El péndulo de Kater

El péndulo de Kater es un péndulo reversible de libre oscilación inventado por el físico y capitán del ejército británico Henry Kater en 1817, publicado el 29 de enero de 1818 ^[1] para su uso como instrumento gravímetro para medir la aceleración local de la gravedad . Su ventaja es que, a diferencia de los gravímetros de péndulo anteriores, no es necesario determinar el centro de gravedad ni el centro de oscilación del péndulo , lo que permite una mayor precisión. Durante aproximadamente un siglo, hasta la década de 1930, el péndulo de Kater y sus diversos refinamientos siguieron siendo el método estándar para medir la fuerza de la gravedad de la Tierra durante los estudios geodésicos . Ahora se utiliza solo para demostrar los principios del péndulo.

Se puede utilizar un péndulo para medir la aceleración de la gravedad g porque para oscilaciones estrechas su período de oscilación T depende solo de g y su longitud L : ^[2]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

Entonces, midiendo la longitud L y el período T de un péndulo, se puede calcular g .

El péndulo de Kater consiste en una barra metálica rígida con dos puntos de pivote, uno cerca de cada extremo de la barra. Puede colgarse de cualquiera de los dos pivotes y balancearse. También tiene un peso ajustable que puede moverse hacia arriba y hacia abajo de la barra, o un pivote ajustable, para ajustar los períodos de oscilación. En uso, se balancea desde un pivote, y se cronometra el período , y luego se le da la vuelta y se balancea desde el otro pivote, y se cronometra el período. El peso móvil (o pivote) se ajusta hasta que los dos períodos sean iguales. En este punto, el período T es igual al período de un péndulo simple "ideal" de longitud igual a la distancia entre los pivotes. A partir del período y la distancia medida L entre los pivotes, la aceleración de la gravedad se puede calcular con gran precisión a partir de la ecuación (1) anterior.

La aceleración debida a la gravedad por el péndulo de Kater está dada por ^[3]

${\displaystyle g={\frac {8\pi ^{2}}{{\dfrac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{\ell _{1}+\ell _{2}}}+{\dfrac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{\ell _{1}-\ell _{2}}}}}}$

donde T ₁ y T ₂ son los períodos de tiempo de las oscilaciones cuando está suspendido de K ₁ y K ₂ respectivamente y ℓ ₁ y ℓ ₂ son las distancias de los filos de los cuchillos K ₁ y K ₂ desde el centro de gravedad respectivamente.

El primero en descubrir que la gravedad variaba sobre la superficie de la Tierra fue el científico francés Jean Richer , quien en 1671 fue enviado en una expedición a Cayena , Guayana Francesa , por la Academia de Ciencias de Francia , con la tarea de realizar mediciones con un reloj de péndulo . A través de las observaciones que realizó al año siguiente, Richer determinó que el reloj tenía una velocidad de 2+1 ⁄ 2 minutos por día más lento que en París, o equivalentemente la longitud de un péndulo con una oscilación de un segundo allí era 1+1 ⁄ 4 líneas de París, o 2,6 mm, más cortas que en París. ^{[4] [5]} Los científicos de la época se dieron cuenta, y Isaac Newton lo demostró en 1687, que esto se debía al hecho de que la Tierra no era una esfera perfecta sino ligeramente achatada ; era más gruesa en el ecuador debido a la rotación de la Tierra. Como la superficie estaba más lejos del centro de la Tierra en Cayena que en París, la gravedad era más débil allí. Después de que se hizo ese descubrimiento, los péndulos de oscilación libre comenzaron a usarse como gravímetros de precisión , llevados en viajes a diferentes partes del mundo para medir la aceleración gravitatoria local. La acumulación de datos geográficos de gravedad dio como resultado modelos cada vez más precisos de la forma general de la Tierra.

Los péndulos se usaban tan universalmente para medir la gravedad que, en la época de Kater, la fuerza local de la gravedad no se expresaba normalmente mediante el valor de la aceleración g que se utiliza ahora, sino mediante la longitud en esa ubicación del péndulo de segundos , un péndulo con un período de dos segundos, por lo que cada oscilación dura un segundo. Se puede ver en la ecuación (1) que, para un péndulo de segundos, la longitud es simplemente proporcional a g :

${\displaystyle g=\pi ^{2}L\,}$

En la época de Kater, el período T de los péndulos podía medirse con mucha precisión cronometrándolos con relojes de precisión ajustados por el paso de las estrellas en lo alto. Antes del descubrimiento de Kater, la precisión de las mediciones g estaba limitada por la dificultad de medir con precisión el otro factor L , la longitud del péndulo. L en la ecuación (1) anterior era la longitud de un "péndulo simple" matemático ideal que consistía en una masa puntual que oscilaba en el extremo de una cuerda sin masa. Sin embargo, la "longitud" de un péndulo real, un cuerpo rígido oscilante, conocido en mecánica como péndulo compuesto , es más difícil de definir. En 1673, el científico holandés Christiaan Huygens , en su análisis matemático de los péndulos, Horologium Oscillatorium , demostró que un péndulo real tenía el mismo período que un péndulo simple con una longitud igual a la distancia entre el punto de pivote y un punto llamado centro de oscilación , que se encuentra debajo del centro de gravedad del péndulo y depende de la distribución de masa a lo largo de la longitud del péndulo. El problema era que no había forma de encontrar la ubicación del centro de oscilación en un péndulo real con precisión. Teóricamente, se podría calcular a partir de la forma del péndulo si las partes metálicas tuvieran una densidad uniforme, pero la calidad metalúrgica y las habilidades matemáticas de la época no permitían realizar el cálculo con precisión.

Para evitar este problema, la mayoría de los primeros investigadores de la gravedad, como Jean Picard (1669), Charles Marie de la Condamine (1735) y Jean-Charles de Borda (1792), aproximaron un péndulo simple utilizando una esfera de metal suspendida de un cable ligero. Si el cable tenía una masa despreciable, el centro de oscilación estaba cerca del centro de gravedad de la esfera. Pero incluso encontrar el centro de gravedad de la esfera con precisión era difícil. Además, este tipo de péndulo no era inherentemente muy preciso. La esfera y el cable no oscilaban hacia adelante y hacia atrás como una unidad rígida, porque la esfera adquiría un ligero momento angular durante cada oscilación. Además, el cable se estiraba elásticamente durante la oscilación del péndulo, cambiando L ligeramente durante el ciclo.

Sin embargo, en Horologium Oscillatorium , Huygens también había demostrado que el punto pivote y el centro de oscilación eran intercambiables. Es decir, si cualquier péndulo se suspende boca abajo desde su centro de oscilación, tiene el mismo período de oscilación y el nuevo centro de oscilación es el antiguo punto pivote. La distancia entre estos dos puntos conjugados era igual a la longitud de un péndulo simple con el mismo período.

Como parte de un comité designado por la Royal Society en 1816 para reformar las medidas británicas, Kater había sido contratado por la Cámara de los Comunes para determinar con precisión la longitud del péndulo de segundos en Londres. ^[6] Se dio cuenta de que el principio de Huygens podía usarse para encontrar el centro de oscilación, y por lo tanto la longitud L , de un péndulo rígido (compuesto). Si un péndulo se colgara boca abajo de un segundo punto de pivote que pudiera ajustarse hacia arriba y hacia abajo en la varilla del péndulo, y el segundo pivote se ajustara hasta que el péndulo tuviera el mismo período que cuando oscilaba boca arriba desde el primer pivote, el segundo pivote estaría en el centro de oscilación, y la distancia entre los dos puntos de pivote sería L .

Kater no fue el primero en tener esta idea. ^{[7] [8]} El matemático francés Gaspard de Prony propuso por primera vez un péndulo reversible en 1800, pero su trabajo no se publicó hasta 1889. En 1811, Friedrich Bohnenberger lo descubrió nuevamente, pero Kater lo inventó de forma independiente y fue el primero en ponerlo en práctica.

Kater construyó un péndulo que consistía en una varilla de latón de unos 2 metros de largo, 1+1 ⁄ 2 pulgadas de ancho y un octavo de pulgada de espesor, con un peso (d) en un extremo. ^{[1] [9]} Para un pivote de baja fricción, utilizó un par de hojas cortas triangulares de 'cuchillo' unidas a la varilla. En uso, el péndulo se colgaba de un soporte en la pared, sostenido por los bordes de las hojas del cuchillo que descansaban sobre placas de ágata planas. El péndulo tenía dos de estos pivotes de hoja de cuchillo (a) , uno frente al otro, a aproximadamente un metro (40 pulgadas) de distancia, de modo que una oscilación del péndulo tomaba aproximadamente un segundo cuando se colgaba de cada pivote.

Kater descubrió que hacer que uno de los pivotes fuera ajustable causaba imprecisiones, lo que dificultaba mantener el eje de ambos pivotes exactamente paralelo. En lugar de eso, fijó permanentemente las hojas del cuchillo a la varilla y ajustó los períodos del péndulo mediante un pequeño peso móvil (b, c) en el eje del péndulo. Dado que la gravedad solo varía un máximo del 0,5 % sobre la Tierra, y en la mayoría de los lugares mucho menos que eso, el peso tuvo que ajustarse solo ligeramente. Mover el peso hacia uno de los pivotes disminuyó el período cuando se colgó de ese pivote y aumentó el período cuando se colgó del otro pivote. Esto también tuvo la ventaja de que la medición precisa de la separación entre los pivotes tuvo que hacerse solo una vez.

Para su uso, el péndulo se colgaba de un soporte en una pared, con los pivotes de las hojas del cuchillo apoyados en dos pequeñas placas horizontales de ágata, frente a un reloj de péndulo de precisión para cronometrar el período. Primero se balanceaba desde un pivote y se cronometraban las oscilaciones, luego se le daba la vuelta y se balanceaba desde el otro pivote, y se cronometraban las oscilaciones nuevamente. El pequeño peso (b) se ajustaba con el tornillo de ajuste y el proceso se repetía hasta que el péndulo tuviera el mismo período cuando se balanceaba desde cada pivote. Al colocar el período medido T y la distancia medida entre las hojas del pivote L en la ecuación del período (1), se podía calcular g con mucha precisión.

Kater realizó 12 ensayos. ^[1] Midió el período de su péndulo con mucha precisión utilizando el péndulo del reloj por el método de las coincidencias ; cronometrando el intervalo entre las coincidencias cuando los dos péndulos oscilaban en sincronía. Midió la distancia entre las palas del pivote con un comparador de microscopio, con una precisión de 10 ⁻⁴ pulgadas (2,5 μm). Al igual que con otras mediciones de gravedad con péndulo, tuvo que aplicar pequeñas correcciones al resultado para una serie de factores variables:

• el ancho distinto de cero de la oscilación del péndulo, lo que aumentó el período
• temperatura, lo que provocó que la longitud de la varilla variara debido a la expansión térmica
• presión atmosférica, que redujo la masa efectiva del péndulo por la flotabilidad del aire desplazado, aumentando el período
• Altitud, que reducía la fuerza gravitatoria con la distancia desde el centro de la Tierra. Las mediciones de gravedad siempre se refieren al nivel del mar .

Dio su resultado como la longitud del péndulo de segundos . Después de las correcciones, encontró que la longitud media del péndulo de segundos solares en Londres, al nivel del mar, a 62 °F (17 °C), oscilando en el vacío, era de 39,1386 pulgadas. Esto es equivalente a una aceleración gravitacional de 9,81158 m/s ² . La mayor variación de sus resultados con respecto a la media fue de 0,00028 pulgadas (7,1 μm). Esto representó una precisión de la medición de la gravedad de 0,7×10 ⁻⁵ (7 miligales ).

En 1824, el Parlamento británico hizo de la medida de Kater del péndulo de segundos el estándar oficial de longitud de respaldo para definir la yarda si se destruía el prototipo de yarda. ^{[10] [11] [12] [13]}

El gran aumento en la precisión de las mediciones de gravedad que hizo posible el péndulo de Kater estableció la gravimetría como una parte regular de la geodesia . Para que fuera útil, era necesario encontrar la ubicación exacta (latitud y longitud) de la "estación" donde se tomaba una medición de gravedad, por lo que las mediciones con péndulo pasaron a formar parte de la topografía . Los péndulos de Kater se tomaron en los grandes estudios geodésicos históricos de gran parte del mundo que se estaban realizando durante el siglo XIX. En particular, los péndulos de Kater se utilizaron en el Gran Estudio Trigonométrico de la India.

Los péndulos reversibles siguieron siendo el método estándar utilizado para las mediciones de gravedad absoluta hasta que fueron reemplazados por los gravímetros de caída libre en la década de 1950. ^[14]

Medir repetidamente el tiempo de cada período de un péndulo de Kater y ajustar los pesos hasta que fueran iguales era una tarea que consumía mucho tiempo y era propensa a errores. Friedrich Bessel demostró en 1826 que esto era innecesario. Mientras los períodos medidos desde cada pivote, T ₁ y T ₂ , sean de valores cercanos, el período T del péndulo simple equivalente se puede calcular a partir de ellos: ^[15]

${\displaystyle T^{2}={\frac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{2}}+{\frac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{2}}\left({\frac {h_{1}+h_{2}}{h_{1}-h_{2}}}\right)\,\qquad \qquad \qquad (2)}$

Aquí y son las distancias de los dos pivotes desde el centro de gravedad del péndulo. La distancia entre los pivotes, , se puede medir con gran precisión. y , y por lo tanto su diferencia , no se puede medir con una precisión comparable. Se encuentran equilibrando el péndulo en el borde de un cuchillo para encontrar su centro de gravedad y midiendo las distancias de cada uno de los pivotes desde el centro de gravedad. Sin embargo, debido a que es mucho más pequeño que , el segundo término a la derecha en la ecuación anterior es pequeño en comparación con el primero, por lo que no tiene que determinarse con alta precisión, y el procedimiento de equilibrio descrito anteriormente es suficiente para dar resultados precisos.$estilo de visualización h_{1}$${\estilo de visualización h_{2}\,}$${\displaystyle h_{1}+h_{2}\,}$$estilo de visualización h_{1}$${\estilo de visualización h_{2}\,}$${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$${\displaystyle T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\,}$${\displaystyle T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\,}$${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$

Por lo tanto, el péndulo no tiene por qué ser ajustable en absoluto, puede ser simplemente una varilla con dos pivotes. Siempre que cada pivote esté cerca del centro de oscilación del otro, de modo que los dos períodos estén próximos, el período T del péndulo simple equivalente se puede calcular con la ecuación (2), y la gravedad se puede calcular a partir de T y L con (1).

Además, Bessel demostró que si el péndulo se fabricaba con una forma simétrica, pero con un peso interno en un extremo, el error causado por los efectos de la resistencia del aire se anularía. Además, se podía anular otro error causado por el radio distinto de cero de los bordes de la cuchilla del pivote intercambiando los bordes de la cuchilla.

Bessel no construyó un péndulo de este tipo, pero en 1864 Adolf Repsold, bajo contrato con la Comisión Geodética Suiza, desarrolló un péndulo simétrico de 56 cm de largo con palas de pivote intercambiables, con un período de aproximadamente 3 ⁄ 4 de segundo. El péndulo de Repsold fue ampliamente utilizado por las agencias geodéticas suiza y rusa, y en el Survey of India . Otros péndulos de este diseño ampliamente utilizados fueron fabricados por Charles Peirce y C. Defforges.

La Conferencia de 1875 sobre la Medición del Arco Europeo se ocupó del mejor instrumento que se podía utilizar para la determinación de la gravedad. La asociación se decidió a favor del péndulo de reversión y se resolvió rehacer en Berlín, en la estación donde Friedrich Wilhelm Bessel hizo sus famosas mediciones, la determinación de la gravedad por medio de aparatos de diversos tipos empleados en diferentes países, con el fin de compararlos y así tener la ecuación de sus escalas, después de una discusión en profundidad en la que participó un erudito americano, Charles Sanders Peirce . ^[16] En efecto, como la figura de la Tierra podía inferirse a partir de las variaciones de la longitud del péndulo en segundos , la dirección del United States Coast Survey dio instrucciones a Charles Sanders Peirce en la primavera de 1875 para que se trasladara a Europa con el fin de hacer experimentos con péndulo en las principales estaciones iniciales para operaciones de este tipo, con el fin de poner en comunicación las determinaciones de las fuerzas de la gravedad en América con las de otras partes del mundo; y también con el fin de hacer un estudio cuidadoso de los métodos de llevar a cabo estas investigaciones en los diferentes países de Europa. ^[17]

La determinación de la gravedad mediante el péndulo reversible estaba sujeta a dos tipos de error. Por un lado, la resistencia del aire y, por otro, los movimientos que las oscilaciones del péndulo impartían a su plano de suspensión. Estos movimientos eran particularmente importantes con el aparato diseñado por los hermanos Repsold siguiendo las indicaciones de Bessel, porque el péndulo tenía una gran masa para contrarrestar el efecto de la viscosidad del aire. Mientras Emile Plantamour realizaba una serie de experimentos con este dispositivo, Adolph Hirsch encontró una manera de demostrar los movimientos del plano de suspensión del péndulo mediante un ingenioso proceso de amplificación óptica. Isaac-Charles Élisée Cellérier, matemático de Ginebra, y Charles Sanders Peirce desarrollarían independientemente una fórmula de corrección que permitía utilizar las observaciones realizadas con este tipo de gravímetro. ^{[18] [19]}

Presidente de la Comisión Permanente de la Medición del Arco Europeo de 1874 a 1886, Carlos Ibáñez Ibáñez de Ibero se convirtió en el primer presidente de la Asociación Geodésica Internacional (1887-1891) tras la muerte de Johann Jacob Baeyer . Bajo la presidencia de Ibáñez, la Asociación Geodésica Internacional adquirió una dimensión global con la adhesión de Estados Unidos , México , Chile , Argentina y Japón . Como resultado de los trabajos de la Asociación Geodésica Internacional, en 1901, Friedrich Robert Helmert encontró, principalmente por gravimetría, parámetros del elipsoide notablemente cercanos a la realidad. ^{[20] [21] [22] [23]}

• La medición precisa de g utilizando el péndulo de Kater, Universidad de Sheffield Tiene derivación de ecuaciones
• Kater, Henry (junio de 1818) Un relato de los experimentos para determinar la longitud de los segundos de vibración del péndulo en la latitud de Londres, The Edinburgh Review, vol. 30, pág. 407 Contiene un relato detallado del experimento, la descripción del péndulo, el valor determinado y el interés de los científicos franceses.