Inestabilidad de los jeans

Formación de estrellas
Clases de objetos
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Conceptos teóricos
Acreción Función de masa inicial Inestabilidad de los jeans Mecanismo de Kelvin-Helmholtz Hipótesis nebulosa Migración planetaria
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La inestabilidad de Jeans es un concepto astrofísico que describe una inestabilidad que conduce al colapso gravitacional de una nube de gas o polvo. ^[1] Provoca el colapso de las nubes de gas interestelar y la posterior formación de estrellas . Ocurre cuando la presión interna del gas no es lo suficientemente fuerte como para evitar el colapso gravitacional de una región llena de materia. ^[2] Lleva el nombre de James Jeans .

Para la estabilidad, la nube debe estar en equilibrio hidrostático , que en el caso de una nube esférica se traduce en donde es la masa encerrada, es la presión, es la densidad del gas (en el radio ), es la constante gravitacional y es el radio. El equilibrio es estable si se amortiguan pequeñas perturbaciones e inestable si se amplifican. En general, la nube es inestable si es muy masiva a una temperatura dada o muy fría a una masa dada; en estas circunstancias, el gradiente de presión del gas no puede superar la fuerza gravitacional y la nube colapsará. ^[3] Esto se llama criterio de colapso de Jeans.$${\displaystyle {\frac {dp}{dr}}=-{\frac {G\rho(r)M_{\text{enc}}(r)}{r^{2}}},}$$${\textstyle M_{\text{enc}}(r)}$${\textstyle p}$${\textstyle \rho (r)}$${\textstyle r}$${\textstyle G}$${\textstyle r}$

La inestabilidad de Jeans probablemente determina cuándo ocurre la formación de estrellas en las nubes moleculares .

En 1720, Edmund Halley consideró un universo sin bordes y se preguntó qué sucedería si el "sistema del mundo", que existe dentro del universo, fuera finito o infinito. En el caso finito, las estrellas gravitarían hacia el centro, y si fuera infinito, todas las estrellas estarían casi en equilibrio y las estrellas eventualmente alcanzarían un lugar de descanso. ^[4] Contrariamente a lo escrito por Halley, Isaac Newton , en una carta de 1692/3 a Richard Bentley , escribió que es difícil imaginar que las partículas en un espacio infinito puedan permanecer en una configuración tal que resulte en un equilibrio perfecto. ^{[5] [6]}

James Jeans amplió la cuestión de la estabilidad gravitatoria para incluir la presión. En 1902, Jeans escribió, de manera similar a Halley, que una distribución finita de materia, suponiendo que la presión no lo impida, colapsará gravitatoriamente hacia su centro. Para una distribución infinita de materia, hay dos escenarios posibles. Una distribución exactamente homogénea no tiene un centro de masa claro ni una forma clara de definir una dirección de aceleración gravitatoria. Para el otro caso, Jeans extiende lo que escribió Newton: Jeans demostró que pequeñas desviaciones de la homogeneidad exacta conducen a inestabilidades. ^[7]

La masa de Jeans debe su nombre al físico británico Sir James Jeans , quien estudió el proceso de colapso gravitacional dentro de una nube gaseosa. Pudo demostrar que, en condiciones apropiadas, una nube, o parte de ella, se volvería inestable y comenzaría a colapsar cuando careciera de suficiente apoyo de presión gaseosa para equilibrar la fuerza de la gravedad . La nube es estable para una masa suficientemente pequeña (a una temperatura y un radio determinados), pero una vez que se excede esta masa crítica, comenzará un proceso de contracción descontrolada hasta que alguna otra fuerza pueda impedir el colapso. Derivó una fórmula para calcular esta masa crítica en función de su densidad y temperatura . Cuanto mayor sea la masa de la nube, mayor será su tamaño y más fría su temperatura, menos estable será frente al colapso gravitacional.

El valor aproximado de la masa de Jeans se puede derivar a través de un argumento físico simple. Se comienza con una región gaseosa esférica de radio , masa , y con una velocidad de sonido gaseoso . El gas se comprime ligeramente y las ondas sonoras tardan un tiempo en cruzar la región e intentar empujar hacia atrás y restablecer el sistema en equilibrio de presión. Al mismo tiempo, la gravedad intentará contraer el sistema aún más, y lo hará en un tiempo de caída libre donde es la constante gravitacional universal, es la densidad del gas dentro de la región y es la densidad numérica del gas para la masa media por partícula ( μ =${\textstyle R}$${\textstyle M}$ ${\textstyle c_{\text{s}}}$$${\displaystyle t_{\text{sonido}}={\frac {R}{c_{\text{s}}}}\aproximadamente 0,5{\text{ Myr}}\cdot {\frac {R}{0,1{\text{ pc}}}}\cdot \left({\frac {c_{\text{s}}}{0,2{\text{ km/s}}}}\right)^{-1}}$$$${\displaystyle t_{\text{ff}}={\frac {1}{(G\rho )^{1/2}}}\aproximadamente 2{\text{ Myr}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-1/2},}$$${\textstyle G}$${\textstyle \rho}$${\textstyle n=\rho /\mu }$3,9 × 10 ⁻²⁴  g es apropiado para hidrógeno molecular con 20% de helio en número). Cuando el tiempo de cruce del sonido es menor que el tiempo de caída libre, las fuerzas de presión superan temporalmente la gravedad y el sistema regresa a un equilibrio estable. Sin embargo, cuando el tiempo de caída libre es menor que el tiempo de cruce del sonido, la gravedad supera las fuerzas de presión y la región sufre un colapso gravitacional . Por lo tanto, la condición para el colapso gravitacional es$${\displaystyle t_{\text{ff}}<t_{\text{sonido}}.}$$

La longitud resultante de los jeans es aproximadamente${\textstyle \lambda _ {\text{J}}}$$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}={\frac {c_{\text{s}}}{(G\rho )^{1/2}}}\aproximadamente 0,4{\text{ pc}}\cdot {\frac {c_{\text{s}}}{0,2{\text{ km/s}}}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-1/2}.}$$

Esta escala de longitud se conoce como longitud de Jeans. Todas las escalas mayores que la longitud de Jeans son inestables al colapso gravitacional, mientras que las escalas menores son estables. La masa de Jeans es simplemente la masa contenida en una esfera de radio ( es la mitad de la longitud de Jeans):${\textstyle M_{\text{J}}}$${\textstyle R_{\text{J}}}$${\textstyle R_{\text{J}}={\frac {1}{2}}\lambda _{\text{J}}}$$${\displaystyle M_{\text{J}}={\frac {4\pi }{3}}\rho R_{\text{J}}^{3}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {c_{\text{s}}^{3}}{G^{3/2}\rho ^{1/2}}}\approx 2{\text{ M}}_{\odot }\cdot \left({\frac {c_{\text{s}}}{0,2{\text{ km/s}}}}\right)^{3}\left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-1/2}.}$$

^{Posteriormente, otros astrofísicos, entre ellos Binney y Tremaine [8],} señalaron que el análisis original utilizado por Jeans tenía fallos: en su análisis formal, aunque Jeans suponía que la región de la nube que colapsaba estaba rodeada por un medio infinito y estático, en realidad el medio circundante también debería estar colapsando, ya que todas las escalas mayores también son gravitacionalmente inestables según el mismo análisis. La influencia de este medio fue completamente ignorada en el análisis de Jeans. Este fallo ha llegado a conocerse como la "estafa de Jeans".

Notablemente, al utilizar un análisis más cuidadoso que tiene en cuenta otros factores como la expansión del Universo, fortuitamente se cancela el error aparente en el análisis de Jeans, y la ecuación de Jeans es correcta, incluso si su derivación podría haber sido dudosa. ^[9]

Se puede encontrar una derivación alternativa, posiblemente incluso más simple, utilizando consideraciones energéticas. En la nube interestelar, actúan dos fuerzas opuestas. La presión del gas, causada por el movimiento térmico de los átomos o moléculas que componen la nube, intenta hacer que la nube se expanda, mientras que la gravedad intenta hacer que la nube colapse. La masa de Jeans es la masa crítica donde ambas fuerzas están en equilibrio entre sí. En la siguiente derivación, se ignorarán las constantes numéricas (como ) y las constantes de la naturaleza (como la constante gravitacional ). Se volverán a introducir en el resultado.${\textstyle \pi}$

Consideremos una nube de gas esférica homogénea con un radio de . Para comprimir esta esfera hasta un radio de , se debe realizar un trabajo contra la presión del gas. Durante la compresión, se libera energía gravitacional . Cuando esta energía es igual a la cantidad de trabajo que se debe realizar sobre el gas, se alcanza la masa crítica. Sea la masa de la nube, la temperatura (absoluta), la densidad de partículas y la presión del gas. El trabajo que se debe realizar es igual a . Utilizando la ley de los gases ideales, según la cual , se llega a la siguiente expresión para el trabajo:${\textstyle R}$${\textstyle R-dR}$${\textstyle M}$${\textstyle T}$${\textstyle n}$${\textstyle p}$${\textstyle pdV}$${\textstyle p=nT}$$${\displaystyle dW=nTR^{2}\,dR.}$$

La energía potencial gravitatoria de una esfera con masa y radio viene dada, además de constantes, por la siguiente expresión:${\textstyle M}$${\textstyle R}$$${\displaystyle U={\frac {M^{2}}{R}}.}$$

La cantidad de energía liberada cuando la esfera se contrae de radio a radio se obtiene derivando esta expresión a , por lo que${\textstyle R}$${\textstyle R-dR}$${\textstyle R}$$${\displaystyle dU={\frac {M^{2}}{R^{2}}}\,dR.}$$

La masa crítica se alcanza tan pronto como la energía gravitacional liberada es igual al trabajo realizado sobre el gas:$${\displaystyle {\frac {M^{2}}{R^{2}}}=nTR^{2}.}$$

A continuación, el radio debe expresarse en términos de la densidad de la partícula y la masa . Esto se puede hacer utilizando la relación${\textstyle R}$${\textstyle n}$${\textstyle M}$$${\displaystyle M=nR^{3}.}$$

Un poco de álgebra nos lleva a la siguiente expresión para la masa crítica:$${\displaystyle M_{\text{J}}=\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{1/2}.}$$

Si durante la derivación se toman en cuenta todas las constantes, la expresión resultante es donde es la constante de Boltzmann , la constante gravitacional y la masa de una partícula que compone el gas. Suponiendo que la nube está formada por hidrógeno atómico, se puede calcular el factor prefijo. Si tomamos la masa solar como unidad de masa y usamos unidades de para la densidad de partículas, el resultado es$${\displaystyle M_{\text{J}}=\left({\frac {375k_{\text{B}}^{3}}{4\pi m^{4}G^{3}}}\right)^{1/2}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{1/2},}$$${\textstyle k_{\text{B}}}$${\textstyle G}$${\textstyle m}$${\textstyle m^{-3}}$$${\displaystyle M_{\text{J}}=3\times 10^{4}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{1/2}.}$$

La longitud de Jeans es el radio crítico de una nube (normalmente una nube de gas y polvo molecular interestelar) donde la energía térmica, que hace que la nube se expanda, es contrarrestada por la gravedad, que hace que la nube colapse. Recibe su nombre del astrónomo británico Sir James Jeans , que se ocupó de la estabilidad de las nebulosas esféricas a principios del siglo XX. ^[7]

La fórmula para la longitud de Jeans es: donde es la constante de Boltzmann , es la temperatura de la nube, es el peso molecular medio de las partículas, es la constante gravitacional y es la densidad de masa de la nube (es decir, la masa de la nube dividida por el volumen de la nube). ^{[10] [11]}$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}=\left({\frac {15k_{\text{B}}T}{4\pi G\mu \rho }}\right)^{1/2},}$$${\textstyle k_{\text{B}}}$${\textstyle T}$${\textstyle \mu }$${\textstyle G}$${\textstyle \rho }$

Tal vez la forma más fácil de conceptualizar la longitud de Jeans es en términos de una aproximación cercana, en la que descartamos los factores y y en la que reformulamos como . La fórmula para la longitud de Jeans se convierte entonces en: donde es el radio de la nube.${\textstyle 15}$${\textstyle 4\pi }$${\textstyle \rho }$${\textstyle M/r^{3}}$$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}\approx \left({\frac {k_{\text{B}}Tr^{3}}{GM\mu }}\right)^{1/2}.}$$${\textstyle r}$

De ello se deduce inmediatamente que cuando ; es decir, el radio de la nube es la longitud de Jeans cuando la energía térmica por partícula es igual al trabajo gravitatorio por partícula. En esta longitud crítica la nube no se expande ni se contrae. Sólo cuando la energía térmica no es igual al trabajo gravitatorio la nube se expande y se enfría o se contrae y se calienta, un proceso que continúa hasta que se alcanza el equilibrio.${\textstyle \lambda _{\text{J}}=r}$${\textstyle k_{\text{B}}T=GM\mu /r}$

La longitud de Jeans es la longitud de onda de oscilación (respectivamente, el número de onda de Jeans , ) por debajo del cual se producirán oscilaciones estables en lugar de un colapso gravitacional. donde G es la constante gravitacional , es la velocidad del sonido y es la densidad de masa encerrada.${\textstyle k_{\text{J}}}$$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}={\frac {2\pi }{k_{\text{J}}}}=c_{\text{s}}\left({\frac {\pi }{G\rho }}\right)^{1/2},}$$${\textstyle c_{\text{s}}}$${\textstyle \rho }$

También es la distancia que recorrería una onda de sonido en el tiempo de colapso.

La inestabilidad de Jeans también puede dar lugar a fragmentación en determinadas condiciones. Para derivar la condición de fragmentación se supone un proceso adiabático en un gas ideal y también se toma una ecuación de estado politrópica. La derivación se muestra a continuación mediante un análisis dimensional:

Para procesos adiabáticos ,${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\rightarrow V\propto P^{-1/\gamma }.}$

Para un gas ideal ,${\displaystyle PV=nRT\Rightarrow P\cdot P^{-1/\gamma }=P^{(\gamma -1)/\gamma }\propto T\Rightarrow P\propto T^{\gamma /(\gamma -1)}.}$

Ecuación de estado politrópica ,${\displaystyle P=K\rho ^{\gamma }\rightarrow T\propto \rho ^{\gamma -1}.}$

Pantalones vaqueros en masa,${\displaystyle M_{\text{J}}\propto T^{3/2}\rho ^{-1/2}\propto \rho ^{(3/2)(\gamma -1)}\rho ^{-1/2}.}$

De este modo,${\displaystyle M_{\text{J}}\propto \rho ^{(3/2)(\gamma -4/3)}.}$

Si el índice adiabático , la masa de Jeans aumenta con el aumento de la densidad, mientras que si la masa de Jeans disminuye con el aumento de la densidad. Durante el colapso gravitacional la densidad siempre aumenta, ^[12] por lo que en el segundo caso la masa de Jeans disminuirá durante el colapso, permitiendo que las regiones sobredensas más pequeñas colapsen, lo que lleva a la fragmentación de la nube molecular gigante. Para un gas monoatómico ideal, el índice adiabático es 5/3. Sin embargo, en objetos astrofísicos este valor suele estar cerca de 1 (por ejemplo, en gas parcialmente ionizado a temperaturas bajas en comparación con la energía de ionización). ^[13] De manera más general, el proceso no es realmente adiabático sino que implica un enfriamiento por radiación que es mucho más rápido que la contracción, de modo que el proceso puede modelarse mediante un índice adiabático tan bajo como 1 (que corresponde al índice politrópico de un gas isotérmico). ^{[ cita requerida ]} Entonces, el segundo caso es la regla más que una excepción en las estrellas. Esta es la razón por la que las estrellas generalmente se forman en cúmulos.${\textstyle \gamma >{\frac {4}{3}}}$${\textstyle \gamma <{\frac {4}{3}}}$

• Misa de Bonnor-Ebert
• Ondas de Langmuir (ondas similares en un plasma)