Mapa de tiendas de campaña

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En matemáticas , el mapa de tienda con parámetro μ es la función de valor real f _μ definida por

${\displaystyle f_{\mu }(x):=\mu \min\{x,\,1-x\},}$

El nombre se debe a la forma de tienda de campaña del gráfico de f _μ . Para los valores del parámetro μ comprendidos entre 0 y 2, f _μ mapea el intervalo unitario [0, 1] en sí mismo, definiendo así un sistema dinámico de tiempo discreto sobre él (equivalentemente, una relación de recurrencia ). En particular, iterar un punto x ₀ en [0, 1] da lugar a una secuencia :${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}<{\frac {1}{2}}\\\mu (1-x_{n})&\mathrm {for} ~~{\frac {1}{2}}\leq x_{n}\end{cases}}}$

donde μ es una constante real positiva. Si, por ejemplo, se elige el parámetro μ = 2, el efecto de la función f _μ puede considerarse como el resultado de la operación de doblar el intervalo unitario en dos y luego estirar el intervalo resultante [0, 1/2] para obtener nuevamente el intervalo [0, 1]. Al iterar el procedimiento, cualquier punto x ₀ del intervalo asume nuevas posiciones subsiguientes como se describió anteriormente, generando una secuencia x _n en [0, 1].

El caso del mapa de tienda es una transformación no lineal tanto del mapa de desplazamiento de bits como del caso r = 4 del mapa logístico .${\displaystyle \mu =2}$

El mapa de tienda con parámetro μ = 2 y el mapa logístico con parámetro r = 4 son topológicamente conjugados , ^[1] y por lo tanto los comportamientos de los dos mapas son en este sentido idénticos bajo iteración.

Dependiendo del valor de μ, el mapa de tiendas demuestra un rango de comportamiento dinámico que va desde predecible a caótico.

• Si μ es menor que 1, el punto x = 0 es un punto fijo atractivo del sistema para todos los valores iniciales de x, es decir, el sistema convergerá hacia x = 0 desde cualquier valor inicial de x .
• Si μ es 1, todos los valores de x menores o iguales a 1/2 son puntos fijos del sistema.
• Si μ es mayor que 1, el sistema tiene dos puntos fijos, uno en 0 y el otro en μ/(μ + 1). Ambos puntos fijos son inestables, es decir, un valor de x cercano a cualquiera de los puntos fijos se alejará de él, en lugar de acercarse a él. Por ejemplo, cuando μ es 1,5, hay un punto fijo en x = 0,6 (ya que 1,5(1 − 0,6) = 0,6), pero a partir de x = 0,61 obtenemos

${\displaystyle 0.61\to 0.585\to 0.6225\to 0.56625\to 0.650625\ldots }$

• Si μ está entre 1 y la raíz cuadrada de 2, el sistema mapea un conjunto de intervalos entre μ − μ ² /2 y μ/2 a sí mismos. Este conjunto de intervalos es el conjunto de Julia de la función, es decir, es el subconjunto invariante más pequeño de la línea real bajo esta función. Si μ es mayor que la raíz cuadrada de 2, estos intervalos se fusionan y el conjunto de Julia es el intervalo completo desde μ − μ ² /2 hasta μ/2 (véase el diagrama de bifurcación).
• Si μ está entre 1 y 2, el intervalo [μ − μ ² /2, μ/2] contiene puntos periódicos y no periódicos, aunque todas las órbitas son inestables (es decir, los puntos cercanos se alejan de las órbitas en lugar de acercarse a ellas). Las órbitas con longitudes mayores aparecen a medida que μ aumenta. Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu =1}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{4}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu \approx 1.8393}$

• Si μ es igual a 2, el sistema mapea el intervalo [0, 1] sobre sí mismo. Ahora hay puntos periódicos con cada longitud de órbita dentro de este intervalo, así como puntos no periódicos. Los puntos periódicos son densos en [0, 1], por lo que el mapa se ha vuelto caótico . De hecho, la dinámica será no periódica si y solo si es irracional . Esto se puede ver notando lo que hace el mapa cuando se expresa en notación binaria : desplaza el punto binario un lugar a la derecha; luego, si lo que aparece a la izquierda del punto binario es un "uno", cambia todos los unos a ceros y viceversa (con la excepción del bit final "uno" en el caso de una expansión binaria finita); comenzando desde un número irracional, este proceso continúa eternamente sin repetirse. La medida invariante para x es la densidad uniforme sobre el intervalo unitario. ^[2] La función de autocorrelación para una secuencia suficientemente larga { } mostrará autocorrelación cero en todos los rezagos distintos de cero. ^[3] Por lo tanto, no se puede distinguir del ruido blanco utilizando la función de autocorrelación. Nótese que el caso r = 4 del mapa logístico y el caso del mapa de tiendas son homeomorfos entre sí: Denotando la variable que evoluciona logísticamente como , el homeomorfismo es${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \mu =2}$${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle x_{n}={\tfrac {2}{\pi }}\sin ^{-1}(y_{n}^{1/2}).}$

• Si μ es mayor que 2, el conjunto de Julia del mapa se desconecta y se descompone en un conjunto de Cantor dentro del intervalo [0, 1]. El conjunto de Julia todavía contiene una cantidad infinita de puntos periódicos y no periódicos (incluidas las órbitas para cualquier longitud de órbita), pero casi todos los puntos dentro de [0, 1] divergirán ahora hacia el infinito. El conjunto de Cantor canónico (obtenido eliminando sucesivamente los tercios medios de los subconjuntos de la línea unitaria) es el conjunto de Julia del mapa de la tienda para μ = 3.

• Una mirada más de cerca al diagrama de la órbita muestra que hay 4 regiones separadas en μ ≈ 1. Para una mayor ampliación, se dibujan 2 líneas de referencia (rojas) desde la punta hasta x adecuado en cierto μ (por ejemplo, 1,10) como se muestra.

• Con la distancia medida desde las líneas de referencia correspondientes, aparecen más detalles en la parte superior e inferior del mapa. (en total, 8 regiones separadas en algún μ)

El mapa de tienda asimétrico es esencialmente una versión distorsionada, pero aún lineal por partes , del caso del mapa de tienda. Se define por${\displaystyle \mu =2}$

${\displaystyle v_{n+1}={\begin{cases}v_{n}/a&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [0,a]\\(1-v_{n})/(1-a)&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [a,1]\end{cases}}}$

para el parámetro . El caso del mapa de tienda es el caso presente de . Una secuencia { } tendrá la misma función de autocorrelación ^[3] que los datos del proceso autorregresivo de primer orden con { } distribuidos de forma independiente e idéntica . Por lo tanto, los datos de un mapa de tienda asimétrico no se pueden distinguir, utilizando la función de autocorrelación, de los datos generados por un proceso autorregresivo de primer orden.${\displaystyle a\in [0,1]}$${\displaystyle \mu =2}$${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle w_{n+1}=(2a-1)w_{n}+u_{n+1}}$${\displaystyle u_{n}}$

El mapa de tiendas ha encontrado aplicaciones en la optimización cognitiva social, ^[4] el caos en economía, ^{[5] [6]} el cifrado de imágenes, ^[7] el riesgo y los sentimientos del mercado con respecto a los precios, ^[8] etc.

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