Relación de dispersión

En las ciencias físicas y la ingeniería eléctrica , las relaciones de dispersión describen el efecto de la dispersión en las propiedades de las ondas en un medio. Una relación de dispersión relaciona la longitud de onda o el número de onda de una onda con su frecuencia . Dada la relación de dispersión, se puede calcular la velocidad de fase y la velocidad de grupo dependientes de la frecuencia de cada componente sinusoidal de una onda en el medio, en función de la frecuencia. Además de las relaciones de dispersión dependientes de la geometría y del material, las relaciones generales de Kramers-Kronig describen la dependencia de la frecuencia de la propagación y atenuación de las ondas .

La dispersión puede ser causada por condiciones geométricas de contorno ( guías de ondas , aguas poco profundas) o por la interacción de las ondas con el medio de transmisión. Las partículas elementales , consideradas como ondas de materia , tienen una relación de dispersión no trivial, incluso en ausencia de restricciones geométricas y otros medios.

En presencia de dispersión, una onda no se propaga con una forma de onda inmutable, lo que da lugar a la distinta velocidad de fase y velocidad de grupo dependientes de la frecuencia .

La dispersión se produce cuando las ondas sinusoidales de diferentes longitudes de onda tienen diferentes velocidades de propagación, de modo que un paquete de ondas de longitudes de onda mixtas tiende a dispersarse en el espacio. La velocidad de una onda plana, , es una función de la longitud de onda de la onda :${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización \lambda}$

${\displaystyle v=v(\lambda).}$

La velocidad, la longitud de onda y la frecuencia de la onda, f , están relacionadas por la identidad

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).}$

La función expresa la relación de dispersión del medio dado. Las relaciones de dispersión se expresan más comúnmente en términos de frecuencia angular y número de onda . Reescribiendo la relación anterior en estas variables se obtiene${\displaystyle f(\lambda )}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\cdot k.}$

donde ahora vemos f como una función de k . El uso de ω ( k ) para describir la relación de dispersión se ha vuelto estándar porque tanto la velocidad de fase ω / k como la velocidad de grupo dω / dk tienen representaciones convenientes a través de esta función.

Las ondas planas que se están considerando se pueden describir mediante

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)},}$

dónde

• A es la amplitud de la onda,
• Un ₀ = Un (0, 0),
• x es una posición a lo largo de la dirección de viaje de la onda, y
• t es el tiempo en el que se describe la onda.

Las ondas planas en el vacío son el caso más simple de propagación de ondas: no hay restricciones geométricas ni interacción con un medio de transmisión.

Para las ondas electromagnéticas en el vacío, la frecuencia angular es proporcional al número de onda:

${\displaystyle \omega =ck.}$

Se trata de una relación de dispersión lineal . En este caso, la velocidad de fase y la velocidad de grupo son las mismas:

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c,}$

y por lo tanto ambas son iguales a la velocidad de la luz en el vacío, que es independiente de la frecuencia.

Para las ondas de materia de De Broglie, la relación de dispersión de frecuencia no es lineal: la ecuación dice que la frecuencia de la onda de materia en el vacío varía con el número de onda ( ) en la aproximación no relativista. La variación tiene dos partes: una parte constante debido a la frecuencia de De Broglie de la masa en reposo ( ) y una parte cuadrática debido a la energía cinética.$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

Si bien las aplicaciones de las ondas de materia ocurren a velocidades no relativistas, De Broglie aplicó la relatividad especial para derivar sus ondas. Partiendo de la relación energía-momento relativista : utilice las relaciones de De Broglie para la energía y el momento de las ondas de materia .$${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

donde ω es la frecuencia angular y k es el vector de onda con magnitud | k | = k , igual al número de onda . Dividir por y sacar la raíz cuadrada. Esto da la relación de dispersión de frecuencia relativista :${\displaystyle \hbar }$$${\displaystyle \omega (k)={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$

El trabajo práctico con ondas de materia se realiza a una velocidad no relativista. Para aproximarnos, extraemos la frecuencia dependiente de la masa en reposo:$${\displaystyle \omega ={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}{\sqrt {1+\left({\frac {k\hbar }{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

Luego vemos que el factor es muy pequeño, por lo que, para que no sea demasiado grande, desarrollamos y multiplicamos: Esto nos da la aproximación no relativista que analizamos anteriormente. Si empezamos con la ecuación no relativista de Schrödinger , terminaremos sin el primer término, la masa en reposo.${\displaystyle \hbar /c}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}\approx 1+x^{2}/2,}$$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

Animación: fase y velocidad de grupo de los electrones

Esta animación muestra las velocidades de fase y de grupo de De Broglie (en cámara lenta) de tres electrones libres que viajan sobre un campo de 0,4 ångströms de ancho. El momento por unidad de masa (velocidad propia) del electrón del medio es la velocidad de la luz, por lo que su velocidad de grupo es 0,707 c . El electrón superior tiene el doble de momento, mientras que el electrón inferior tiene la mitad. Nótese que a medida que aumenta el momento, la velocidad de fase disminuye hasta c , mientras que la velocidad de grupo aumenta hasta c , hasta que el paquete de ondas y sus máximos de fase se mueven juntos cerca de la velocidad de la luz, mientras que la longitud de onda continúa disminuyendo sin límite. Tanto los anchos de coherencia transversales como longitudinales (tamaños de paquete) de estos electrones de alta energía en el laboratorio pueden ser órdenes de magnitud mayores que los que se muestran aquí.

Como se mencionó anteriormente, cuando el enfoque en un medio se centra en la refracción en lugar de la absorción (es decir, en la parte real del índice de refracción ), es común referirse a la dependencia funcional de la frecuencia angular con respecto al número de onda como la relación de dispersión . Para las partículas, esto se traduce en un conocimiento de la energía como una función del momento.

El nombre de “relación de dispersión” proviene originalmente de la óptica . Es posible hacer que la velocidad efectiva de la luz dependa de la longitud de onda haciendo pasar la luz a través de un material que tenga un índice de refracción no constante , o utilizando luz en un medio no uniforme como una guía de ondas . En este caso, la forma de onda se extenderá en el tiempo, de modo que un pulso estrecho se convertirá en un pulso extendido, es decir, se dispersará. En estos materiales, se conoce como velocidad de grupo ^[1] y corresponde a la velocidad a la que se propaga el pico del pulso, un valor diferente de la velocidad de fase . ^[2]${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$

La relación de dispersión para ondas en aguas profundas a menudo se escribe como

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$

donde g es la aceleración debida a la gravedad. En este sentido, el agua profunda se suele considerar como el caso en el que la profundidad del agua es mayor que la mitad de la longitud de onda. ^[3] En este caso, la velocidad de fase es

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}$

y la velocidad del grupo es

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

Para una cuerda ideal, la relación de dispersión se puede escribir como

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

donde T es la fuerza de tensión en la cuerda y μ es la masa de la cuerda por unidad de longitud. Como en el caso de las ondas electromagnéticas en el vacío, las cuerdas ideales son un medio no dispersivo, es decir, las velocidades de fase y de grupo son iguales e independientes (de primer orden) de la frecuencia de vibración.

Para una cuerda no ideal, donde se tiene en cuenta la rigidez, la relación de dispersión se escribe como

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}$

donde es una constante que depende de la cadena.${\displaystyle \alpha }$

En el estudio de los sólidos, el estudio de la relación de dispersión de los electrones es de suma importancia. La periodicidad de los cristales significa que son posibles muchos niveles de energía para un momento dado y que algunas energías podrían no estar disponibles en cualquier momento. El conjunto de todas las energías y momentos posibles se conoce como la estructura de bandas de un material. Las propiedades de la estructura de bandas definen si el material es un aislante , un semiconductor o un conductor .

Los fonones son a las ondas sonoras en un sólido lo que los fotones son a la luz: son los cuantos que la transportan. La relación de dispersión de los fonones también es no trivial e importante, estando directamente relacionada con las propiedades acústicas y térmicas de un material. Para la mayoría de los sistemas, los fonones pueden categorizarse en dos tipos principales: aquellos cuyas bandas se vuelven cero en el centro de la zona de Brillouin se denominan fonones acústicos , ya que corresponden al sonido clásico en el límite de las longitudes de onda largas. Los demás son fonones ópticos , ya que pueden ser excitados por la radiación electromagnética.

Con electrones de alta energía (por ejemplo, 200 keV, 32 fJ) en un microscopio electrónico de transmisión , la dependencia energética de las líneas de la zona de Laue de orden superior (HOLZ) en patrones de difracción de electrones de haz convergente (CBED) permite, en efecto, obtener imágenes directas de secciones transversales de la superficie de dispersión tridimensional de un cristal . ^[4] Este efecto dinámico ha encontrado aplicación en la medición precisa de parámetros de red, energía del haz y, más recientemente, para la industria electrónica: deformación de red.

Isaac Newton estudió la refracción en prismas, pero no reconoció la dependencia material de la relación de dispersión, descartando el trabajo de otro investigador cuya medición de la dispersión de un prisma no coincidía con la de Newton. ^[5]

La dispersión de las ondas en el agua fue estudiada por Pierre-Simon Laplace en 1776. ^[6]

La universalidad de las relaciones de Kramers-Kronig (1926-27) se hizo evidente con artículos posteriores sobre la conexión de la relación de dispersión con la causalidad en la teoría de dispersión de todos los tipos de ondas y partículas. ^[7]

• Elipsometría
• Pulso ultracorto
• Ondas en plasmas

• Póster sobre simulaciones CBED para ayudar a visualizar superficies de dispersión, por Andrey Chuvilin y Ute Kaiser
• Calculadora de frecuencia angular