Medida verde

En matemáticas —específicamente, en análisis estocástico— la medida de Green es una medida asociada a una difusión de Itō . Existe una fórmula de Green asociada que representa funciones adecuadamente suaves en términos de la medida de Green y los primeros tiempos de salida de la difusión. Los conceptos reciben su nombre del matemático británico George Green y son generalizaciones de la función de Green clásica y la fórmula de Green al caso estocástico utilizando la fórmula de Dynkin .

Sea X una difusión de Itō con valor R ⁿ que satisface una ecuación diferencial estocástica de Itō de la forma

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}.}$

Sea P ^x la ley de X dada la condición inicial X ₀  =  x , y sea E x ^la esperanza con respecto a P ^x . Sea L _X el generador infinitesimal de X , es decir

${\displaystyle L_{X}=\suma _{i}b_{i}{\frac {\parcial }{\parcial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\suma _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x_{i}\,\parcial x_{j}}}.}$

Sea D  ⊆  R ⁿ un dominio abierto y acotado ; sea τ _D el primer tiempo de salida de X desde D :

${\displaystyle \tau _{D}:=\inf\{t\geq 0|X_{t}\no \en D\}.}$

Intuitivamente, la medida de Green de un conjunto de Borel H (con respecto a un punto x y dominio D ) es el tiempo esperado que X , habiendo comenzado en x , permanece en H antes de abandonar el dominio D. Es decir, la medida de Green de X con respecto a D en x , denotada G ( x , ⋅), se define para los conjuntos de Borel H  ⊆  R ⁿ por

${\displaystyle G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],}$

o para funciones continuas acotadas f  :  D  →  R por

${\displaystyle \int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]}$

El nombre "medida verde" proviene del hecho de que si X es el movimiento browniano , entonces

${\displaystyle G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,}$

donde G ( x ,  y ) es la función de Green para el operador L _X (que, en el caso del movimiento browniano, es ⁠1/2⁠ Δ, donde Δ es el operador de Laplace ) en el dominio D .

Supóngase que E ^x [ τ _D ] < +∞ para todo x  ∈  D , y sea f  :  R ⁿ  →  R de clase de suavidad C ² con soporte compacto . Entonces

${\displaystyle f(x)=\mathbf {E} ^{x}{\big [}f{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}{\big ]}-\int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

En particular, para C ² funciones f con soporte integrado de forma compacta en D ,

${\displaystyle f(x)=-\int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

La prueba de la fórmula de Green es una aplicación fácil de la fórmula de Dynkin y la definición de la medida de Green:

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}{\big ]}}$

${\displaystyle =f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}L_{X}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]}$

${\displaystyle =f(x)+\int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (sexta edición). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1. MR 2001996 (Ver Sección 9)