Marco del centro del momento

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En física , el sistema de referencia del centro de momento ( sistema COM ), también conocido como sistema de referencia de momento cero , es el sistema inercial en el que el momento total del sistema se desvanece. Es único hasta la velocidad, pero no el origen. El centro de momento de un sistema no es una ubicación, sino una colección de momentos/velocidades relativos: un sistema de referencia. Por lo tanto, "centro de momento" es una abreviatura de " sistema de referencia del centro de momento ". ^[1]

Un caso especial del marco del centro de momento es el marco del centro de masas : un marco inercial en el que el centro de masas (que es un único punto) permanece en el origen. En todos los marcos del centro de momento, el centro de masas está en reposo , pero no necesariamente en el origen del sistema de coordenadas. En la relatividad especial , el marco COM es necesariamente único solo cuando el sistema está aislado.

El marco del centro de momento se define como el marco inercial en el que la suma de los momentos lineales de todas las partículas es igual a 0. Sea S el sistema de referencia de laboratorio y S ′ el marco de referencia del centro de momento. Utilizando una transformación galileana , la velocidad de la partícula en S ′ es

${\displaystyle v'=v-V_{\text{c}},}$

dónde

${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {\sum _{i}m_{i}v_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}}$

es la velocidad del centro de masa. El momento total en el sistema del centro de momento se desvanece:

${\displaystyle \sum _{i}p'_{i}=\sum _{i}m_{i}v'_{i}=\sum _{i}m_{i}(v_{i}-V_{\text{c}})=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{i}m_{i}{\frac {\sum _{j}m_{j}v_{j}}{\sum _{j}m_{j}}}=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{j}m_{j}v_{j}=0.}$

Además, la energía total del sistema es la energía mínima vista desde todos los marcos de referencia inerciales .

En relatividad , el marco COM existe para un sistema masivo aislado. Esto es una consecuencia del teorema de Noether . En el marco COM, la energía total del sistema es la energía en reposo , y esta cantidad (al dividirla por el factor c ² , donde c es la velocidad de la luz ) da la masa invariante ( masa en reposo ) del sistema:

${\displaystyle m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}.}$

La masa invariante del sistema está dada en cualquier marco inercial por la relación invariante relativista

${\displaystyle m_{0}{}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2},}$

pero para un momento cero el término de momento ( p / c ) ² se desvanece y por lo tanto la energía total coincide con la energía en reposo.

Los sistemas que tienen energía distinta de cero pero masa en reposo cero (como los fotones que se mueven en una sola dirección o, equivalentemente, las ondas electromagnéticas planas ) no tienen sistemas COM, porque no hay ningún sistema en el que tengan momento neto cero. Debido a la invariancia de la velocidad de la luz , un sistema sin masa debe viajar a la velocidad de la luz en cualquier sistema de referencia y siempre posee un momento neto. Su energía es, para cada sistema de referencia, igual a la magnitud del momento multiplicado por la velocidad de la luz:

${\displaystyle E=pc.}$

A continuación se ofrece un ejemplo del uso de este marco: en una colisión de dos cuerpos, no necesariamente elástica (donde se conserva la energía cinética ). El marco COM se puede utilizar para encontrar el momento de las partículas mucho más fácilmente que en un marco de laboratorio : el marco donde se realiza la medición o el cálculo. La situación se analiza utilizando transformaciones galileanas y conservación del momento (para generalidad, en lugar de energías cinéticas únicamente), para dos partículas de masa m ₁ y m ₂ , que se mueven a velocidades iniciales (antes de la colisión) u ₁ y u ₂ respectivamente. Las transformaciones se aplican para tomar la velocidad del marco a partir de la velocidad de cada partícula desde el marco de laboratorio (cantidades no primadas) al marco COM (cantidades primadas): ^[1]

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V} ,}$

donde V es la velocidad del marco COM. Como V es la velocidad del COM, es decir, la derivada temporal de la ubicación del COM R (posición del centro de masa del sistema): ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

Entonces, en el origen del marco COM, R' = 0 , esto implica

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

Los mismos resultados se pueden obtener aplicando la conservación del momento en el marco del laboratorio, donde los momentos son p ₁ y p ₂ :

${\displaystyle \mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

y en el marco COM, donde se afirma definitivamente que los momentos totales de las partículas, p ₁ ' y p ₂ ', se desvanecen:

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

Si se utiliza la ecuación del marco COM para calcular V, se obtiene la ecuación del marco de laboratorio anterior, lo que demuestra que se puede utilizar cualquier marco (incluido el marco COM) para calcular los momentos de las partículas. Se ha establecido que la velocidad del marco COM se puede eliminar del cálculo utilizando el marco anterior, de modo que los momentos de las partículas en el marco COM se pueden expresar en términos de las cantidades en el marco de laboratorio (es decir, los valores iniciales dados):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{aligned}}.}$

Observe que la velocidad relativa en el marco de laboratorio de las partículas 1 a 2 es

${\displaystyle \Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}}$

y la masa reducida de 2 cuerpos es

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Por lo que los momentos de las partículas se reducen de forma compacta a

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u} .}$

Este es un cálculo sustancialmente más simple de los momentos de ambas partículas; la masa reducida y la velocidad relativa se pueden calcular a partir de las velocidades iniciales en el marco de laboratorio y las masas, y el momento de una partícula es simplemente el negativo de la otra. El cálculo se puede repetir para las velocidades finales v ₁ y v ₂ en lugar de las velocidades iniciales u ₁ y u ₂ , ya que después de la colisión las velocidades aún satisfacen las ecuaciones anteriores: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

Entonces, en el origen del marco COM, R = 0 , esto implica que después de la colisión

${\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

En el marco del laboratorio, la conservación del momento se lee completamente:

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} }$

Esta ecuación no implica que

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V} }$

En cambio, simplemente indica que la masa total M multiplicada por la velocidad del centro de masa V es el momento total P del sistema:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}}$

Se obtiene un análisis similar al anterior.

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u} ,}$

donde la velocidad relativa final en el marco de laboratorio de las partículas 1 a 2 es

${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .}$

• Marco de referencia de laboratorio
• Marco Breit