Medida aleatoria de Poisson

Sea un espacio de medida con una medida finita . La medida aleatoria de Poisson con una medida de intensidad es una familia de variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad tal que${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$${\estilo de visualización \sigma}$ ${\estilo de visualización \mu}$ ${\estilo de visualización \mu}$ ${\displaystyle \{N_{A}\}_{A\in {\mathcal {A}}}}$ ${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},\mathrm {P})}$

i) es una variable aleatoria de Poisson con tasa .${\displaystyle \para todo A\en {\mathcal {A}},\quad N_{A}}$${\displaystyle \mu (A)}$

ii) Si los conjuntos no se intersecan, entonces las variables aleatorias correspondientes de i) son mutuamente independientes .${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}}$

iii) es una medida sobre${\displaystyle \paratodos \omega \en \Omega \;N_{\bullet }(\omega )}$${\displaystyle (E,{\mathcal {A}})}$

Si entonces satisface las condiciones i)–iii). De lo contrario, en el caso de medida finita , dada , una variable aleatoria de Poisson con tasa , y , variables aleatorias mutuamente independientes con distribución , defina donde es una medida degenerada ubicada en . Entonces será una medida aleatoria de Poisson. En el caso de que no sea finita la medida se puede obtener a partir de las medidas construidas anteriormente sobre partes de donde es finito.${\displaystyle \mu \equiv 0}$${\displaystyle N\equiv 0}$ ${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización Z}$${\displaystyle \mu (E)}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\lpuntos}$ ${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu (E)}}}$${\displaystyle N_{\cdot}(\omega )=\suma \límites _{i=1}^{Z(\omega )}\delta _{X_{i}(\omega )}(\cdot )}$$estilo de visualización delta _{c}(A)}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización \mu}$ ${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización \mu}$

Este tipo de medida aleatoria se utiliza a menudo al describir saltos de procesos estocásticos , en particular en la descomposición de Lévy-Itō de los procesos de Lévy .

La medida aleatoria de Poisson se generaliza a las medidas aleatorias de tipo Poisson , donde los miembros de la familia PT son invariantes bajo restricción a un subespacio.

• Sato, K. (2010). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55302-5.