Matriz de función de transferencia

En la teoría de sistemas de control y en varias ramas de la ingeniería, una matriz de función de transferencia , o simplemente matriz de transferencia , es una generalización de las funciones de transferencia de sistemas de entrada única y salida única (SISO) a sistemas de entrada múltiple y salida múltiple (MIMO). ^[1] La matriz relaciona las salidas del sistema con sus entradas. Es una construcción particularmente útil para sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) porque se puede expresar en términos del plano s .

En algunos sistemas, especialmente aquellos que constan completamente de componentes pasivos , puede resultar ambiguo qué variables son entradas y cuáles son salidas. En ingeniería eléctrica, un esquema común es reunir todas las variables de voltaje en un lado y todas las variables de corriente en el otro, independientemente de cuáles sean entradas o salidas. Esto da como resultado que todos los elementos de la matriz de transferencia estén en unidades de impedancia . El concepto de impedancia (y, por lo tanto, de matrices de impedancia) se ha aplicado a otros dominios de la energía por analogía, especialmente a la mecánica y la acústica.

Muchos sistemas de control abarcan varios dominios de energía diferentes. Esto requiere matrices de transferencia con elementos en unidades mixtas. Esto es necesario tanto para describir los transductores que realizan conexiones entre dominios como para describir el sistema en su conjunto. Para que la matriz modele adecuadamente los flujos de energía en el sistema, se deben elegir variables compatibles que lo permitan.

Un sistema MIMO con m salidas y n entradas se representa mediante una matriz m × n . Cada entrada de la matriz tiene la forma de una función de transferencia que relaciona una salida con una entrada. Por ejemplo, para un sistema de tres entradas y dos salidas, se podría escribir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}}$

donde u _n son las entradas, y _m son las salidas y g _mn son las funciones de transferencia. Esto se puede escribir de forma más sucinta en notación de operador matricial como,

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {G} \mathbf {U} }$

donde Y es un vector columna de las salidas, G es una matriz de las funciones de transferencia y U es un vector columna de las entradas.

En muchos casos, el sistema en consideración es un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). En tales casos, es conveniente expresar la matriz de transferencia en términos de la transformada de Laplace (en el caso de variables de tiempo continuas ) o la transformada z (en el caso de variables de tiempo discretas ) de las variables. Esto se puede indicar escribiendo, por ejemplo,

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$

lo que indica que las variables y la matriz están en términos de s , la variable de frecuencia compleja del plano s que surge de las transformadas de Laplace, en lugar de tiempo. Se supone que todos los ejemplos de este artículo están en esta forma, aunque no se indica explícitamente por brevedad. Para sistemas de tiempo discreto, s se reemplaza por z de la transformada z, pero esto no hace ninguna diferencia para el análisis posterior. La matriz es particularmente útil cuando es una matriz racional propia , es decir, todos sus elementos son funciones racionales propias . En este caso, se puede aplicar la representación en el espacio de estados . ^[2]

En ingeniería de sistemas, la matriz de transferencia general del sistema G ( s ) se descompone en dos partes: H ( s ) que representa el sistema que se está controlando, y C ( s ) que representa el sistema de control. C ( s ) toma como entradas las entradas de G ( s ) y las salidas de H ( s ) . Las salidas de C ( s ) forman las entradas para H ( s ) . ^[3]

En los sistemas eléctricos, la distinción entre variables de entrada y de salida suele ser ambigua. Pueden ser cualquiera de las dos, según las circunstancias y el punto de vista. En tales casos, el concepto de puerto (un lugar donde se transfiere energía de un sistema a otro) puede ser más útil que el de entrada y salida. Es habitual definir dos variables para cada puerto ( p ): el voltaje a través de él ( V _p ) y la corriente que ingresa en él ( I _p ). Por ejemplo, la matriz de transferencia de una red de dos puertos se puede definir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

donde los z _mn se denominan parámetros de impedancia o parámetros z . Se denominan así porque están en unidades de impedancia y relacionan las corrientes de puerto con un voltaje de puerto. Los parámetros z no son la única forma en que se definen las matrices de transferencia para redes de dos puertos. Hay seis matrices básicas que relacionan voltajes y corrientes, cada una con ventajas para topologías de red de sistemas particulares. ^[4] Sin embargo, solo dos de ellas se pueden extender más allá de dos puertos a un número arbitrario de puertos. Estos dos son los parámetros z y su inverso, los parámetros de admitancia o parámetros y . ^[5]

Para entender la relación entre voltajes y corrientes de puerto y entradas y salidas, considere el circuito divisor de voltaje simple. Si solo deseamos considerar el voltaje de salida ( V ₂ ) resultante de aplicar el voltaje de entrada ( V ₁ ), entonces la función de transferencia se puede expresar como,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\end{bmatrix}}}$

que puede considerarse el caso trivial de una matriz de transferencia 1×1. La expresión predice correctamente el voltaje de salida si no hay corriente saliendo del puerto 2, pero es cada vez más inexacta a medida que aumenta la carga. Sin embargo, si intentamos usar el circuito a la inversa, accionándolo con un voltaje en el puerto 2 y calculamos el voltaje resultante en el puerto 1, la expresión da un resultado completamente erróneo incluso sin carga en el puerto 1. Predice un voltaje mayor en el puerto 1 que el aplicado en el puerto 2, una imposibilidad con un circuito puramente resistivo como este. Para predecir correctamente el comportamiento del circuito, también se deben tener en cuenta las corrientes que entran o salen de los puertos, que es lo que hace la matriz de transferencia. ^[6] La matriz de impedancia para el circuito divisor de voltaje es,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

que describe completamente su comportamiento bajo todas las condiciones de entrada y salida. ^[7]

En las frecuencias de microondas , ninguna de las matrices de transferencia basadas en voltajes y corrientes de puerto es conveniente para usar en la práctica. El voltaje es difícil de medir directamente, la corriente es casi imposible y los circuitos abiertos y cortocircuitos requeridos por la técnica de medición no se pueden lograr con ninguna precisión. Para las implementaciones de guías de ondas , el voltaje y la corriente del circuito no tienen ningún significado. En su lugar, se utilizan matrices de transferencia que utilizan diferentes tipos de variables. Estas son las potencias transmitidas hacia y reflejadas desde un puerto que se miden fácilmente en la tecnología de línea de transmisión utilizada en circuitos de elementos distribuidos en la banda de microondas. Los más conocidos y ampliamente utilizados de este tipo de parámetros son los parámetros de dispersión o parámetros s. ^[8]

El concepto de impedancia se puede extender al ámbito mecánico y a otros dominios a través de una analogía mecánico-eléctrica , por lo tanto, los parámetros de impedancia y otras formas de parámetros de red de 2 puertos también se pueden extender al ámbito mecánico. Para ello, una variable de esfuerzo y una variable de flujo se convierten en análogas de voltaje y corriente respectivamente. Para sistemas mecánicos bajo traslación, estas variables son fuerza y ​​velocidad respectivamente. ^[9]

Expresar el comportamiento de un componente mecánico como un componente de dos puertos o de varios puertos con una matriz de transferencia es algo útil porque, al igual que los circuitos eléctricos, el componente a menudo puede funcionar en sentido inverso y su comportamiento depende de las cargas en las entradas y salidas. Por ejemplo, un tren de engranajes a menudo se caracteriza simplemente por su relación de transmisión, una función de transferencia SISO. Sin embargo, el eje de salida de la caja de engranajes puede accionarse para hacer girar el eje de entrada, lo que requiere un análisis MIMO. En este ejemplo, las variables de esfuerzo y flujo son el par T y la velocidad angular ω respectivamente. La matriz de transferencia en términos de parámetros z se verá así:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}$

Sin embargo, los parámetros z no son necesariamente los más convenientes para caracterizar los trenes de engranajes. Un tren de engranajes es el análogo de un transformador eléctrico y los parámetros h ( parámetros híbridos ) describen mejor a los transformadores porque incluyen directamente las relaciones de vueltas (el análogo de las relaciones de transmisión). ^[10] La matriz de transferencia de la caja de cambios en formato de parámetro h es,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}$

dónde

h ₂₁ es la relación de velocidades del tren de engranajes sin carga en la salida,

h ₁₂ es la relación de par en la dirección inversa del tren de engranajes con el eje de entrada bloqueado, igual a la relación de velocidad hacia adelante para una caja de cambios ideal,

h ₁₁ es la impedancia mecánica rotacional de entrada sin carga en el eje de salida, cero para una caja de cambios ideal, y

h ₂₂ es la admitancia mecánica rotacional de salida con el eje de entrada sujeto.

Para un tren de engranajes ideal sin pérdidas (fricción, distorsión, etc.), esto se simplifica a:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&N\\N&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}}$

donde N es la relación de transmisión. ^[11]

En un sistema que consta de múltiples dominios de energía, se requieren matrices de transferencia que puedan manejar componentes con puertos en diferentes dominios. En robótica y mecatrónica , se requieren actuadores . Estos suelen consistir en un transductor que convierte, por ejemplo, señales del sistema de control en el dominio eléctrico en movimiento en el dominio mecánico. El sistema de control también requiere sensores que detecten el movimiento y lo conviertan nuevamente en el dominio eléctrico a través de otro transductor para que el movimiento pueda controlarse adecuadamente a través de un bucle de retroalimentación. Otros sensores en el sistema pueden ser transductores que conviertan otros dominios de energía en señales eléctricas, como ópticas, de audio, térmicas, de flujo de fluidos y químicas. Otra aplicación es el campo de los filtros mecánicos que requieren transductores entre los dominios eléctrico y mecánico en ambas direcciones.

Un ejemplo sencillo es un actuador electromagnético electromecánico accionado por un controlador electrónico. Esto requiere un transductor con un puerto de entrada en el dominio eléctrico y un puerto de salida en el dominio mecánico. Esto se puede representar de forma simplista mediante una función de transferencia SISO, pero por razones similares a las ya mencionadas, se logra una representación más precisa con una matriz de transferencia MIMO de dos entradas y dos salidas. En los parámetros z, esto toma la forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\\v\end{bmatrix}}}$

donde F es la fuerza aplicada al actuador y v es la velocidad resultante del actuador. Los parámetros de impedancia aquí son una mezcla de unidades; z ₁₁ es una impedancia eléctrica, z ₂₂ es una impedancia mecánica y las otras dos son transimpedancias en una mezcla híbrida de unidades. ^[12]

Los sistemas acústicos son un subconjunto de la dinámica de fluidos y, en ambos campos, las variables de entrada y salida principales son la presión , P , y el caudal volumétrico , Q , excepto en el caso del sonido que viaja a través de componentes sólidos. En este último caso, las variables principales de la mecánica, fuerza y ​​velocidad, son más apropiadas. Un ejemplo de un componente acústico de dos puertos es un filtro, como un silenciador en un sistema de escape . Una representación de matriz de transferencia de este podría verse así:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}P_{2}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\Q_{1}\end{bmatrix}}}$

Aquí, los T _mn son los parámetros de transmisión, también conocidos como parámetros ABCD . El componente se puede describir con la misma facilidad mediante los parámetros z, pero los parámetros de transmisión tienen una ventaja matemática cuando se trata de un sistema de dos puertos que están conectados en cascada de la salida de uno al puerto de entrada de otro. En tales casos, los parámetros de transmisión generales se encuentran simplemente mediante la multiplicación matricial de las matrices de parámetros de transmisión de los componentes constituyentes. ^[13]

Cuando se trabaja con variables mixtas de diferentes dominios de energía, se debe considerar qué variables se deben considerar análogas. La elección depende de lo que se pretende lograr con el análisis. Si se desea modelar correctamente los flujos de energía a lo largo de todo el sistema, entonces un par de variables cuyo producto es la potencia (variables conjugadas de potencia) en un dominio de energía debe mapearse a variables conjugadas de potencia en otros dominios. Las variables conjugadas de potencia no son únicas, por lo que se debe tener cuidado de usar el mismo mapeo de variables en todo el sistema. ^[14]

Un mapeo común (usado en algunos de los ejemplos de este artículo) mapea las variables de esfuerzo (las que inician una acción) de cada dominio juntas y mapea las variables de flujo (las que son una propiedad de una acción) de cada dominio juntas. Cada par de variables de esfuerzo y flujo es un conjugado de potencia. Este sistema se conoce como analogía de impedancia porque la relación entre el esfuerzo y la variable de flujo en cada dominio es análoga a la impedancia eléctrica. ^[15]

Existen otros dos sistemas conjugados de potencia sobre las mismas variables que se utilizan. La analogía de movilidad asigna la fuerza mecánica a la corriente eléctrica en lugar del voltaje. Esta analogía es ampliamente utilizada por los diseñadores de filtros mecánicos y también con frecuencia en la electrónica de audio. El mapeo tiene la ventaja de preservar las topologías de red a través de dominios, pero no mantiene el mapeo de impedancias. La analogía de Trent clasifica las variables conjugadas de potencia como variables a través de , o variables a través de , dependiendo de si actúan a través de un elemento de un sistema o a través de él. Esto termina siendo en gran medida lo mismo que la analogía de movilidad, excepto en el caso del dominio del flujo de fluidos (incluido el dominio acústico). Aquí la presión se hace análoga al voltaje (como en la analogía de impedancia) en lugar de la corriente (como en la analogía de movilidad). Sin embargo, la fuerza en el dominio mecánico es análoga a la corriente porque la fuerza actúa a través de un objeto. ^[16]

Existen algunas analogías de uso común que no utilizan pares de conjugados de potencia. Para los sensores, modelar correctamente los flujos de energía puede no ser tan importante. Los sensores a menudo extraen solo cantidades minúsculas de energía al sistema. Elegir variables que sean fáciles de medir, en particular las que el sensor está detectando, puede ser más útil. Por ejemplo, en la analogía de la resistencia térmica , se considera que la resistencia térmica es análoga a la resistencia eléctrica, lo que da como resultado que la diferencia de temperatura y la potencia térmica se asignen al voltaje y la corriente respectivamente. El conjugado de potencia de la diferencia de temperatura no es la potencia térmica, sino más bien la tasa de flujo de entropía , algo que no se puede medir directamente. Otra analogía del mismo tipo ocurre en el dominio magnético. Esta asigna la reluctancia magnética a la resistencia eléctrica, lo que da como resultado que el flujo magnético se asigne a la corriente en lugar de a la tasa de cambio del flujo magnético como se requiere para las variables compatibles. ^[17]

La representación matricial de ecuaciones algebraicas lineales se conoce desde hace tiempo. Poincaré , en 1907, fue el primero en describir un transductor como un par de ecuaciones que relacionan variables eléctricas (voltaje y corriente) con variables mecánicas (fuerza y ​​velocidad). Wegel, en 1921, fue el primero en expresar estas ecuaciones en términos de impedancia mecánica y de impedancia eléctrica. ^[18]

El primer uso de matrices de transferencia para representar un sistema de control MIMO fue realizado por Boksenbom y Hood en 1950, pero sólo para el caso particular de los motores de turbina de gas que estaban estudiando para el Comité Asesor Nacional de Aeronáutica . ^[19] Cruickshank proporcionó una base más firme en 1955, pero sin una generalidad completa. Kavanagh en 1956 dio el primer tratamiento completamente general, estableciendo la relación matricial entre el sistema y el control y proporcionando criterios para la viabilidad de un sistema de control que pudiera proporcionar un comportamiento prescrito del sistema bajo control. ^[20]

• Método de matriz de transferencia (óptica)

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