red de dados , red en cubos o red dual de Kagome . Es una de las diversas estructuras repetitivas que se utilizan para investigar los modelos de Ising y los sistemas relacionados de interacciones de espín en cristales diatómicos [21] y también se ha estudiado en la teoría de la percolación [22] .

Teselación combinatoriamente equivalente por paralelogramos

El mosaico de rombos es el dual del mosaico trihexagonal . Es una de las muchas formas diferentes de mosaico del plano con rombos congruentes. Otras incluyen una variación aplanada en diagonal del mosaico cuadrado (con simetría traslacional en los cuatro lados de los rombos), el mosaico utilizado por el patrón de plegado Miura-ori (alternando entre simetría traslacional y reflexiva) y el mosaico de Penrose que utiliza dos tipos de rombos con ángulos agudos de 36° y 72° aperiódicamente . Cuando se permite más de un tipo de rombo, son posibles mosaicos adicionales, incluidos algunos que son topológicamente equivalentes al mosaico de rombos pero con menor simetría.

También se pueden realizar mosaicos combinatoriamente equivalentes al mosaico de rombos mediante paralelogramos e interpretarlos como proyecciones axonométricas de pasos cúbicos tridimensionales.

Sólo hay ocho teselaciones de aristas , teselaciones del plano con la propiedad de que al reflejar cualquier teselación a través de cualquiera de sus aristas se produce otra teselación; una de ellas es la teselación en rombos. [6]

Ejemplos

Véase también

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Referencias

  1. ^ Conway, John ; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008), "Capítulo 21: Denominación de poliedros y teselaciones arquimedianas y catalanas", The Symmetries of Things , AK Peters, pág. 288, ISBN 978-1-56881-220-5.
  2. ^ ab Smith, Barbara (2002), Tumbling Blocks: New Quilts from an Old Favorite , Libros de colección, ISBN 9781574327892.
  3. ^ Richard K. Guy y Robert E. Woodrow, El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la Conferencia en memoria de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia , 1996, pág. 79, Figura 10
  4. ^ Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987), Mosaicos y patrones , Nueva York: WH Freeman, ISBN 0-7167-1193-1. Sección 2.7, Teselación con vértices regulares, págs. 95–98.
  5. ^ Grünbaum y Shephard (1987), Figura 9.1.2, Tiling P 4 -42, pág. 477.
  6. ^ ab Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), "Teselaciones de bordes y rompecabezas de plegado de sellos", Mathematics Magazine , 84 (4): 283–289, arXiv : 0908.3257 , doi :10.4169/math.mag.84.4.283, MR  2843659.
  7. ^ Deza, Michel ; Grishukhin, Viatcheslav; Shtogrin, Mikhail (2004), Gráficos politopales isométricos de escala en hipercubos y redes cúbicas: politopos en hipercubos y Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} , Londres: Imperial College Press, p. 150, doi :10.1142/9781860945489, ISBN 1-86094-421-3, Sr.  2051396.
  8. ^ Warren, Howard Crosby (1919), Psicología humana, Houghton Mifflin, pág. 262.
  9. ^ Kaplan, Craig S. (2008), "Metamorfosis en el arte de Escher", Bridges 2008: Conexiones matemáticas en el arte, la música y la ciencia (PDF) , pp. 39–46.
  10. ^ Escher, Maurits Cornelis (2001), MC Escher, la obra gráfica, Taschen , págs. 29-30, ISBN 9783822858646.
  11. ^ De May, Jos (2003), "La pintura según MC Escher", en Schattschneider, D .; Emmer, M. (eds.), El legado de MC Escher: una celebración del centenario , Springer, págs. 130-141.
  12. ^ Schleining, Lon; O'Rourke, Randy (2003), "Engañando a los ojos con bloques que caen", Cofres del tesoro: el legado de cajas extraordinarias, Taunton Press, pág. 58, ISBN 9781561586516.
  13. ^ Tessellation Tango, The Mathematical Tourist, Universidad de Drexel, consultado el 23 de mayo de 2012.
  14. ^ Dunbabin, Katherine MD (1999), Mosaicos del mundo griego y romano, Cambridge University Press, pág. 32, ISBN 9780521002301.
  15. ^ ab Tatem, Mary (2010), "Tumbling Blocks", Edredón de alegría: historias de esperanza de la vida de retazos, Revell, pág. 115, ISBN 9780800733643.
  16. ^ Wallis, Henry (1902), Arte cerámico italiano, Bernard Quaritch, p. xxv.
  17. ^ de Fowler, Earlene (2008), Bloques que caen , Benni Harper Mysteries, Penguin, ISBN 9780425221235Esta es una novela de misterio, pero también incluye una breve descripción del patrón de la colcha de bloques en su introducción.
  18. ^ Tobin, Jacqueline L.; Dobard, Raymond G. (2000), Oculto a simple vista: una historia secreta de colchas y el ferrocarril subterráneo, Random House Digital, Inc., pág. 81, ISBN 9780385497671.
  19. ^ Aux armes: simbolismo, Simbolismo en las armas, Pléyade, recuperado 2013-04-17.
  20. ^ El vecindario Q*Bert, Tim Tyler, consultado el 23 de mayo de 2012.
  21. ^ Fisher, Michael E. (1959), "Transformaciones de los modelos de Ising", Physical Review , 113 (4): 969–981, Bibcode :1959PhRv..113..969F, doi :10.1103/PhysRev.113.969.
  22. ^ Yonezawa, Fumiko; Sakamoto, Shoichi; Hori, Motoo (1989), "Percolación en redes bidimensionales. I. Una técnica para la estimación de umbrales", Phys. Rev. B , 40 (1): 636–649, Bibcode :1989PhRvB..40..636Y, doi :10.1103/PhysRevB.40.636.

Lectura adicional

  • Keith Critchlow, Order in Space: A design source book , 1970, págs. 77-76, patrón 1
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