Equivalencia masa-energía

En física , la equivalencia masa-energía es la relación entre masa y energía en el marco de referencia en reposo de un sistema , donde las dos cantidades difieren solo por una constante multiplicativa y las unidades de medida. ^{[1] [2]} El principio está descrito por la fórmula del  físico Albert Einstein : E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} . ^[3] En un marco de referencia donde el sistema se está moviendo, su energía relativista y su masa relativista (en lugar de la masa en reposo ) obedecen a la misma fórmula.

La fórmula define la energía E de una partícula en su sistema de reposo como el producto de la masa ( m ) por la velocidad de la luz al cuadrado ( c ² ). Debido a que la velocidad de la luz es un número grande en unidades cotidianas (aproximadamente 300 000  km/s o 186 000  mi/s), la fórmula implica que una pequeña cantidad de "masa en reposo", medida cuando el sistema está en reposo, corresponde a una enorme cantidad de energía, que es independiente de la composición de la materia .

La masa en reposo, también llamada masa invariante , es una propiedad física fundamental que es independiente del momento , incluso a velocidades extremas que se aproximan a la velocidad de la luz. Su valor es el mismo en todos los marcos de referencia inerciales . Las partículas sin masa, como los fotones , tienen una masa invariante cero, pero las partículas libres sin masa tienen momento y energía.

El principio de equivalencia implica que cuando se pierde masa en reacciones químicas o nucleares , se libera una cantidad correspondiente de energía. La energía puede liberarse al medio ambiente (fuera del sistema en cuestión) como energía radiante , como la luz , o como energía térmica . El principio es fundamental para muchos campos de la física, incluida la física nuclear y de partículas .

La equivalencia masa-energía surgió de la relatividad especial como una paradoja descrita por el erudito francés Henri Poincaré (1854-1912). ^[4] Einstein fue el primero en proponer la equivalencia de masa y energía como principio general y consecuencia de las simetrías del espacio y el tiempo . El principio apareció por primera vez en "¿La inercia de un cuerpo depende de su contenido energético?", uno de sus artículos del annus mirabilis , publicado el 21 de noviembre de 1905. ^{[5] [6]} La fórmula y su relación con el momento, como se describe mediante la relación energía-momento , fueron desarrolladas posteriormente por otros físicos.

Relatividad especial
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La equivalencia masa-energía establece que todos los objetos que tienen masa , u objetos masivos , tienen una energía intrínseca correspondiente, incluso cuando están estacionarios. En el marco de reposo de un objeto, donde por definición está inmóvil y, por lo tanto, no tiene momento , la masa y la energía son iguales o difieren solo por un factor constante, la velocidad de la luz al cuadrado ( c ² ). ^{[1] [2]} En la mecánica newtoniana , un cuerpo inmóvil no tiene energía cinética , y puede o no tener otras cantidades de energía interna almacenada, como energía química o energía térmica , además de cualquier energía potencial que pueda tener por su posición en un campo de fuerza . Estas energías tienden a ser mucho menores que la masa del objeto multiplicada por c ² , que es del orden de 10 ¹⁷  julios para una masa de un kilogramo. Debido a este principio, la masa de los átomos que salen de una reacción nuclear es menor que la masa de los átomos que entran, y la diferencia de masa se manifiesta en forma de calor y luz con la misma energía equivalente que la diferencia. Al analizar estos eventos extremos, se puede utilizar la fórmula de Einstein, con E como la energía liberada (eliminada) y m como el cambio de masa.

En relatividad , toda la energía que se mueve con un objeto (es decir, la energía medida en el marco de reposo del objeto) contribuye a la masa total del cuerpo, que mide cuánto resiste la aceleración . Si una caja aislada de espejos ideales pudiera contener luz, los fotones individualmente sin masa contribuirían a la masa total de la caja en una cantidad igual a su energía dividida por c ² . ^[7] Para un observador en el marco de reposo, eliminar energía es lo mismo que eliminar masa y la fórmula m = E / c ² indica cuánta masa se pierde cuando se elimina energía. ^[8] De la misma manera, cuando se agrega energía a un sistema aislado, el aumento de la masa es igual a la energía agregada dividida por c ² . ^[9]

Un objeto se mueve a diferentes velocidades en diferentes marcos de referencia , dependiendo del movimiento del observador. Esto implica que la energía cinética , tanto en la mecánica newtoniana como en la relatividad, es "dependiente del marco", de modo que la cantidad de energía relativista que se mide que tiene un objeto depende del observador. La masa relativista de un objeto está dada por la energía relativista dividida por c ² . ^[10] Debido a que la masa relativista es exactamente proporcional a la energía relativista, masa relativista y energía relativista son casi sinónimos ; la única diferencia entre ellos son las unidades . La masa en reposo o masa invariante de un objeto se define como la masa que tiene un objeto en su marco de reposo, cuando no se mueve con respecto al observador. Los físicos suelen utilizar el término masa , aunque los experimentos han demostrado que la masa gravitacional de un objeto depende de su energía total y no solo de su masa en reposo. ^{[ cita requerida ]} La masa en reposo es la misma para todos los sistemas inerciales , ya que es independiente del movimiento del observador, es el valor más pequeño posible de la masa relativista del objeto. Debido a la atracción entre los componentes de un sistema, que resulta en energía potencial, la masa en reposo casi nunca es aditiva ; en general, la masa de un objeto no es la suma de las masas de sus partes. ^[9] La masa en reposo de un objeto es la energía total de todas las partes, incluida la energía cinética, como se observa desde el sistema del centro del momento, y la energía potencial. Las masas se suman solo si los constituyentes están en reposo (como se observa desde el sistema del centro del momento) y no se atraen ni se repelen, de modo que no tienen ninguna energía cinética o potencial adicional. ^{[nota 1]} Las partículas sin masa son partículas sin masa en reposo y, por lo tanto, no tienen energía intrínseca; su energía se debe solo a su momento.

La masa relativista depende del movimiento del objeto, de modo que diferentes observadores en movimiento relativo ven diferentes valores para ella. La masa relativista de un objeto en movimiento es mayor que la masa relativista de un objeto en reposo, porque un objeto en movimiento tiene energía cinética. Si el objeto se mueve lentamente, la masa relativista es casi igual a la masa en reposo y ambas son casi iguales a la masa inercial clásica (como aparece en las leyes del movimiento de Newton ). Si el objeto se mueve rápidamente, la masa relativista es mayor que la masa en reposo en una cantidad igual a la masa asociada con la energía cinética del objeto. Las partículas sin masa también tienen masa relativista derivada de su energía cinética, igual a su energía relativista dividida por c ² , o m _rel = E / c ² . ^{[11] [12]} La velocidad de la luz es una en un sistema donde la longitud y el tiempo se miden en unidades naturales y la masa y la energía relativistas serían iguales en valor y dimensión. Como es simplemente otro nombre para la energía, el uso del término masa relativista es redundante y los físicos generalmente reservan el término masa para referirse a la masa en reposo, o masa invariante, en oposición a la masa relativista. ^{[13] [14]} Una consecuencia de esta terminología es que la masa no se conserva en la relatividad especial, mientras que la conservación del momento y la conservación de la energía son leyes fundamentales. ^[13]

La conservación de la energía es un principio universal en física y se cumple para cualquier interacción, junto con la conservación del momento. ^[13] La conservación clásica de la masa, por el contrario, se viola en ciertos entornos relativistas. ^{[14] [13]} Este concepto se ha demostrado experimentalmente de varias maneras, incluida la conversión de masa en energía cinética en reacciones nucleares y otras interacciones entre partículas elementales . ^[14] Si bien la física moderna ha descartado la expresión "conservación de la masa", en la terminología más antigua una masa relativista también puede definirse como equivalente a la energía de un sistema en movimiento, lo que permite una conservación de la masa relativista . ^[13] La conservación de la masa se rompe cuando la energía asociada con la masa de una partícula se convierte en otras formas de energía, como energía cinética, energía térmica o energía radiante . ^[13]

Las partículas sin masa tienen masa en reposo cero. La relación de Planck-Einstein para la energía de los fotones viene dada por la ecuación E = hf , donde h es la constante de Planck y f es la frecuencia del fotón . Esta frecuencia y, por tanto, la energía relativista dependen del marco de referencia. Si un observador se aleja de un fotón en la dirección en la que viaja el fotón desde una fuente y lo alcanza, el observador lo ve con menos energía que la que tenía en la fuente. Cuanto más rápido se desplace el observador con respecto a la fuente cuando el fotón lo alcance, menos energía verá que tiene el fotón. A medida que un observador se acerca a la velocidad de la luz con respecto a la fuente, el corrimiento al rojo del fotón aumenta, de acuerdo con el efecto Doppler relativista . La energía del fotón se reduce y, a medida que la longitud de onda se vuelve arbitrariamente grande, la energía del fotón se acerca a cero, debido a la naturaleza sin masa de los fotones, que no permite ninguna energía intrínseca.

En los sistemas cerrados compuestos por muchas partes, como un núcleo atómico , un planeta o una estrella, la energía relativista está dada por la suma de las energías relativistas de cada una de las partes, porque las energías son aditivas en estos sistemas. Si un sistema está unido por fuerzas de atracción y la energía ganada en exceso del trabajo realizado se elimina del sistema, entonces se pierde masa con esta energía eliminada. La masa de un núcleo atómico es menor que la masa total de los protones y neutrones que lo componen. ^[15] Esta disminución de masa también es equivalente a la energía necesaria para romper el núcleo en protones y neutrones individuales. Este efecto se puede entender observando la energía potencial de los componentes individuales. Las partículas individuales tienen una fuerza que las atrae y separarlas aumenta la energía potencial de las partículas de la misma manera que lo hace levantar un objeto en la Tierra. Esta energía es igual al trabajo necesario para dividir las partículas. La masa del Sistema Solar es ligeramente menor que la suma de sus masas individuales.

Para un sistema aislado de partículas que se mueven en diferentes direcciones, la masa invariante del sistema es análoga a la masa en reposo, y es la misma para todos los observadores, incluso aquellos en movimiento relativo. Se define como la energía total (dividida por c ² ) en el marco del centro del momento . El marco del centro del momento se define de modo que el sistema tenga un momento total cero; a veces también se utiliza el término marco del centro de masas , donde el marco del centro de masas es un caso especial del marco del centro del momento donde el centro de masas se coloca en el origen. Un ejemplo simple de un objeto con partes móviles pero un momento total cero es un recipiente de gas. En este caso, la masa del recipiente viene dada por su energía total (incluida la energía cinética de las moléculas de gas), ya que la energía total del sistema y la masa invariante son las mismas en cualquier marco de referencia donde el momento sea cero, y dicho marco de referencia es también el único marco en el que se puede pesar el objeto. De manera similar, la teoría de la relatividad especial postula que la energía térmica en todos los objetos, incluidos los sólidos, contribuye a sus masas totales, aunque esta energía está presente como energías cinética y potencial de los átomos en el objeto, y (de manera similar al gas) no se ve en las masas en reposo de los átomos que componen el objeto. ^[9] De manera similar, incluso los fotones, si están atrapados en un recipiente aislado, contribuirían con su energía a la masa del recipiente. Esa masa adicional, en teoría, podría pesarse de la misma manera que cualquier otro tipo de masa en reposo, aunque los fotones individualmente no tengan masa en reposo. La propiedad de que la energía atrapada en cualquier forma agrega masa ponderable a los sistemas que no tienen momento neto es una de las consecuencias de la relatividad. No tiene contraparte en la física newtoniana clásica, donde la energía nunca exhibe masa ponderable. ^[9]

La física tiene dos conceptos de masa, la masa gravitatoria y la masa inercial. La masa gravitatoria es la cantidad que determina la intensidad del campo gravitatorio generado por un objeto, así como la fuerza gravitatoria que actúa sobre el objeto cuando está inmerso en un campo gravitatorio producido por otros cuerpos. La masa inercial, por otro lado, cuantifica cuánto se acelera un objeto si se le aplica una fuerza determinada. La equivalencia masa-energía en la relatividad especial se refiere a la masa inercial. Sin embargo, ya en el contexto de la gravedad newtoniana, se postula el principio de equivalencia débil : la masa gravitatoria y la inercial de cada objeto son las mismas. Así, la equivalencia masa-energía, combinada con el principio de equivalencia débil, da como resultado la predicción de que todas las formas de energía contribuyen al campo gravitatorio generado por un objeto. Esta observación es uno de los pilares de la teoría general de la relatividad .

La predicción de que todas las formas de energía interactúan gravitacionalmente ha sido objeto de pruebas experimentales. Una de las primeras observaciones que probaron esta predicción, llamada experimento de Eddington , se realizó durante el eclipse solar del 29 de mayo de 1919. [ ^{16] [17]} Durante el eclipse, el astrónomo y físico inglés Arthur Eddington observó que la luz de las estrellas que pasaban cerca del Sol se desviaba. El efecto se debe a la atracción gravitatoria de la luz por el Sol. La observación confirmó que la energía transportada por la luz es de hecho equivalente a una masa gravitatoria. Otro experimento seminal, el experimento de Pound-Rebka , se realizó en 1960. ^[18] En esta prueba, se emitió un haz de luz desde lo alto de una torre y se detectó en la parte inferior. La frecuencia de la luz detectada fue mayor que la luz emitida. Este resultado confirma que la energía de los fotones aumenta cuando caen en el campo gravitatorio de la Tierra. La energía, y por tanto la masa gravitatoria, de los fotones es proporcional a su frecuencia, como lo indica la relación de Planck.

En algunas reacciones, las partículas de materia pueden destruirse y su energía asociada liberarse al medio ambiente como otras formas de energía, como la luz y el calor. ^[1] Un ejemplo de tal conversión tiene lugar en las interacciones de partículas elementales, donde la energía en reposo se transforma en energía cinética. ^[1] Tales conversiones entre tipos de energía ocurren en las armas nucleares, en las que los protones y neutrones en los núcleos atómicos pierden una pequeña fracción de su masa original, aunque la masa perdida no se debe a la destrucción de ningún componente más pequeño. La fisión nuclear permite que una pequeña fracción de la energía asociada con la masa se convierta en energía utilizable como la radiación; en la desintegración del uranio , por ejemplo, se pierde aproximadamente el 0,1% de la masa del átomo original. ^[19] En teoría, debería ser posible destruir la materia y convertir toda la energía en reposo asociada con la materia en calor y luz, pero ninguno de los métodos conocidos teóricamente es práctico. Una forma de aprovechar toda la energía asociada con la masa es aniquilar la materia con antimateria . Sin embargo, la antimateria es una sustancia poco común en el universo y los mecanismos conocidos para su producción requieren más energía utilizable que la que se liberaría en caso de aniquilación. El CERN estimó en 2011 que se necesita más de mil millones de veces más energía para producir y almacenar antimateria que la que se podría liberar en su aniquilación. ^[20]

Como la mayor parte de la masa que compone los objetos ordinarios reside en protones y neutrones, convertir toda la energía de la materia ordinaria en formas más útiles requiere que los protones y neutrones se conviertan en partículas más ligeras, o partículas sin masa en absoluto. En el Modelo Estándar de física de partículas , el número de protones más neutrones se conserva casi exactamente. A pesar de esto, Gerard 't Hooft demostró que existe un proceso que convierte protones y neutrones en antielectrones y neutrinos . ^[21] Este es el instantón débil SU(2) propuesto por los físicos Alexander Belavin , Alexander Markovich Polyakov , Albert Schwarz y Yu. S. Tyupkin. ^[22] Este proceso, en principio, puede destruir la materia y convertir toda la energía de la materia en neutrinos y energía utilizable, pero normalmente es extraordinariamente lento. Más tarde se demostró que el proceso ocurre rápidamente a temperaturas extremadamente altas que solo se habrían alcanzado poco después del Big Bang . ^[23]

Muchas extensiones del modelo estándar contienen monopolos magnéticos , y en algunos modelos de gran unificación , estos monopolos catalizan la desintegración de protones , un proceso conocido como el efecto Callan-Rubakov. ^[24] Este proceso sería una conversión eficiente de masa-energía a temperaturas ordinarias, pero requiere fabricar monopolos y antimonopolos, cuya producción se espera que sea ineficiente. Otro método para aniquilar completamente la materia utiliza el campo gravitacional de los agujeros negros. El físico teórico británico Stephen Hawking teorizó ^[25] que es posible arrojar materia a un agujero negro y usar el calor emitido para generar energía. Sin embargo, según la teoría de la radiación de Hawking , los agujeros negros más grandes irradian menos que los más pequeños, de modo que la energía utilizable solo puede ser producida por agujeros negros pequeños.

A diferencia de la energía de un sistema en un marco inercial, la energía relativista ( ) de un sistema depende tanto de la masa en reposo ( ) como del momento total del sistema. La extensión de la ecuación de Einstein a estos sistemas viene dada por: ^{[26] [27] [nota 2]}${\displaystyle E_{\rm {rel}}}$$estilo de visualización m_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rm {rel}}^{2}-|\mathbf {p} |^{2}c^{2}&=m_{0}^{2}c^{4}\\E_{\rm {rel}}^{2}-(pc)^{2}&=(m_{0}c^{2})^{2}\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rm {rel}}={\sqrt {(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}}}\,\!\end{aligned}}}$

donde el término representa el cuadrado de la norma euclidiana (longitud total del vector) de los diversos vectores de momento en el sistema, que se reduce al cuadrado de la magnitud simple del momento, si solo se considera una sola partícula. Esta ecuación se llama relación energía-momento y se reduce a cuando el término de momento es cero. Para los fotones donde , la ecuación se reduce a .${\estilo de visualización (pc)^{2}}$${\displaystyle E_{\rm {rel}}=mc^{2}}$${\displaystyle m_{0}=0}$${\displaystyle E_{\rm {rel}}=pc}$

Utilizando el factor de Lorentz , γ , la energía-momento puede reescribirse como E = γmc ² y expandirse como una serie de potencias :

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{4}+{\frac {5}{16}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{6}+\ldots \right].}$

Para velocidades mucho menores que la velocidad de la luz, los términos de orden superior en esta expresión se hacen cada vez más pequeños porque ⁠en/do⁠ es pequeño. Para velocidades bajas, se pueden ignorar todos los términos excepto los dos primeros:

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}.}$

En la mecánica clásica , tanto el término m ₀ c ² como las correcciones de alta velocidad se ignoran. El valor inicial de la energía es arbitrario, ya que solo se puede medir el cambio de energía y, por lo tanto, el término m ₀ c ² se ignora en la física clásica. Si bien los términos de orden superior se vuelven importantes a velocidades más altas, la ecuación newtoniana es una aproximación de baja velocidad muy precisa; al agregar el tercer término, se obtiene:

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}\left(1+{\frac {3v^{2}}{4c^{2}}}\right)}$.

La diferencia entre las dos aproximaciones viene dada por , un número muy pequeño para los objetos cotidianos. En 2018, la NASA anunció que la sonda solar Parker era la más rápida de la historia, con una velocidad de 153.454 millas por hora (68.600 m/s). ^[28] La diferencia entre las aproximaciones de la sonda solar Parker en 2018 es , lo que representa una corrección de energía de cuatro partes por cien millones. La constante gravitacional , por el contrario, tiene una incertidumbre relativa estándar de aproximadamente . ^[29]${\displaystyle {\tfrac {3v^{2}}{4c^{2}}}}$${\displaystyle {\tfrac {3v^{2}}{4c^{2}}}\approx 3.9\times 10^{-8}}$${\displaystyle 2.2\times 10^{-5}}$

La energía de enlace nuclear es la energía mínima que se requiere para desmontar el núcleo de un átomo en sus partes componentes. ^[30] La masa de un átomo es menor que la suma de las masas de sus constituyentes debido a la atracción de la fuerza nuclear fuerte . ^[31] La diferencia entre las dos masas se llama defecto de masa y está relacionada con la energía de enlace a través de la fórmula de Einstein. ^{[31] [32] [33]} El principio se utiliza para modelar las reacciones de fisión nuclear e implica que se puede liberar una gran cantidad de energía mediante las reacciones en cadena de fisión nuclear utilizadas tanto en armas nucleares como en energía nuclear .

Una molécula de agua pesa un poco menos que dos átomos de hidrógeno libres y un átomo de oxígeno. La minúscula diferencia de masa es la energía necesaria para dividir la molécula en tres átomos individuales (divididos por c ² ), que se emitió como calor cuando se formó la molécula (este calor tenía masa). De manera similar, una barra de dinamita en teoría pesa un poco más que los fragmentos después de la explosión; en este caso, la diferencia de masa es la energía y el calor que se libera cuando la dinamita explota. Tal cambio de masa solo puede ocurrir cuando el sistema está abierto y se permite que la energía y la masa escapen. Por lo tanto, si una barra de dinamita explota en una cámara herméticamente sellada, la masa de la cámara y los fragmentos, el calor, el sonido y la luz aún serían iguales a la masa original de la cámara y la dinamita. Si se coloca sobre una báscula, el peso y la masa no cambiarían. Esto también sucedería en teoría incluso con una bomba nuclear, si pudiera guardarse en una caja ideal de resistencia infinita, que no se rompiera ni dejara pasar la radiación . ^{[nota 3]} Por lo tanto, una bomba de 21,5  kilotones (Una bomba nuclear de 9 × 10 ¹³  julios produce aproximadamente un gramo de calor y radiación electromagnética, pero la masa de esta energía no sería detectable en una bomba que explotara en una caja ideal colocada sobre una báscula; en cambio, el contenido de la caja se calentaría a millones de grados sin cambiar la masa y el peso totales. Si se abriera una ventana transparente por la que pasara solo radiación electromagnética en una caja ideal después de la explosión y se permitiera que un haz de rayos X y otras luces de menor energía escapara de la caja, se encontraría que finalmente pesaría un gramo menos de lo que pesaba antes de la explosión. Esta pérdida de peso y pérdida de masa ocurriría a medida que la caja se enfriaba mediante este proceso, a temperatura ambiente. Sin embargo, cualquier masa circundante que absorbiera los rayos X (y otro "calor") ganaría este gramo de masa del calentamiento resultante, por lo que, en este caso, la "pérdida" de masa representaría simplemente su reubicación.

Einstein utilizó el sistema de unidades centímetro-gramo-segundo (cgs), pero la fórmula es independiente del sistema de unidades. En unidades naturales, el valor numérico de la velocidad de la luz se establece en 1, y la fórmula expresa una igualdad de valores numéricos: E = m . En el sistema SI (que expresa la relación ⁠mi/metro⁠ en julios por kilogramo utilizando el valor de c en metros por segundo ): ^[35]

⁠mi/metro⁠ = c ² = (299 792 458  m/s ) ² = 89 875 517 873 681 764  J/kg (≈ 9,0 × 10 ¹⁶ julios por kilogramo).

Entonces, el equivalente energético de un kilogramo de masa es

• 89,9  petajulios
• 25.000  millones de kilovatios-hora (≈ 25.000  GW·h )
• 21,5  billones de kilocalorías (≈ 21 Pcal) ^{[nota 4]}
• 85,2 billones de BTU ^{[nota 4]}
• 0,0852 quads o la energía liberada por la combustión de lo siguiente:
• 21 500  kilotones de energía equivalente a TNT (≈ 21 Mt) ^{[nota 4]}
• 2 630 000 000 litros o695 000 000 galones estadounidenses de gasolina para automóviles

Cada vez que se libera energía, el proceso puede evaluarse desde una perspectiva E = mc2 . Por ejemplo, la bomba de tipo "artilugio" utilizada en la prueba Trinity y el bombardeo de Nagasaki ^tenía una potencia explosiva equivalente a 21 kt de TNT. ^[36] Alrededor de 1 kg de los aproximadamente 6,15 kg de plutonio de cada una de estas bombas se fisionó en elementos más ligeros que totalizaban casi exactamente un gramo menos, después de enfriarse. La radiación electromagnética y la energía cinética (energía térmica y de explosión) liberadas en esta explosión transportaron el gramo de masa faltante.

Cada vez que se agrega energía a un sistema, el sistema gana masa, como se muestra cuando se reorganiza la ecuación:

• La masa de un resorte aumenta cuando se lo somete a compresión o tensión. El aumento de su masa surge del aumento de la energía potencial almacenada en su interior, que está ligada a los enlaces químicos (electrónicos) estirados que unen los átomos dentro del resorte.
• Al aumentar la temperatura de un objeto (incrementando su energía térmica ), aumenta su masa. Por ejemplo, considere el estándar de masa principal del mundo para el kilogramo, hecho de platino e iridio . Si se permite que su temperatura cambie en 1 °C, su masa cambia en 1,5 picogramos (1 pg =1 × 10 ⁻¹²  g ). ^{[nota 5]}
• Una pelota que gira tiene una masa mayor que cuando no gira. Su aumento de masa es exactamente el equivalente a la masa de energía de rotación , que es a su vez la suma de las energías cinéticas de todas las partes móviles de la pelota. Por ejemplo, la Tierra misma es más masiva debido a su rotación de lo que sería sin rotación. La energía rotacional de la Tierra es mayor que 10 ²⁴ julios, lo que equivale a más de 10 ⁷ kg. ^[37]

Aunque Einstein fue el primero en haber deducido correctamente la fórmula de equivalencia masa-energía, no fue el primero en haber relacionado la energía con la masa, aunque casi todos los autores anteriores pensaban que la energía que contribuye a la masa proviene únicamente de los campos electromagnéticos. ^{[38] [39] [40]} Una vez descubierta, la fórmula de Einstein se escribió inicialmente en muchas notaciones diferentes, y su interpretación y justificación se desarrolló aún más en varios pasos. ^{[41] [42]}

Las teorías del siglo XVIII sobre la correlación de la masa y la energía incluyeron la ideada por el científico inglés Isaac Newton en 1717, quien especuló que las partículas de luz y las partículas de materia eran interconvertibles en la "Consulta 30" de la Opticks , donde pregunta: "¿No son los cuerpos brutos y la luz convertibles entre sí, y no pueden los cuerpos recibir gran parte de su actividad de las partículas de luz que entran en su composición?" ^[43] El científico y teólogo sueco Emanuel Swedenborg , en sus Principia de 1734 teorizó que toda la materia está compuesta en última instancia de puntos adimensionales de "movimiento puro y total". Describió este movimiento como sin fuerza, dirección o velocidad, pero con el potencial de fuerza, dirección y velocidad en todas partes dentro de él. ^{[44] [45]}

Durante el siglo XIX hubo varios intentos especulativos de demostrar que la masa y la energía eran proporcionales en varias teorías del éter . ^[46] En 1873, el físico y matemático ruso Nikolay Umov señaló una relación entre la masa y la energía del éter en la forma de Е = kmc ² , donde 0,5 ≤ k ≤ 1 . ^[47] Los escritos del ingeniero inglés Samuel Tolver Preston , ^[48] y un artículo de 1903 del industrial y geólogo italiano Olinto De Pretto , ^{[49] [50]} presentaron una relación masa-energía. El matemático e historiador de las matemáticas italiano Umberto Bartocci observó que solo había tres grados de separación que vinculaban a De Pretto con Einstein, concluyendo que Einstein probablemente conocía el trabajo de De Pretto. ^{[51] [52]} Preston y De Pretto, siguiendo al físico Georges-Louis Le Sage , imaginaron que el universo estaba lleno de un éter de partículas diminutas que siempre se mueven a velocidad c . Cada una de estas partículas tiene una energía cinética de mc ² hasta un pequeño factor numérico. La fórmula de energía cinética no relativista no siempre incluía el factor tradicional de ⁠1/2⁠ , desde que el erudito alemán Gottfried Leibniz introdujo la energía cinética sin ella, y la ⁠1/2⁠ es en gran medida convencional en la física prerrelativista. ^[53] Al suponer que cada partícula tiene una masa que es la suma de las masas de las partículas de éter, los autores concluyeron que toda la materia contiene una cantidad de energía cinética dada por E = mc ² o 2 E = mc ² dependiendo de la convención. Una partícula de éter generalmente se consideraba una ciencia inaceptablemente especulativa en ese momento, ^[54] y dado que estos autores no formularon la relatividad, su razonamiento es completamente diferente al de Einstein, quien usó la relatividad para cambiar los marcos.

En 1905, independientemente de Einstein, el erudito francés Gustave Le Bon especuló que los átomos podrían liberar grandes cantidades de energía latente, razonando a partir de una filosofía cualitativa integral de la física . ^{[55] [56]}

Hubo muchos intentos en el siglo XIX y principios del XX, como los de los físicos británicos JJ Thomson en 1881 y Oliver Heaviside en 1889, y George Frederick Charles Searle en 1897, los físicos alemanes Wilhelm Wien en 1900 y Max Abraham en 1902, y el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz en 1904, para comprender cómo la masa de un objeto cargado depende del campo electrostático . ^[57] Este concepto se llamó masa electromagnética y se consideró que dependía también de la velocidad y la dirección. Lorentz en 1904 dio las siguientes expresiones para la masa electromagnética longitudinal y transversal:

${\displaystyle m_{L}={\frac {m_{0}}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{3}}},\quad m_{T}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$,

dónde

${\displaystyle m_{0}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}}$

Otra forma de derivar un tipo de masa electromagnética se basó en el concepto de presión de radiación . En 1900, el erudito francés Henri Poincaré asoció la energía de la radiación electromagnética con un "fluido ficticio" que tenía momento y masa ^[4]

${\displaystyle m_{em}={\frac {E_{em}}{c^{2}}}\,.}$

Con ello, Poincaré intentó salvar el teorema del centro de masa en la teoría de Lorentz, aunque su tratamiento condujo a paradojas de radiación. ^[40]

El físico austríaco Friedrich Hasenöhrl demostró en 1904 que la radiación de la cavidad electromagnética contribuye a la "masa aparente".

${\displaystyle m_{0}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}}$

a la masa de la cavidad. Argumentó que esto implica también una dependencia de la masa con respecto a la temperatura. ^[58]

Einstein no escribió la fórmula exacta E = mc2 en su artículo de 1905 en el Annus Mirabilis "¿Depende la inercia de un objeto de su contenido energético?"; ^{[ 5]} más bien, el artículo afirma que si un cuerpo emite energía L al emitir luz, su masa disminuye enyo/c2^​⁠ . Esta formulación relaciona únicamente un cambio Δ m en masa con un cambio L en energía sin requerir la relación absoluta. La relación lo convenció de que la masa y la energía pueden verse como dos nombres para la misma cantidad física subyacente conservada. ^[59] Afirmó que las leyes de conservación de la energía y de la conservación de la masa son "una y la misma". ^[60] Einstein elaboró ​​en un ensayo de 1946 que "el principio de conservación de la masa... resultó inadecuado frente a la teoría especial de la relatividad. Por lo tanto, se fusionó con el principio de conservación de la energía , tal como, unos 60 años antes, el principio de conservación de la energía mecánica se había combinado con el principio de conservación del calor [energía térmica]. Podríamos decir que el principio de conservación de la energía, habiendo absorbido previamente al de la conservación del calor, ahora procedió a absorber al de la conservación de la masa, y mantiene el campo solo". ^[61]

Al desarrollar la relatividad especial , Einstein descubrió que la energía cinética de un cuerpo en movimiento es

${\displaystyle E_{k}=m_{0}c^{2}(\gamma -1)=m_{0}c^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right),}$

siendo v la velocidad , m ₀ la masa en reposo y γ el factor de Lorentz.

Incluyó el segundo término a la derecha para asegurarse de que para velocidades pequeñas la energía sería la misma que en la mecánica clásica, satisfaciendo así el principio de correspondencia :

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+\cdots }$

Sin este segundo término, habría un aporte adicional en la energía cuando la partícula no se mueve.

Einstein, siguiendo a Lorentz y Abraham, utilizó conceptos de masa dependientes de la velocidad y la dirección en su artículo de electrodinámica de 1905 y en otro artículo de 1906. ^{[62] [63]} En el primer artículo de Einstein de 1905 sobre E = mc ² , trató a m como lo que ahora se llamaría la masa en reposo , ^[5] y se ha observado que en sus últimos años no le gustaba la idea de la "masa relativista". ^[64]

En la terminología de la física antigua, se utiliza la energía relativista en lugar de la masa relativista y el término "masa" se reserva para la masa en reposo. ^[13] Históricamente, ha habido un debate considerable sobre el uso del concepto de "masa relativista" y la conexión de la "masa" en relatividad con la "masa" en la dinámica newtoniana. Una opinión es que solo la masa en reposo es un concepto viable y es una propiedad de la partícula; mientras que la masa relativista es un conglomerado de propiedades de la partícula y propiedades del espacio-tiempo. Otra opinión, atribuida al físico noruego Kjell Vøyenli, es que el concepto newtoniano de masa como propiedad de la partícula y el concepto relativista de masa deben considerarse como integrados en sus propias teorías y como si no tuvieran una conexión precisa. ^{[65] [66]}

Ya en su artículo sobre la relatividad "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento", Einstein derivó la expresión correcta para la energía cinética de las partículas:

${\displaystyle E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)}$.

Ahora quedaba abierta la cuestión de qué formulación se aplica a los cuerpos en reposo. Einstein abordó este tema en su artículo "¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?", uno de sus artículos del Annus Mirabilis . En este artículo, ^Einstein utilizó V para representar la velocidad de la luz en el vacío y L para representar la energía perdida por un cuerpo en forma de radiación. ^[5] En consecuencia, la ecuación E = mc2 no se escribió originalmente como una fórmula, sino como una oración en alemán que decía que "si un cuerpo emite la energía L en forma de radiación, su masa disminuye en ⁠yo/Versión ²⁠ ." Un comentario colocado encima informaba que la ecuación se aproximaba ignorando "magnitudes de cuarto orden y superiores" de una expansión en serie . ^{[nota 6]} Einstein utilizó un cuerpo que emitía dos pulsos de luz en direcciones opuestas, con energías de E ₀ antes y E ₁ después de la emisión como se ve en su marco de reposo. Como se ve desde un marco en movimiento, E ₀ se convierte en H ₀ y E ₁ se convierte en H _1. Einstein obtuvo, en notación moderna:

${\displaystyle \left(H_{0}-E_{0}\right)-\left(H_{1}-E_{1}\right)=E\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)}$.

Luego argumentó que H − E solo puede diferir de la energía cinética K por una constante aditiva, lo que da

${\displaystyle K_{0}-K_{1}=E\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)}$.

Despreciar los efectos superiores al tercer orden en ⁠en/do⁠ después de una expansión en serie de Taylor del lado derecho de esto se obtiene:

${\displaystyle K_{0}-K_{1}={\frac {E}{c^{2}}}{\frac {v^{2}}{2}}.}$

Einstein concluyó que la emisión reduce la masa del cuerpo en ⁠mi/c2^​⁠ , y que la masa de un cuerpo es una medida de su contenido energético.

La corrección de la derivación de Einstein de 1905 de ^E = mc2 fue criticada por el físico teórico alemán Max Planck en 1907, quien argumentó que solo es válida para la primera aproximación. Otra crítica fue formulada por el físico estadounidense Herbert Ives en 1952 y el físico israelí Max Jammer en 1961, afirmando que la derivación de Einstein se basa en una petición de principio . ^{[41] [67]} Otros académicos, como los filósofos estadounidenses y chilenos John Stachel y Roberto Torretti , han argumentado que la crítica de Ives era errónea y que la derivación de Einstein era correcta. ^[68] El escritor de física estadounidense Hans Ohanian, en 2008, estuvo de acuerdo con la crítica de Stachel/Torretti a Ives, aunque argumentó que la derivación de Einstein era errónea por otras razones. ^[69]

Al igual que Poincaré, Einstein concluyó en 1906 que la inercia de la energía electromagnética es una condición necesaria para que se cumpla el teorema del centro de masas. En esta ocasión, Einstein se refirió al artículo de Poincaré de 1900 y escribió: "Aunque las consideraciones meramente formales, que necesitaremos para la prueba, ya están contenidas en su mayor parte en un trabajo de H. Poincaré ² , por el bien de la claridad no me basaré en ese trabajo". ^[70] En el punto de vista más físico de Einstein, en oposición al formal o matemático, no había necesidad de masas ficticias. Podía evitar el problema del movimiento perpetuo porque, sobre la base de la equivalencia masa-energía, podía demostrar que el transporte de inercia que acompaña a la emisión y absorción de radiación resuelve el problema. El rechazo de Poincaré del principio de acción-reacción se puede evitar mediante la E = mc ² de Einstein , porque la conservación de la masa aparece como un caso especial de la ley de conservación de la energía .

En la primera década del siglo XX se produjeron varios avances. En mayo de 1907, Einstein explicó que la expresión de la energía ε de un punto de masa en movimiento adopta la forma más simple cuando su expresión para el estado de reposo se elige como ε ₀ = μV ² (donde μ es la masa), lo que concuerda con el "principio de equivalencia de masa y energía". Además, Einstein utilizó la fórmula μ = ⁠mi ₀/Versión ²⁠ , siendo E ₀ la energía de un sistema de puntos de masa, para describir el aumento de energía y masa de ese sistema cuando aumenta la velocidad de los puntos de masa que se mueven de manera diferente. ^[71] Max Planck reescribió la relación masa-energía de Einstein como M = ⁠E0 + pV0_​​/c2^​⁠ en junio de 1907, donde p es la presión y V ₀ el volumen para expresar la relación entre la masa, su energía latente y la energía termodinámica dentro del cuerpo. ^[72] Posteriormente, en octubre de 1907, esto se reescribió como M ₀ = ⁠mi ₀/c2^​⁠ y le dio una interpretación cuántica el físico alemán Johannes Stark , quien asumió su validez y corrección. ^[73] En diciembre de 1907, Einstein expresó la equivalencia en la forma M = μ + ⁠mi ₀/c2^​⁠ y concluyó: "Una masa μ es equivalente, en cuanto a inercia, a una cantidad de energía μc ² . […] Parece mucho más natural considerar cada masa inercial como un depósito de energía". ^{[74] [75]} Los fisicoquímicos estadounidenses Gilbert N. Lewis y Richard C. Tolman utilizaron dos variaciones de la fórmula en 1909: m = ⁠mi/c2^​⁠ y m ₀ = ⁠mi ₀/c2^​⁠ , donde E es la energía relativista (la energía de un objeto cuando el objeto está en movimiento), E ₀ es la energía en reposo (la energía cuando no se mueve), m es la masa relativista (la masa en reposo y la masa extra ganada al moverse), y m ₀ es la masa en reposo. ^[76] Las mismas relaciones en diferente notación fueron utilizadas por Lorentz en 1913 y 1914, aunque colocó la energía en el lado izquierdo: ε = Mc ² y ε ₀ = mc ² , donde ε es la energía total (energía en reposo más energía cinética) de un punto material en movimiento, ε ₀ su energía en reposo, M la masa relativista, y m la masa invariante. ^[77]

En 1911, el físico alemán Max von Laue dio una prueba más completa de M ₀ = ⁠mi ₀/c2^​⁠ del tensor de tensión-energía , ^[78] que luego fue generalizado por el matemático alemán Felix Klein en 1918. ^[79]

Einstein volvió al tema una vez más después de la Segunda Guerra Mundial y esta vez escribió E = mc2 en el título de su artículo ^[80] con la intención de que sirviera como explicación para el lector general por analogía. ^{[ 81]}

Una versión alternativa del experimento mental de Einstein fue propuesta por el físico teórico estadounidense Fritz Rohrlich en 1990, quien basó su razonamiento en el efecto Doppler . ^[82] Al igual que Einstein, consideró un cuerpo en reposo con masa M . Si el cuerpo se examina en un marco que se mueve con velocidad no relativista v , ya no está en reposo y en el marco en movimiento tiene momento P = Mv . Luego supuso que el cuerpo emite dos pulsos de luz hacia la izquierda y hacia la derecha, cada uno con una cantidad igual de energía ⁠mi/2⁠ . En su marco de referencia en reposo, el objeto permanece en reposo después de la emisión, ya que los dos rayos tienen la misma fuerza y ​​llevan un momento opuesto. Sin embargo, si se considera el mismo proceso en un marco que se mueve con velocidad v hacia la izquierda, el pulso que se mueve hacia la izquierda se desplaza hacia el rojo , mientras que el pulso que se mueve hacia la derecha se desplaza hacia el azul . La luz azul lleva más momento que la luz roja, de modo que el momento de la luz en el marco de referencia en movimiento no está equilibrado: la luz lleva algo de momento neto hacia la derecha. El objeto no ha cambiado su velocidad antes o después de la emisión. Sin embargo, en este marco ha perdido algo de momento hacia la derecha con respecto a la luz. La única forma en que podría haber perdido momento es perdiendo masa. Esto también resuelve la paradoja de radiación de Poincaré. La velocidad es pequeña, por lo que la luz que se mueve hacia la derecha se desplaza hacia el azul en una cantidad igual alfactor de desplazamiento Doppler no relativista 1 − ⁠en/do⁠ . El momento de la luz es su energía dividida por c , y se incrementa por un factor de ⁠en/do⁠ . Por lo tanto, la luz que se mueve hacia la derecha lleva un momento adicional Δ P dado por:

${\displaystyle \Delta P={v \over c}{E \over 2c}.}$

La luz que se mueve hacia la izquierda tiene un poco menos de impulso, en la misma cantidad Δ P . Por lo tanto, el impulso total hacia la derecha en ambos pulsos de luz es el doble de Δ P . Este es el impulso hacia la derecha que perdió el objeto.

${\displaystyle 2\Delta P=v{E \over c^{2}}.}$

El momento del objeto en el marco en movimiento después de la emisión se reduce a esta cantidad:

${\displaystyle P'=Mv-2\Delta P=\left(M-{E \over c^{2}}\right)v.}$

Por lo tanto, el cambio en la masa del objeto es igual a la energía total perdida dividida por c ² . Dado que cualquier emisión de energía puede llevarse a cabo mediante un proceso de dos pasos, donde primero se emite la energía como luz y luego la luz se convierte en alguna otra forma de energía, cualquier emisión de energía va acompañada de una pérdida de masa. De manera similar, al considerar la absorción, una ganancia de energía va acompañada de una ganancia de masa.

Tras el descubrimiento de la radiactividad en 1897 , se observó rápidamente que la energía total debida a los procesos radiactivos es aproximadamente un millón de veces mayor que la que se produce en cualquier cambio molecular conocido, lo que plantea la cuestión de su origen. Tras eliminar la idea de la absorción y emisión de algún tipo de partículas de éter lesagiano, el físico neozelandés Ernest Rutherford y el radioquímico británico Frederick Soddy propusieron en 1903 la existencia de una enorme cantidad de energía latente almacenada en la materia. Rutherford también sugirió que esta energía interna también se almacena en la materia normal. En 1904, continuó especulando: "Si alguna vez se descubriera que es posible controlar a voluntad la velocidad de desintegración de los radioelementos, se podría obtener una enorme cantidad de energía a partir de una pequeña cantidad de materia". ^{[83] [84] [85]}

La ecuación de Einstein no explica las grandes energías liberadas en la desintegración radiactiva, pero puede utilizarse para cuantificarlas. La explicación teórica de la desintegración radiactiva la dan las fuerzas nucleares responsables de mantener unidos a los átomos, aunque estas fuerzas todavía eran desconocidas en 1905. La enorme energía liberada por la desintegración radiactiva había sido medida previamente por Rutherford y era mucho más fácil de medir que el pequeño cambio en la masa bruta de los materiales como resultado. La ecuación de Einstein, en teoría, puede dar estas energías midiendo las diferencias de masa antes y después de las reacciones, pero en la práctica, estas diferencias de masa en 1905 eran todavía demasiado pequeñas para ser medidas en bloque. Antes de esto, se pensaba que la facilidad de medir las energías de desintegración radiactiva con un calorímetro posiblemente permitiría la medición de los cambios en la diferencia de masa, como una comprobación de la propia ecuación de Einstein. Einstein menciona en su artículo de 1905 que la equivalencia masa-energía tal vez podría probarse con la desintegración radiactiva, que para entonces se sabía que liberaba suficiente energía para posiblemente ser "pesada", cuando faltaba en el sistema. Sin embargo, la radiactividad parecía avanzar a su propio ritmo inalterable, e incluso cuando se hicieron posibles reacciones nucleares sencillas mediante bombardeo de protones, la idea de que estas grandes cantidades de energía utilizable pudieran liberarse a voluntad con algún grado de practicidad resultó difícil de sustentar. En 1933, se informó de que Rutherford había declarado que esta energía no podía explotarse de manera eficiente: "Quien espere una fuente de energía a partir de la transformación del átomo está hablando tonterías ". ^[86]

Esta perspectiva cambió drásticamente en 1932 con el descubrimiento del neutrón y su masa, lo que permitió calcular directamente las diferencias de masa de los nucleidos individuales y sus reacciones, y compararlas con la suma de las masas de las partículas que formaban su composición. En 1933, la energía liberada de la reacción del litio-7 más los protones que dieron lugar a dos partículas alfa , permitió probar la ecuación de Einstein con un error de ±0,5%. ^[87] Sin embargo, los científicos todavía no veían tales reacciones como una fuente práctica de energía, debido al costo energético de acelerar las partículas de reacción. Después de la demostración muy pública de las enormes energías liberadas por la fisión nuclear después de los bombardeos atómicos de Hiroshima y Nagasaki en 1945, la ecuación E = mc2 se vinculó directamente a los ojos del público con el poder y el peligro de las armas nucleares ^. La ecuación apareció en la página 2 del Informe Smyth , el comunicado oficial de 1945 del gobierno de los EE. UU. sobre el desarrollo de la bomba atómica, y en 1946 la ecuación estaba tan estrechamente vinculada con el trabajo de Einstein que la portada de la revista Time presentaba de manera destacada una imagen de Einstein junto a una imagen de una nube en forma de hongo adornada con la ecuación. ^[88] El propio Einstein tuvo solo un papel menor en el Proyecto Manhattan : había firmado una carta al presidente de los EE. UU. en 1939 instando a financiar la investigación sobre energía atómica, advirtiendo que una bomba atómica era teóricamente posible. La carta persuadió a Roosevelt a dedicar una parte significativa del presupuesto de guerra a la investigación atómica. Sin una autorización de seguridad, la única contribución científica de Einstein fue un análisis de un método de separación de isótopos en términos teóricos. Fue intrascendente, debido a que a Einstein no se le dio suficiente información para trabajar completamente en el problema. ^[89]

Aunque E = mc2 es útil para entender la cantidad de energía potencialmente liberada en una reacción ^de fisión, no era estrictamente necesario desarrollar el arma, una vez que se conocía el proceso de fisión y se medía su energía en 200  MeV (lo que era directamente posible, utilizando un contador Geiger cuantitativo , en ese momento). El físico y participante del Proyecto Manhattan Robert Serber señaló que de alguna manera "la noción popular se apoderó hace mucho tiempo de que la teoría de la relatividad de Einstein, en particular su ecuación ^E = mc2 , juega un papel esencial en la teoría de la fisión. Einstein tuvo un papel en alertar al gobierno de los Estados Unidos sobre la posibilidad de construir una bomba atómica, pero su teoría de la relatividad no es necesaria para discutir la fisión. La teoría de la fisión es lo que los físicos llaman una teoría no relativista, lo que significa que los efectos relativistas son demasiado pequeños para afectar significativamente la dinámica del proceso de fisión". ^{[nota 7]} Hay otras opiniones sobre la importancia de la ecuación para las reacciones nucleares. A finales de 1938, los físicos austro-suecos y británicos Lise Meitner y Otto Robert Frisch —durante una caminata invernal durante la cual resolvieron el significado de los resultados experimentales de Hahn e introdujeron la idea de lo que se llamaría fisión atómica— utilizaron directamente la ecuación de Einstein para ayudarlos a comprender la energética cuantitativa de la reacción que superó las fuerzas "similares a la tensión superficial" que mantienen unido el núcleo y permitió que los fragmentos de fisión se separaran en una configuración a partir de la cual sus cargas podrían forzarlos a una fisión energética . Para hacer esto, utilizaron la fracción de empaquetamiento o valores de energía de enlace nuclear para los elementos. Estos, junto con el uso de E = mc ^2, les permitieron darse cuenta en el lugar de que el proceso básico de fisión era energéticamente posible. ^[90]

Según el Einstein Papers Project del Instituto Tecnológico de California y la Universidad Hebrea de Jerusalén , solo quedan cuatro copias conocidas de esta ecuación tal como la escribió Einstein. Una de ellas es una carta escrita en alemán a Ludwik Silberstein , que se encontraba en los archivos de Silberstein y se vendió en una subasta por 1,2 millones de dólares, según informó RR Auction de Boston, Massachusetts, el 21 de mayo de 2021. ^[91]

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Relatividad: teoría especial y general

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Fórmula de Einstein .

• Einstein y la inercia de la energía – MathPages
• Einstein en una película que explica la equivalencia de masa y energía
• Masa y energía: conversaciones sobre ciencia con el físico teórico Matt Strassler
• La equivalencia de masa y energía – Entrada en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
• Merrifield, Michael; Copeland, Ed; Bowley, Roger. "E=mc2 – Equivalencia masa-energía". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .