Modelo de Solow-Swan

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El modelo de Solow-Swan o modelo de crecimiento exógeno es un modelo económico de crecimiento económico de largo plazo . Intenta explicar el crecimiento económico de largo plazo observando la acumulación de capital , el crecimiento del trabajo o de la población y los aumentos de la productividad impulsados ​​en gran medida por el progreso tecnológico. En esencia, es una función de producción agregada , a menudo especificada como de tipo Cobb-Douglas , que permite que el modelo "haga contacto con la microeconomía ". ^{[1] : 26} El modelo fue desarrollado independientemente por Robert Solow y Trevor Swan en 1956, ^{[2] [3] [nota 1]} y reemplazó al modelo keynesiano Harrod-Domar .

Matemáticamente, el modelo de Solow-Swan es un sistema no lineal que consiste en una única ecuación diferencial ordinaria que modela la evolución del stock de capital per cápita . Debido a sus características matemáticas particularmente atractivas, Solow-Swan demostró ser un punto de partida conveniente para varias extensiones. Por ejemplo, en 1965, David Cass y Tjalling Koopmans integraron el análisis de Frank Ramsey sobre la optimización del consumidor ^[4] , endogenizando así ^[5] la tasa de ahorro , para crear lo que ahora se conoce como el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans .

El modelo de Solow-Swan fue una extensión del modelo de Harrod-Domar de 1946 que abandonó el supuesto restrictivo de que sólo el capital contribuye al crecimiento (siempre que haya suficiente mano de obra para utilizar todo el capital). Los trabajos realizados por Solow y Swan en 1956 aportaron importantes contribuciones al modelo, ya que ambos desarrollaron de forma independiente modelos de crecimiento relativamente simples. ^{[2] [3]} El modelo de Solow se ajustó a los datos disponibles sobre el crecimiento económico de Estados Unidos con cierto éxito. ^[6] En 1987, Solow recibió el Premio Nobel de Economía por su trabajo. Hoy en día, los economistas utilizan la contabilidad de fuentes de crecimiento de Solow para estimar los efectos separados del cambio tecnológico, el capital y la mano de obra sobre el crecimiento económico. ^[7]

El modelo de Solow es también uno de los modelos más utilizados en economía para explicar el crecimiento económico. ^[8] Básicamente, afirma que los resultados en la " productividad total de los factores (PTF) pueden conducir a aumentos ilimitados en el nivel de vida de un país". ^[8]

Solow amplió el modelo de Harrod-Domar añadiendo el trabajo como factor de producción y ratios capital-producto que no son fijos como en el modelo de Harrod-Domar. Estos refinamientos permiten distinguir la creciente intensidad del capital del progreso tecnológico. Solow considera la función de producción de proporciones fijas como un "supuesto crucial" para los resultados de inestabilidad en el modelo de Harrod-Domar. Su propio trabajo amplía esto al explorar las implicaciones de especificaciones alternativas, a saber, la Cobb-Douglas y la más general elasticidad de sustitución constante (CES) . ^[2] Aunque esto se ha convertido en la historia canónica y celebrada ^[9] en la historia de la economía, que aparece en muchos libros de texto de economía, ^[10] una reevaluación reciente del trabajo de Harrod lo ha cuestionado. Una crítica central es que el artículo original de Harrod ^[11] no se ocupaba principalmente del crecimiento económico ni usaba explícitamente una función de producción de proporciones fijas. ^{[10] [12]}

Un modelo estándar de Solow predice que, en el largo plazo, las economías convergen hacia su equilibrio de crecimiento equilibrado y que el crecimiento permanente del ingreso per cápita sólo se puede lograr mediante el progreso tecnológico. Tanto los cambios en el ahorro como en el crecimiento demográfico sólo causan efectos de nivel en el largo plazo (es decir, en el valor absoluto del ingreso real per cápita). Una implicación interesante del modelo de Solow es que los países pobres deberían crecer más rápido y, con el tiempo, alcanzar a los países más ricos. Esta convergencia podría explicarse por: ^[13]

• Rezagos en la difusión del conocimiento. Las diferencias en el ingreso real podrían reducirse a medida que los países pobres reciban mejor tecnología e información;
• Asignación eficiente de los flujos internacionales de capital, ya que la tasa de retorno del capital debería ser mayor en los países más pobres. En la práctica, esto rara vez se observa y se conoce como la paradoja de Lucas ;
• Una implicación matemática del modelo (suponiendo que los países pobres aún no han alcanzado su estado estable).

Baumol intentó verificar esto empíricamente y encontró una correlación muy fuerte entre el crecimiento de la producción de un país durante un largo período de tiempo (1870 a 1979) y su riqueza inicial. ^[14] Sus hallazgos fueron posteriormente cuestionados por DeLong , quien afirmó que tanto la falta de aleatoriedad de los países muestreados como la posibilidad de errores de medición significativos para las estimaciones del ingreso real per cápita en 1870, sesgaron los hallazgos de Baumol. DeLong concluye que hay poca evidencia que respalde la teoría de la convergencia.

El supuesto clave del modelo de crecimiento de Solow-Swan es que el capital está sujeto a rendimientos decrecientes en una economía cerrada.

• Dado un stock fijo de trabajo, el impacto sobre la producción de la última unidad de capital acumulada siempre será menor que la anterior.
• Suponiendo, para simplificar, que no hay progreso tecnológico ni crecimiento de la fuerza laboral, los rendimientos decrecientes implican que en algún punto la cantidad de nuevo capital producido es apenas suficiente para compensar la cantidad de capital existente perdido debido a la depreciación. ^[1] En este punto, debido a los supuestos de que no hay progreso tecnológico ni crecimiento de la fuerza laboral, podemos ver que la economía deja de crecer.
• Suponer tasas de crecimiento laboral distintas de cero complica un poco las cosas, pero la lógica básica todavía se aplica ^[2] : en el corto plazo, la tasa de crecimiento se desacelera a medida que entran en vigor los rendimientos decrecientes y la economía converge a una tasa de crecimiento constante de "estado estable" (es decir, sin crecimiento económico per cápita).
• Incluir un progreso tecnológico distinto de cero es muy similar a suponer un crecimiento de la fuerza laboral distinto de cero, en términos de "trabajo efectivo": se alcanza un nuevo estado estacionario con una producción constante por hora de trabajo requerida para una unidad de producción . Sin embargo, en este caso, la producción per cápita crece a la tasa del progreso tecnológico en el "estado estacionario" ^[3] (es decir, la tasa de crecimiento de la productividad ).

En el modelo de Solow-Swan, el cambio inexplicado en el crecimiento de la producción después de tener en cuenta el efecto de la acumulación de capital se denomina residuo de Solow . Este residuo mide el aumento exógeno de la productividad total de los factores (PTF) durante un período de tiempo determinado. El aumento de la PTF suele atribuirse por completo al progreso tecnológico, pero también incluye cualquier mejora permanente en la eficiencia con la que se combinan los factores de producción a lo largo del tiempo. Implícitamente, el crecimiento de la PTF incluye cualquier mejora permanente de la productividad que resulte de mejores prácticas de gestión en los sectores privado o público de la economía. Paradójicamente, aunque el crecimiento de la PTF es exógeno en el modelo, no se puede observar, por lo que solo se puede estimar junto con la estimación simultánea del efecto de la acumulación de capital sobre el crecimiento durante un período de tiempo determinado.

El modelo se puede reformular de maneras ligeramente diferentes utilizando diferentes supuestos de productividad o diferentes métricas de medición:

• La productividad laboral promedio ( ALP ) es la producción económica por hora de trabajo.
• La productividad multifactorial ( PMF ) es el resultado dividido por un promedio ponderado de los insumos de capital y trabajo. Las ponderaciones utilizadas se basan generalmente en las participaciones totales de los insumos que cada factor obtiene. Esta relación se suele expresar como: 33 % de rendimiento del capital y 67 % de rendimiento del trabajo (en los países occidentales).

En una economía en crecimiento, el capital se acumula más rápido que el nacimiento de las personas, por lo que el denominador de la función de crecimiento en el cálculo del PFM crece más rápido que en el cálculo del PFA. Por lo tanto, el crecimiento del PFM es casi siempre menor que el del PFA. (Por lo tanto, la medición en términos de PFA aumenta el efecto aparente de profundización del capital ). El PFM se mide por el " residuo de Solow ", no por el PFA.

El modelo de Solow-Swan del libro de texto se sitúa en un mundo de tiempo continuo sin gobierno ni comercio internacional. Se produce un único bien (producto) utilizando dos factores de producción , trabajo ( ) y capital ( ) en una función de producción agregada que satisface las condiciones de Inada , que implican que la elasticidad de sustitución debe ser asintóticamente igual a uno. ^{[15] [16]}${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,}$

donde denota tiempo, es la elasticidad de la producción con respecto al capital y representa la producción total. se refiere a la tecnología que aumenta el trabajo o “ conocimiento ”, por lo tanto representa el trabajo efectivo. Todos los factores de producción están completamente empleados y se dan los valores iniciales , , y . El número de trabajadores, es decir, el trabajo, así como el nivel de tecnología crecen exógenamente a tasas y , respectivamente:${\displaystyle t}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$${\displaystyle Y(t)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AL}$${\displaystyle A(0)}$${\displaystyle K(0)}$${\displaystyle L(0)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}$

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{gt}}$

Por lo tanto, el número de unidades efectivas de trabajo, , crece a una tasa . Mientras tanto, el stock de capital se deprecia con el tiempo a una tasa constante . Sin embargo, solo se consume una fracción de la producción ( con ) , lo que deja una parte ahorrada para la inversión . Esta dinámica se expresa mediante la siguiente ecuación diferencial :${\displaystyle A(t)L(t)}$${\displaystyle (n+g)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle cY(t)}$${\displaystyle 0<c<1}$${\displaystyle s=1-c}$

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,}$

donde es la abreviatura de , la derivada con respecto al tiempo. La derivada con respecto al tiempo significa que es el cambio en el stock de capital (la producción que no se consume ni se utiliza para reemplazar bienes de capital viejos y desgastados) es inversión neta.${\displaystyle {\dot {K}}}$${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}}$

Dado que la función de producción tiene rendimientos constantes a escala , puede escribirse como producción por unidad efectiva de trabajo , que es una medida de la creación de riqueza: ^{[nota 2]}${\displaystyle Y(K,AL)}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }}$

El principal interés del modelo es la dinámica de la intensidad del capital , el stock de capital por unidad de trabajo efectivo. Su comportamiento a lo largo del tiempo viene dado por la ecuación clave del modelo de Solow-Swan: ^{[nota 3]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)}$

El primer término, , es la inversión real por unidad de trabajo efectivo: la fracción de la producción por unidad de trabajo efectivo que se ahorra y se invierte. El segundo término, , es la “inversión de equilibrio”: la cantidad de inversión que debe invertirse para evitar que caiga. ^{[17] : 16} La ecuación implica que converge a un valor de estado estacionario de , definido por , en el que no hay ni un aumento ni una disminución de la intensidad del capital:${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=sy(t)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle (n+g+\delta )k(t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle k^{*}}$${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,}$

en el que el stock de capital y de trabajo efectivo crece a un ritmo . Asimismo, es posible calcular el estado estacionario de la riqueza creada que corresponde a :${\displaystyle K}$${\displaystyle AL}$${\displaystyle (n+g)}$${\displaystyle y^{*}}$${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,}$

Suponiendo que los rendimientos son constantes, la producción también crece a esa tasa. En esencia, el modelo de Solow-Swan predice que una economía convergerá hacia un equilibrio de crecimiento equilibrado , independientemente de su punto de partida. En esta situación, el crecimiento de la producción por trabajador está determinado únicamente por la tasa de progreso tecnológico. ^{[17] : 18}${\displaystyle Y}$

Dado que, por definición, en el equilibrio tenemos${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }}$${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}}$

Por lo tanto, en el equilibrio, la relación capital/producto depende únicamente de las tasas de ahorro, crecimiento y depreciación. Esta es la versión del modelo de Solow-Swan de la regla de oro de la tasa de ahorro .

Dado que en cualquier momento el producto marginal del capital en el modelo de Solow-Swan está inversamente relacionado con la relación capital/trabajo.${\displaystyle {\alpha }<1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

Si la productividad es la misma en todos los países, los países con menos capital por trabajador tienen un producto marginal más alto, lo que generaría un mayor rendimiento de la inversión de capital. En consecuencia, el modelo predice que en un mundo de economías de mercado abiertas y capital financiero global, la inversión fluirá de los países ricos a los países pobres, hasta que la relación capital/trabajador y la relación ingreso/trabajador se igualen en todos los países.${\displaystyle A}$${\displaystyle K/L}$${\displaystyle K/L}$${\displaystyle Y/L}$

Dado que el producto marginal del capital físico no es mayor en los países pobres que en los países ricos, ^[18] la implicación es que la productividad es menor en los países pobres. El modelo básico de Solow no puede explicar por qué la productividad es menor en estos países. Lucas sugirió que los niveles más bajos de capital humano en los países pobres podrían explicar la menor productividad. ^[19]

Porque el producto marginal del capital es igual a la tasa de rendimiento${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}={\frac {rK}{Y}}\,}$

De modo que esa es la fracción del ingreso apropiada por el capital. Por lo tanto, el modelo de Solow-Swan supone desde el principio que la distribución del ingreso entre el trabajo y el capital es constante.${\displaystyle \alpha }$

En 1992, N. Gregory Mankiw , David Romer y David N. Weil teorizaron una versión del modelo de Solow-Swan, ampliada para incluir un papel para el capital humano , que puede explicar el fracaso de la inversión internacional en fluir hacia los países pobres. ^[20] En este modelo, la producción y el producto marginal del capital (K) son menores en los países pobres porque tienen menos capital humano que los países ricos.

Similar al modelo de Solow-Swan del libro de texto, la función de producción es del tipo Cobb-Douglas:

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }H(t)^{\beta }(A(t)L(t))^{1-\alpha -\beta },}$

donde es el stock de capital humano, que se deprecia al mismo ritmo que el capital físico. Para simplificar, suponen la misma función de acumulación para ambos tipos de capital. Como en Solow-Swan, una fracción del resultado, , se ahorra en cada período, pero en este caso se divide y se invierte en parte en capital físico y en parte en capital humano, de modo que . Por lo tanto, hay dos ecuaciones dinámicas fundamentales en este modelo:${\displaystyle H(t)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle sY(t)}$${\displaystyle s=s_{K}+s_{H}}$

${\displaystyle {\dot {k}}=s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k}$

${\displaystyle {\dot {h}}=s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h}$

La trayectoria de crecimiento en equilibrio equilibrado (o en estado estacionario) está determinada por , lo que significa que y . Al resolver el nivel de estado estacionario de y se obtiene:${\displaystyle {\dot {k}}={\dot {h}}=0}$${\displaystyle s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k=0}$${\displaystyle s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h=0}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

${\displaystyle h^{*}=\left({\frac {s_{K}^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

En el estado estacionario, .${\displaystyle y^{*}=(k^{*})^{\alpha }(h^{*})^{\beta }}$

Klenow y Rodríguez-Clare ponen en duda la validez del modelo ampliado porque las estimaciones de Mankiw, Romer y Weil de no parecían coherentes con las estimaciones aceptadas del efecto de los aumentos en la escolaridad sobre los salarios de los trabajadores. Aunque el modelo estimado explicaba el 78% de la variación en los ingresos entre países, las estimaciones de implicaban que los efectos externos del capital humano sobre el ingreso nacional son mayores que su efecto directo sobre los salarios de los trabajadores. ^[21]${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle {\beta }}$

Theodore Breton aportó una idea que conciliaba el gran efecto del capital humano de la escolaridad en el modelo de Mankiw, Romer y Weil con el efecto menor de la escolaridad en los salarios de los trabajadores. Demostró que las propiedades matemáticas del modelo incluyen efectos externos significativos entre los factores de producción, porque el capital humano y el capital físico son factores de producción multiplicativos. ^[22] El efecto externo del capital humano sobre la productividad del capital físico es evidente en el producto marginal del capital físico:

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }(H/L)^{\beta }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

Demostró que las grandes estimaciones del efecto del capital humano en las estimaciones del modelo entre países son coherentes con el efecto menor que se encuentra típicamente en los salarios de los trabajadores cuando se tienen en cuenta los efectos externos del capital humano sobre el capital físico y el trabajo. Esta idea refuerza significativamente los argumentos a favor de la versión de Mankiw, Romer y Weil del modelo de Solow-Swan. La mayoría de los análisis que critican este modelo no tienen en cuenta los efectos externos pecuniarios de ambos tipos de capital inherentes al modelo. ^[22]

La tasa exógena de crecimiento de la PTF ( productividad total de los factores ) en el modelo de Solow-Swan es el residuo después de tener en cuenta la acumulación de capital. El modelo de Mankiw, Romer y Weil proporciona una estimación más baja de la PTF (residual) que el modelo básico de Solow-Swan porque la adición del capital humano al modelo permite que la acumulación de capital explique una mayor parte de la variación en el ingreso entre países. En el modelo básico, el residuo de la PTF incluye el efecto del capital humano porque el capital humano no se incluye como factor de producción.

El modelo de Solow-Swan ampliado con el capital humano predice que los niveles de ingresos de los países pobres tenderán a alcanzar o converger hacia los niveles de ingresos de los países ricos si los países pobres tienen tasas de ahorro similares tanto para el capital físico como para el capital humano como porcentaje de la producción, un proceso conocido como convergencia condicional. Sin embargo, las tasas de ahorro varían ampliamente entre países. En particular, como existen considerables restricciones financieras para la inversión en educación, es probable que las tasas de ahorro para el capital humano varíen en función de las características culturales e ideológicas de cada país. ^[23]

Desde los años 1950, la relación producto/trabajador en los países ricos y pobres en general no ha convergido, pero aquellos países pobres que han aumentado considerablemente sus tasas de ahorro han experimentado la convergencia de ingresos predicha por el modelo de Solow-Swan. Por ejemplo, la relación producto/trabajador en Japón , un país que alguna vez fue relativamente pobre, ha convergido al nivel de los países ricos. Japón experimentó altas tasas de crecimiento después de que aumentó sus tasas de ahorro en los años 1950 y 1960, y ha experimentado una desaceleración del crecimiento de la relación producto/trabajador desde que sus tasas de ahorro se estabilizaron alrededor de 1970, como predijo el modelo.

Los niveles de ingreso per cápita de los estados del sur de los Estados Unidos han tendido a converger con los niveles de los estados del norte. La convergencia observada en estos estados también es consistente con el concepto de convergencia condicional . La ocurrencia de una convergencia absoluta entre países o regiones depende de si tienen características similares, como:

• Política educativa
• Acuerdos institucionales
• Mercados libres a nivel interno y política comercial con otros países. ^[24]

Evidencia adicional de convergencia condicional proviene de regresiones multivariadas entre países. ^[25]

El análisis econométrico de Singapur y los demás " tigres del este asiático " ha producido el sorprendente resultado de que, si bien la producción por trabajador ha ido aumentando, casi nada de su rápido crecimiento se ha debido al aumento de la productividad per cápita (tienen un " residuo de Solow " bajo). ^[7]

• Crecimiento económico
• Teoría del crecimiento endógeno

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• Farmer, Roger EA (1999). "Teoría del crecimiento neoclásico". Macroeconomía (segunda edición). Cincinnati: South-Western. págs. 333–355. ISBN 978-0-324-12058-5.
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• Van Rijckeghem Willy (1963): La estructura de algunos modelos de crecimiento macroeconómico: una comparación. Weltwirtschaftliches Archiv volumen 91 pp. 84–100

• Vídeos del modelo de Solow: más de 20 vídeos que explican la derivación de las conclusiones del modelo de crecimiento de Solow
• Explicación en video de Marginal Revolution University
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