Modelo de energía aleatoria

En la física estadística de sistemas desordenados , el modelo de energía aleatoria es un modelo de juguete de un sistema con desorden extinguido , como un vidrio de espín , que tiene una transición de fase de primer orden . ^{[1] [2]} Se refiere a las estadísticas de una colección de espines ( es decir , grados de libertad que pueden tomar uno de dos valores posibles ) de modo que el número de estados posibles para el sistema es . Las energías de tales estados son variables aleatorias gaussianas independientes e idénticamente distribuidas con media cero y una varianza de . Muchas propiedades de este modelo se pueden calcular con exactitud. Su simplicidad hace que este modelo sea adecuado para la introducción pedagógica de conceptos como desorden extinguido y simetría de réplica .${\estilo de visualización N}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\equiv \{\sigma _{i}\}_{i=1}^{N}}$${\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}$$Estilo de visualización 2^{N}}$ ${\displaystyle E_{x}\sim {\mathcal {N}}(0,N/2)}$${\estilo de visualización N/2}$

Energía crítica por partícula: .${\displaystyle h_{c}={\sqrt {\ln 2}}}$

Temperatura crítica inversa .${\displaystyle \beta _{c}=2{\sqrt {\ln 2}}}$

Función de partición , que en general se convierte en cuando , es decir, no se produce condensación. Cuando esto es cierto, decimos que tiene la propiedad de autopromediación .${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{s}e^{-\beta H(s)}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 2^{N}\mathbb {E} _{E}[e^{-\beta E}]}$${\displaystyle \beta <\beta _{c}}$

Entropía libre por partícula$${\displaystyle f(\beta )=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\ln Z={\begin{cases}\ln 2+{\frac {1}{4}}\beta ^{2}\quad &\beta <\beta _{c},\\\beta {\sqrt {\ln 2}}\quad &\beta >\beta _{c}\end{cases}}}$$

Entropía por partícula$${\displaystyle s(h)=\max _{\beta }(f(\beta )-\beta h)={\begin{cases}\ln 2-h^{2}\quad &h\in [-h_{c},+h_{c}],\\0\quad &{\text{else }}\end{cases}}}$$

Cuando , la distribución de Boltzmann del sistema se concentra en la energía por partícula , de la cual hay estados.${\displaystyle \beta <\beta _{c}}$${\displaystyle h=-\beta /2}$${\displaystyle \sim e^{N(\ln 2-\beta ^{2}/4)}}$

Cuando , la distribución de Boltzmann del sistema se concentra en , y dado que la entropía por partícula en ese punto es cero, la distribución de Boltzmann se concentra en un número subexponencial de estados. Esta es una transición de fase llamada condensación .${\displaystyle \beta >\beta _{c}}$${\displaystyle h=-h_{c}}$

Define la razón de participación como La razón de participación mide la cantidad de condensación en la distribución de Boltzmann. Puede interpretarse como la probabilidad de que dos estados muestreados aleatoriamente sean exactamente el mismo estado. De hecho, es precisamente el índice de Simpson , un índice de diversidad de uso común .$${\displaystyle Y=\sum _{E}p_{E}^{2}={\frac {\sum _{E}e^{-2\beta E}}{(\sum _{E}e^{-\beta E})^{2}}}}$$

Para cada , la tasa de participación es una variable aleatoria determinada por los niveles de energía.${\displaystyle N,\beta }$

Cuando el sistema no está en fase condensada y, por lo tanto, por equipartición asintótica , la distribución de Boltzmann se distribuye de manera uniforme y asintótica entre los estados. La razón de participación es entonces que decae exponencialmente hasta cero.${\displaystyle \beta <\beta _{c}}$${\displaystyle \sim e^{N(\ln 2-\beta ^{2}/4)}}$$${\displaystyle \sim e^{N(\ln 2-\beta ^{2}/4)}\times (e^{-N(\ln 2-\beta ^{2}/4)})^{2}=e^{-N(\ln 2-\beta ^{2}/4)}}$$

Cuando , la relación de participación satisface donde la expectativa se toma sobre todos los niveles de energía aleatorios.${\displaystyle \beta >\beta _{c}}$$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\mathbb {E} [Y]=1-{\frac {\beta _{c}}{\beta }}}$$

El modelo de rango infinito de -spin , en el que todos los conjuntos de -spin interactúan con una constante de interacción aleatoria, independiente e idénticamente distribuida, se convierte en el modelo de energía aleatoria en un límite adecuadamente definido. ^[3]${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\to \infty }$

Más precisamente, si el hamiltoniano del modelo se define por

${\displaystyle H({\boldsymbol {\sigma }})=\sum _{\{i_{1},\ldots ,i_{r}\}}J_{i_{1},\ldots i_{r}}\sigma _{i_{1}}\cdots \sigma _{i_{r}},}$

donde la suma se extiende a todos los conjuntos distintos de índices y, para cada uno de estos conjuntos, , es una variable gaussiana independiente de media 0 y varianza , el modelo de energía aleatoria se recupera en el límite.${\displaystyle {N \choose r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \{i_{1},\ldots ,i_{r}\}}$${\displaystyle J_{i_{1},\ldots ,i_{r}}}$${\displaystyle J^{2}r!/(2N^{r-1})}$${\displaystyle r\to \infty }$

Como sugiere su nombre, en el REM cada estado microscópico tiene una distribución independiente de energía. Para una realización particular del desorden, donde se refiere a las configuraciones de espín individuales descritas por el estado y es la energía asociada a él. Las variables extensivas finales, como la energía libre, deben promediarse sobre todas las realizaciones del desorden, tal como en el caso del modelo de Edwards-Anderson . Promediando sobre todas las realizaciones posibles, encontramos que la probabilidad de que una configuración dada del sistema desordenado tenga una energía igual a está dada por${\displaystyle P(E)=\delta (E-H(\sigma ))}$${\displaystyle \sigma =(\sigma _{i})}$${\displaystyle H(\sigma )}$${\displaystyle P(E)}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle [P(E)]={\sqrt {\frac {1}{N\pi J^{2}}}}\exp \left(-{\dfrac {E^{2}}{J^{2}N}}\right),}$

donde denota el promedio de todas las realizaciones del desorden. Además, la distribución de probabilidad conjunta de los valores de energía de dos configuraciones microscópicas diferentes de los espines, y factoriza:${\displaystyle [\cdots ]}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma '}$

${\displaystyle [P(E,E')]=[P(E)]\,[P(E')].}$

Se puede ver que la probabilidad de una configuración de espín dada solo depende de la energía de ese estado y no de la configuración de espín individual. ^[4]

La entropía del REM está dada por ^[5]

${\displaystyle S(E)=N\left[\log 2-\left({\frac {E}{NJ}}\right)^{2}\right]}$

para . Sin embargo, esta expresión sólo se cumple si la entropía por espín, es finita, es decir, cuando Puesto que , esto corresponde a . Para , el sistema permanece "congelado" en un pequeño número de configuraciones de energía y la entropía por espín se anula en el límite termodinámico.${\displaystyle |E|<NJ{\sqrt {\log 2}}}$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S(E)/N}$${\displaystyle |E|<-NJ{\sqrt {\log 2}}.}$${\displaystyle (1/T)=\partial S/\partial E}$${\displaystyle T>T_{c}=1/(2{\sqrt {\log 2}})}$${\displaystyle T<T_{c}}$${\displaystyle E\simeq -NJ{\sqrt {\log 2}}}$

• Modelo de subcubo aleatorio