Momento factorial

En teoría de probabilidad , el momento factorial es una cantidad matemática definida como la expectativa o el promedio del factorial descendente de una variable aleatoria . Los momentos factoriales son útiles para estudiar variables aleatorias de valores enteros no negativos , ^[1] y surgen en el uso de funciones generadoras de probabilidad para derivar los momentos de variables aleatorias discretas.

Los momentos factoriales sirven como herramientas analíticas en el campo matemático de la combinatoria, que es el estudio de estructuras matemáticas discretas. ^[2]

Para un número natural r , el momento factorial r -ésimo de una distribución de probabilidad en los números reales o complejos, o, en otras palabras, una variable aleatoria X con esa distribución de probabilidad, es ^[3]

${\displaystyle \nombreoperador {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\nombreoperador {E} {\bigl [}X(X-1)(X-2)\cdots (X-r+1){\bigr ]},}$

donde E es la expectativa ( operador ) y

${\displaystyle (x)_{r}:=\underbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-r+1)} _{r{\text{ factores}}}\equiv {\frac {x!}{(xr)!}}}$

es el factorial descendente , lo que da origen al nombre, aunque la notación ( x ) _r varía dependiendo del campo matemático. ^[a] Por supuesto, la definición requiere que la expectativa sea significativa, lo cual es el caso si ( X ) _r ≥ 0 o E[|( X ) _r |] < ∞ .

Si X es el número de éxitos en n ensayos, y p _r es la probabilidad de que cualesquiera r de los n ensayos sean todos éxitos, entonces ^[5]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)p_{r}}$

Si una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ , entonces los momentos factoriales de X son

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\lambda ^{r},}$

que son simples en forma en comparación con sus momentos , que involucran números de Stirling del segundo tipo .

Si una variable aleatoria X tiene una distribución binomial con probabilidad de éxito p ∈ [0,1] y número de ensayos n , entonces los momentos factoriales de X son ^[6]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}p^{r}r!=(n)_{r}p^{r},}$

donde por convención, y se entienden como cero si r > n .${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{r}}}$$Estilo de visualización (n) _{r}$

Si una variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica con un tamaño de población N , un número de estados de éxito K ∈ {0,..., N } en la población y extrae n ∈ {0,..., N }, entonces los momentos factoriales de X son ^[6]

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {{\binom {K}{r}}{\binom {n}{r}} r!}{\binom {N}{r}}}={\frac {(K)_{r}(n)_{r}}{(N)_{r}}}.}$

Si una variable aleatoria X tiene una distribución beta-binomial con parámetros α > 0 , β > 0 y número de ensayos n , entonces los momentos factoriales de X son

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\binom {n}{r}}{\frac {B(\alpha +r,\beta )r!}{B(\alpha ,\beta )}}=(n)_{r}{\frac {B(\alpha +r,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}}$

El momento bruto r de una variable aleatoria X se puede expresar en términos de sus momentos factoriales mediante la fórmula

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{r}]=\sum _{j=1}^{r}\left\{{r \atop j}\right\}\operatorname {E} [(X)_{j}],}$

donde las llaves denotan números de Stirling del segundo tipo .

• Medida del momento factorial
• Momento (matemáticas)
• Cumulante
• Función generadora de momentos factoriales